Теорема сдвига - Shift theorem

В математика, (экспоненциальный) теорема о сдвиге это теорема о многочлен дифференциальные операторы (D-операторы) и экспоненциальные функции. Это позволяет в некоторых случаях исключить экспоненту из-под D-операторы.

Заявление

Теорема утверждает, что если п(D) - многочлен D-оператор, то для любого достаточно дифференцируемый функция у,

${\displaystyle P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.}$

Чтобы доказать результат, выполните индукция. Обратите внимание, что только в частном случае

${\displaystyle P(D)=D^{n}}$

необходимо доказать, так как тогда общий результат следует линейность из D-операторы.

Результат очевиден для п = 1, поскольку

${\displaystyle D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.}$

Теперь предположим, что результат верен для п = k, то есть,

${\displaystyle D^{k}(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)^{k}y.}$

Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{k+1}(e^{ax}y)&\equiv {\frac {d}{dx}}\{e^{ax}(D+a)^{k}y\}\\&{}=e^{ax}{\frac {d}{dx}}\{(D+a)^{k}y\}+ae^{ax}\{(D+a)^{k}y\}\\&{}=e^{ax}\left\{\left({\frac {d}{dx}}+a\right)(D+a)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}(D+a)^{k+1}y.\end{aligned}}}$

Это завершает доказательство.

Теорема о сдвиге одинаково хорошо применима к обратным операторам:

${\displaystyle {\frac {1}{P(D)}}(e^{ax}y)=e^{ax}{\frac {1}{P(D+a)}}y.}$

Связанный

Аналогичная версия теоремы о сдвиге существует для преобразований Лапласа (${\displaystyle t<a}$):

${\displaystyle e^{-as}{\mathcal {L}}(f(t))={\mathcal {L}}(f(t-a)).}$

Примеры

Теорема об экспоненциальном сдвиге может использоваться для ускорения вычисления старших производных функций, которые даются произведением экспоненты и другой функции. Например, если ${\displaystyle f(x)=\sin(x)e^{x}}$, есть это

${\displaystyle D^{3}f=D^{3}(e^{x}\sin(x))=e^{x}(D+1)^{3}\sin(x)=e^{x}(D^{3}+3D^{2}+3D+1)\sin(x)=e^{x}(-\cos(x)-3\sin(x)+3\cos(x)+\sin(x))}$

Еще одно применение теоремы об экспоненциальном сдвиге - решение линейные дифференциальные уравнения чей характеристический многочлен имеет повторяющиеся корни.^[1]

Примечания

1. См. Статью однородное уравнение с постоянными коэффициентами Больше подробностей.

Рекомендации

• Моррис, Тененбаум; Поллард, Гарри (1985). Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебник для начинающих для студентов математических, инженерных и естественных наук. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0486649407. OCLC  12188701.