Преобразование Фурье – Мукаи - Fourier–Mukai transform

В алгебраическая геометрия, а Преобразование Фурье – Мукаи Φ_K это функтор между производные категории из когерентные пучки D (Икс) → D (Y) за схемы Икс и Y, что в некотором смысле интегральное преобразование вдоль объекта ядра K ∈ D (Икс×Y). Большинство естественных функторов, включая базовые, такие как продвигать и откаты, относятся к этому типу.

Такого рода функторы были введены Мукаи  (1981 ), чтобы доказать эквивалентность между производными категориями когерентных пучков на абелева разновидность и это двойной. Эта эквивалентность аналогична классической преобразование Фурье что дает изоморфизм между умеренные распределения на конечномерном вещественном векторное пространство и это двойной.

Определение

Позволять Икс и Y быть гладкий проективные многообразия, K ∈ D^б(Икс×Y) объект в производной категории когерентных пучков на их продукте. Обозначим через q проекция Икс×Y→Икс, к п проекция Икс×Y→Y. Тогда преобразование Фурье-Мукаи Φ_K является функтором D^б(Икс) → D^б(Y) предоставлено

${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \mathrm {R} p_{*}\left(q^{*}{\mathcal {F}}\otimes ^{L}K\right)}$

где Rп_* это полученный функтор прямого изображения и ${\displaystyle \otimes ^{L}}$ является производным тензорное произведение.

Преобразования Фурье-Мукаи всегда имеют левую и правую примыкает, оба из которых также являются преобразованиями ядра. Учитывая два ядра K₁ ∈ D^б(Икс×Y) и K₂ ∈ D^б(Y×Z) составной функтор Φ_K2 ∘ Φ_K1 также является преобразованием Фурье-Мукаи.

Структурный пучок диагонали ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\Delta }\in \mathrm {D} ^{b}(X\times X)}$, взятое за ядро, порождает тождественный функтор на D^б(Икс). Для морфизма ж:Икс→Y, структурный пучок графа Γ_ж производит продвигать если смотреть как объект в D^б(Икс×Y) или откат если смотреть как объект в D^б(Y×Икс).

Об абелевых разновидностях

Позволять ${\displaystyle X}$ быть абелева разновидность и ${\displaystyle {\hat {X}}}$ быть его двойное разнообразие. В Пучок Пуанкаре ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ на ${\displaystyle X\times {\hat {X}}}$, нормированная на тривиальность на слое в нуле, может использоваться как ядро ​​Фурье-Мукаи. Позволять ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle {\hat {p}}}$ - канонические проекции. Соответствующий функтор Фурье – Мукаи с ядром ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ затем

${\displaystyle R{\mathcal {S}}:{\mathcal {F}}\in D(X)\mapsto R{\hat {p}}_{\ast }(p^{\ast }{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {P}})\in D({\hat {X}})}$

Есть аналогичный функтор

${\displaystyle R{\widehat {\mathcal {S}}}:D({\hat {X}})\to D(X).\,}$

Если канонический класс разнообразия обильный или антиобильные, то производная категория когерентных пучков определяет разнообразие.^[1] В общем случае абелево многообразие не изоморфно своему двойственному, поэтому это преобразование Фурье – Мукаи дает примеры различных многообразий (с тривиальными каноническими расслоениями), которые имеют эквивалентные производные категории.

Позволять грамм обозначают размерность Икс. Преобразование Фурье – Мукаи почти инволютивно:

${\displaystyle R{\mathcal {S}}\circ R{\widehat {\mathcal {S}}}=(-1)^{\ast }[-g]}$

Он меняет местами Понтрягин произведение и тензорное произведение.

${\displaystyle R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\ast {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\otimes R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})}$

${\displaystyle R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\ast R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})[g]}$

Денингер и Мюрр (1991) использовали преобразование Фурье-Мукаи для доказательства Разложение Кюннета для Чау-мотивы абелевых разновидностей.

Приложения в теории струн

В теории струн Т-дуальность (Короче для двойственность целевого пространства), который связывает две квантовые теории поля или теории струн с разной геометрией пространства-времени, тесно связан с преобразованием Фурье-Мукаи, фактом, который в последнее время активно исследовался.^[2][3]

Смотрите также

• Полученная некоммутативная алгебраическая геометрия

Рекомендации

1. Бондал, Алексей; Орлов, Дмитрий (2001). «Реконструкция многообразия по производной категории и группам автоэквивалентностей» (PDF). Compositio Mathematica. 125 (3): 327–344. Дои:10.1023 / А: 1002470302976.
2. Леунг, Найчунг Конан; Яу, Шинг-Тунг; Заслоу, Эрик (2000). «От специального лагранжиана к эрмитиану-Янга-Миллсу через преобразование Фурье-Мукаи». Успехи теоретической и математической физики. 4 (6): 1319–1341. arXiv:математика / 0005118. Дои:10.4310 / ATMP.2000.v4.n6.a5.
3. Геворгян, Ева; Саркисян, Гор (2014). «Дефекты, неабелева t-двойственность и преобразование Фурье-Мукаи полей Рамона-Рамона». Журнал физики высоких энергий. 2014 (3): 35. arXiv:1310.1264. Дои:10.1007 / JHEP03 (2014) 035.

• Денингер, Кристофер; Мюрр, Джейкоб (1991), "Мотивное разложение абелевых схем и преобразование Фурье", J. Reine Angew. Математика., 422: 201–219, МИСТЕР  1133323

• Хайбрехтс, Д. (2006), Преобразования Фурье – Мукаи в алгебраической геометрии, Оксфордские математические монографии, 1, The Clarendon Press Oxford University Press, Дои:10.1093 / acprof: oso / 9780199296866.001.0001, ISBN  978-0-19-929686-6, МИСТЕР  2244106
• Мукаи, Сигэру (1981). "Двойственность между ${\displaystyle D(X)}$ и ${\displaystyle D({\hat {X}})}$ с его приложением к пучкам Пикарда ". Нагойский математический журнал. 81: 153–175. ISSN  0027-7630.