Теорема Серра о полупростой алгебре Ли - Serres theorem on a semisimple Lie algebra - Wikipedia

В абстрактной алгебре, в частности в теории Алгебры Ли, Теорема Серра состояния: задано (конечное приведенное) корневая система ${\displaystyle \Phi }$существует конечномерная полупростая алгебра Ли чья корневая система является данной ${\displaystyle \Phi }$.

Заявление

Теорема утверждает, что: при наличии корневой системы ${\displaystyle \Phi }$ в евклидовом пространстве с внутренним произведением ${\displaystyle (,)}$, ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle =2(\alpha ,\beta )/(\alpha ,\alpha ),\beta ,\alpha \in E}$ и база ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}}$ из ${\displaystyle \Phi }$, алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ определяется формулой (1) ${\displaystyle 3n}$ генераторы ${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$ и (2) соотношения

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},\,[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j}$,

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle e_{j},\,[h_{i},f_{j}]=-\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle f_{j}}$,

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle +1}(e_{j})=0,i\neq j}$,

${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{-\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle +1}(f_{j})=0,i\neq j}$.

является конечномерной полупростой алгеброй Ли с подалгеброй Картана, порожденной ${\displaystyle h_{i}}$и с корневой системой ${\displaystyle \Phi }$.

Квадратная матрица ${\displaystyle [\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle ]_{1\leq i,j\leq n}}$ называется Матрица Картана. Таким образом, с этим понятием, теорема утверждает, что, дайте матрицу Картана Асуществует единственная (с точностью до изоморфизма) конечномерная полупростая алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}(A)}$ связано с ${\displaystyle A}$. Построение полупростой алгебры Ли из матрицы Картана можно обобщить, ослабив определение матрицы Картана. Алгебра Ли (в общем случае бесконечномерная), ассоциированная с обобщенная матрица Картана называется Алгебра Каца – Муди.

Эскиз доказательства

Доказательство здесь взято из (Кац 1990, Теорема 1.2.) И (Серр 2000, Гл. VI, Приложение.) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFSerre2000 (помощь).

Позволять ${\displaystyle a_{ij}=\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle }$ а затем пусть ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}}$ - алгебра Ли, порожденная (1) образующими ${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$ и (2) отношения:

• ${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0}$,
• ${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i}}$, ${\displaystyle [e_{i},f_{j}]=0,i\neq j}$,
• ${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j}}$.

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ свободное векторное пространство, натянутое на ${\displaystyle h_{i}}$, V свободное векторное пространство с базой ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ и ${\textstyle T=\bigoplus _{l=0}^{\infty }V^{\otimes l}}$ тензорная алгебра над ним. Рассмотрим следующее представление алгебры Ли:

${\displaystyle \pi :{\widetilde {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {gl}}(T)}$

предоставлено: для ${\displaystyle a\in T,h\in {\mathfrak {h}},\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$,

• ${\displaystyle \pi (f_{i})a=v_{i}\otimes a,}$
• ${\displaystyle \pi (h)1=\langle \lambda ,\,h\rangle 1,\pi (h)(v_{j}\otimes a)=-\langle \alpha _{j},h\rangle v_{j}\otimes a+v_{j}\otimes \pi (h)a}$, индуктивно,
• ${\displaystyle \pi (e_{i})1=0,\,\pi (e_{i})(v_{j}\otimes a)=\delta _{ij}\alpha _{i}(a)+v_{j}\otimes \pi (e_{i})a}$, индуктивно.

Нетривиально то, что это действительно четко определенное представление, и это нужно проверять вручную. Из этого представления выводятся следующие свойства: пусть ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+}}$ (соотв. ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-}}$) подалгебры в ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}}$ генерируется ${\displaystyle e_{i}}$(соответственно ${\displaystyle f_{i}}$s).

• ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+}}$ (соотв. ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-}}$) - свободная алгебра Ли, порожденная ${\displaystyle e_{i}}$(соответственно ${\displaystyle f_{i}}$s).
• Как векторное пространство ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}={\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+}\bigoplus {\mathfrak {h}}\bigoplus {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-}}$.
• ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+}=\bigoplus _{0\neq \alpha \in Q_{+}}{\widetilde {\mathfrak {g}}}_{\alpha }}$ куда ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}_{\alpha }=\{x\in {\widetilde {\mathfrak {g}}}|[h,x]=\alpha (h)x,h\in {\mathfrak {h}}\}}$ и аналогично ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-}=\bigoplus _{0\neq \alpha \in Q_{+}}{\widetilde {\mathfrak {g}}}_{-\alpha }}$.
• (разложение корневого пространства) ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}=\left(\bigoplus _{0\neq \alpha \in Q_{+}}{\widetilde {\mathfrak {g}}}_{-\alpha }\right)\bigoplus {\mathfrak {h}}\bigoplus \left(\bigoplus _{0\neq \alpha \in Q_{+}}{\widetilde {\mathfrak {g}}}_{\alpha }\right)}$.

Для каждого идеала ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ из ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}}$, легко показать, что ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ однородна относительно градуировки, заданной разложением корневого пространства; т.е. ${\displaystyle {\mathfrak {i}}=\bigoplus _{\alpha }({\widetilde {\mathfrak {g}}}_{\alpha }\cap {\mathfrak {i}})}$. Отсюда следует, что сумма идеалов, пересекающихся ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ тривиально, он сам пересекает ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ тривиально. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ быть суммой всех идеалов, пересекающихся ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ тривиально. Тогда есть разложение векторного пространства: ${\displaystyle {\mathfrak {r}}=({\mathfrak {r}}\cap {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-})\oplus ({\mathfrak {r}}\cap {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+})}$. Фактически, это ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}}$-модульная декомпозиция. Позволять

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\widetilde {\mathfrak {g}}}/{\mathfrak {r}}}$.

Затем он содержит копию ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, который отождествляется с ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ и

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}_{+}\bigoplus {\mathfrak {h}}\bigoplus {\mathfrak {n}}_{-}}$

куда ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{+}}$ (соотв. ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{-}}$) - подалгебры, порожденные образами ${\displaystyle e_{i}}$'s (соответственно изображения ${\displaystyle f_{i}}$s).

Затем показано: (1) производная алгебра ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ вот так же, как ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ лидирующая, (2) она конечномерна и полупроста и (3) ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}}$.

Рекомендации

• Кац Виктор (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46693-8.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90053-7.
• Серр, Жан-Пьер (2000). Полупростые комплексы Альжебра де Ли [Комплексные полупростые алгебры Ли]. Перевод Джонс, Дж. А. Спрингер. ISBN  978-3-540-67827-4.