Сепароид - Separoid

В математика, а сепароид это бинарное отношение между непересекающиеся множества который устойчив как идеальный в каноническом порядке, индуцированном включение. Многие математические объекты, которые кажутся совершенно разными, находят общее обобщение в рамках сепароидов; например., графики, конфигурации выпуклые множества, ориентированные матроиды, и многогранники. Любой счетный категория является индуцированной подкатегорией сепароидов, когда они наделены гомоморфизмы [1] (а именно, отображения, сохраняющие так называемые минимальные радоновые перегородки ).

В этой общей структуре некоторые результаты и инварианты разных категорий оказываются частными случаями одного и того же аспекта; например, псевдоахроматическое число из теории графов и Теорема Тверберга от комбинаторной выпуклости - это просто две грани одного и того же аспекта, а именно полная раскраска сепароидов.

Аксиомы

А сепароид [2] это набор ${\displaystyle S}$ наделен бинарным отношением ${\displaystyle \mid \ \subseteq 2^{S}\times 2^{S}}$ на его набор мощности, который удовлетворяет следующим простым свойствам для ${\displaystyle A,B\subseteq S}$:

${\displaystyle A\mid B\Leftrightarrow B\mid A,}$

${\displaystyle A\mid B\Rightarrow A\cap B=\varnothing ,}$

${\displaystyle A\mid B{\hbox{ and }}A'\subset A\Rightarrow A'\mid B.}$

Родственная пара ${\displaystyle A\mid B}$ называется разделение и мы часто говорим, что A отделен от B. Достаточно знать максимальный разделения для реконструкции сепароида.

А отображение ${\displaystyle \varphi \colon S\to T}$ это морфизм сепароидов, если прообразы разделений являются разделениями; то есть для ${\displaystyle A,B\subseteq T}$

${\displaystyle A\mid B\Rightarrow \varphi ^{-1}(A)\mid \varphi ^{-1}(B).}$

Примеры

Примеры сепароидов можно найти почти в каждой ветви математика. Здесь мы перечислим лишь некоторые из них.

1. Учитывая график G = (V, E), мы можем определить сепароид на его вершины говоря, что два (непересекающихся) подмножества V, скажем A и B, разделены, если нет края переходя от одного к другому; т.е.

${\displaystyle A\mid B\Leftrightarrow \forall a\in A{\hbox{ and }}b\in B\colon ab\not \in E.}$

2. Учитывая ориентированный матроид [3] M = (E,Т), заданные по его вершинам Т, мы можем определить сепароид на E говоря, что два подмножества разделяются, если они содержатся в противоположных знаках топа. Другими словами, вершины ориентированного матроида - это максимальный отделения сепароида. Этот пример включает, конечно, все ориентированные графы.

3. Учитывая семейство объектов в Евклидово пространство, мы можем определить в нем сепароид, сказав, что два подмножества разделены, если существует гиперплоскость который отделяет их; т.е. оставив их на двух противоположных сторонах.

4. Учитывая топологическое пространство, мы можем определить сепароид, говоря, что два подмножества разделены, если существуют два непересекающихся открытые наборы который содержит их (по одному для каждого из них).

Основная лемма

Каждый сепароид можно представить семейством выпуклых множеств в некотором евклидовом пространстве и их разделениями гиперплоскостями.

Рекомендации

• Страус Рикардо; «Сепароидес». Ситус, серия В, нет. 5 (1998 г.), Национальный автономный университет Мексики.
• Ароча Хорхе Луис, Брахо Хавьер, Монтехано Луис, Оливерос Дебора, Страус Рикардо; "Сепароиды, их категории и Типа Хадвигера теорема для трансверсалей ». Дискретная и вычислительная геометрия 27 (2002), нет. 3, 377–385.
• Страус Рикардо; «Сепароиды и проблема типа Тверберга». Геомбинаторика 15 (2005), нет. 2, 79–92.
• Монтеллано-Бальестерос Хуан Хосе, Пор Аттила, Страус Рикардо; "Теоремы типа Тверберга для сепароидов". Дискретная и вычислительная геометрия 35 (2006), №3, 513–523.
• Нешетржил Ярослав, Страус Рикардо; «Универсальность сепароидов»^{[постоянная мертвая ссылка ]}. Archivum Mathematicum (Брно) 42 (2006), нет. 1, 85–101.
• Брахо Хавьер, Страус Рикардо; «Два геометрических изображения сепароидов». Periodica Mathematica Hungarica 53 (2006), нет. 1-2, 115–120.
• Страус Рикардо; «Гомоморфизмы сепароидов». 6-й Чешско-словацкий международный симпозиум по комбинаторике, теории графов, алгоритмам и приложениям, 461–468, Электронные заметки по дискретной математике 28, Эльзевир, Амстердам, 2007.
• Страус Рикардо; «Теоремы Эдреша-Секереса о счастливом конце для сепароидов». Европейский журнал комбинаторики 29 (2008), нет. 4, 1076–1085.