Кольцо Стэнли – Рейснера - Stanley–Reisner ring - Wikipedia

В математике Кольцо Стэнли – Рейснера, или же лицо кольцо, является частным от полиномиальная алгебра через поле бесквадратным одночлен идеальный. Такие идеалы описываются более геометрически в терминах конечных симплициальные комплексы. Конструкция кольца Стэнли – Райснера является основным инструментом в алгебраическая комбинаторика и комбинаторная коммутативная алгебра.^[1] Его свойства были исследованы Ричард Стэнли, Мелвин Хохстер и Джеральд Рейснер в начале 1970-х годов.

Определение и свойства

Учитывая абстрактный симплициальный комплекс Δ на множестве вершин {Икс₁,...,Икс_п} и поле kсоответствующие Кольцо Стэнли – Рейснера, или же лицо кольцо, обозначенный k[Δ], получается из кольца многочленов k[Икс₁,...,Икс_п] путем выделения идеального я_Δ порожденные бесквадратными одночленами, соответствующими неграням Δ:

${\displaystyle I_{\Delta }=(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{r}}:\{i_{1},\ldots ,i_{r}\}\notin \Delta ),\quad k[\Delta ]=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I_{\Delta }.}$

Идеал я_Δ называется Идеал Стэнли – Райснера или лицо идеальное из Δ.^[2]

Характеристики

• Кольцо Стэнли – Райснера k[Δ] умножается на Z^п, где степень переменной Икс_я это ястандартный базисный вектор е_я изZ^п.
• Как векторное пространство над k, кольцо Стэнли – Райснера кольца Δ допускает разложение в прямую сумму

${\displaystyle k[\Delta ]=\bigoplus _{\sigma \in \Delta }k[\Delta ]_{\sigma },}$

чьи слагаемые k[Δ]_σ имеют основу из одночленов (не обязательно бесквадратных), опирающихся на грани σ из Δ.

• В Измерение Крулля из k[Δ] на единицу больше размерности симплициального комплекса Δ.
• Универсальный, или отлично, Ряд Гильберта из k[Δ] задается формулой

${\displaystyle H(k[\Delta ];x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma \in \Delta }\prod _{i\in \sigma }{\frac {x_{i}}{1-x_{i}}}.}$

• Обычный, или грубый, Ряд Гильберта k[Δ] получается из его мультиградуированного ряда Гильберта, устанавливая степень каждой переменной Икс_я равно 1:

${\displaystyle H(k[\Delta ];t,\ldots ,t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\sum _{i=0}^{d}f_{i-1}t^{i}(1-t)^{n-i},}$

куда d = dim (Δ) + 1 - размерность Крулля k[Δ] и ж_я это количество я-грани Δ. Если это записано в виде

${\displaystyle H(k[\Delta ];t,\ldots ,t)={\frac {h_{0}+h_{1}t+\cdots +h_{d}t^{d}}{(1-t)^{d}}}}$

то коэффициенты (час₀, ..., час_d) числителя образуют час-вектор симплициального комплекса Δ.

Примеры

Принято считать, что каждая вершина {Икс_я} является симплексом в Δ. Таким образом, ни одна из переменных не принадлежит идеалу Стэнли – Райснерая_Δ.

• Δ - это симплекс {Икс₁,...,Икс_п}. потом я_Δ - нулевой идеал и

${\displaystyle k[\Delta ]=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

является алгеброй многочленов от п переменные надk.

• Симплициальный комплекс Δ состоит из п изолированные вершины {Икс₁}, ..., {Икс_п}. потом

${\displaystyle I_{\Delta }=\{x_{i}x_{j}:1\leq i<j\leq n\}}$

а кольцо Стэнли – Райснера - это следующее усечение кольца многочленов в п переменные над k:

${\displaystyle k[\Delta ]=k\oplus \bigoplus _{1\leq i\leq n}x_{i}k[x_{i}].}$

• Обобщая предыдущие два примера, пусть Δ - d-скелет симплекса {Икс₁,...,Икс_п}, поэтому он состоит из всех (d + 1) -элементные подмножества {Икс₁,...,Икс_п}. Тогда кольцо Стэнли – Райснера следует за усечением кольца многочленов в п переменные над k:

${\displaystyle k[\Delta ]=k\oplus \bigoplus _{0\leq r\leq d}\bigoplus _{i_{0}<\ldots <i_{r}}x_{i_{0}}\ldots x_{i_{r}}k[x_{i_{0}},\ldots ,x_{i_{r}}].}$

• Предположим, что абстрактный симплициальный комплекс ∆ является симплициальным джойном абстрактных симплициальных комплексов ∆^′ на Икс₁,...,Икс_м и Δ^′′ на Икс_м+1,...,Икс_п. Тогда кольцо Стэнли – Райснера кольца ∆ является тензорное произведение над k колец Стэнли – Райснера кольца ∆^′ и Δ^′′:

${\displaystyle k[\Delta ]\simeq k[\Delta ']\otimes _{k}k[\Delta ''].}$

Условие Коэна – Маколея и гипотеза о верхней оценке

Кольцо для лица k[Δ] - мультиградуированная алгебра над k все компоненты которого относительно тонкой градуировки имеют размерность не больше 1. Следовательно, его гомологии можно изучать комбинаторными и геометрическими методами. Абстрактный симплициальный комплекс Δ называется Коэн – Маколей над k если его лицевое кольцо - Кольцо Коэна – Маколея.^[3] В своей диссертации 1974 г. Джеральд Рейснер дал полную характеристику таких комплексов. Вскоре за этим последовали более точные гомологические результаты о лицевых кольцах Мелвина Хохстера. Затем Ричард Стэнли нашел способ доказать Гипотеза о верхней границе за симплициальные сферы, который был открыт в то время, используя конструкцию лицевого кольца и критерий Рейснера Коэна – Маколея. Идея Стэнли переводить сложные догадки на алгебраическая комбинаторика в заявления от коммутативная алгебра и доказывая их с помощью гомологический методы были источником быстро развивающейся области комбинаторная коммутативная алгебра.

Критерий Рейснера

Симплициальный комплекс ∆ - это Коэна – Маколея над k тогда и только тогда, когда для всех симплексов σ ∈ Δ, все приведенные симплициальные гомологии группы связи σ в Δ с коэффициентами в k равны нулю, кроме верхнего размерного:^[3]

${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(\operatorname {link} _{\Delta }(\sigma );k)=0\quad {\text{for all}}\quad i<\dim \operatorname {link} _{\Delta }(\sigma ).}$

Затем результат Мункреса показывает, что коэново-маколей Δ над k является топологическим свойством: оно зависит только от гомеоморфизм класс симплициального комплекса Δ. А именно, пусть | Δ | быть геометрическая реализация из Δ. Тогда обращение в нуль групп симплициальных гомологий в критерии Рейснера эквивалентно следующему утверждению о приведенной и относительной особые гомологии группы | Δ |:

${\displaystyle {\text{For all }}p\in |\Delta |{\text{ and for all }}i<\dim |\Delta |=d-1,\quad {\tilde {H}}_{i}(\operatorname {|} \Delta |;k)=H_{i}(\operatorname {|} \Delta |,\operatorname {|} \Delta |-p;k)=0.}$

В частности, если комплекс Δ является симплициальная сфера, то есть | Δ | гомеоморфен сфера, то это Коэн – Маколей над любым полем. Это ключевой шаг в доказательстве Стэнли гипотезы о верхней границе. Напротив, существуют примеры симплициальных комплексов, коэн-маколей которых зависит от характеристики поляk.

Рекомендации

1. Миллер и Штурмфельс (2005) стр.19
2. Миллер и Штурмфельс (2005), стр. 3-5.
3. Миллер и Штурмфельс (2005) стр.101

• Мелвин Хохстер, Кольца Коэна-Маколея, комбинаторика и симплициальные комплексы. Теория колец, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), pp. 171–223. Конспект лекций в Pure и Appl. Math., Vol. 26, Деккер, Нью-Йорк, 1977.
• Стэнли, Ричард (1996). Комбинаторика и коммутативная алгебра. Успехи в математике. 41 (Второе изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston. ISBN  0-8176-3836-9. Zbl  0838.13008.
• Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993). Кольца Коэна – Маколея. Кембриджские исследования в области высшей математики. 39. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-41068-1. Zbl  0788.13005.
• Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 227. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-23707-0. Zbl  1090.13001.

дальнейшее чтение

• Панов, Тарас Э. (2008). «Когомологии колец граней и действия тора». В Янге Николай; Чой, Йемон (ред.). Обзоры по современной математике. Серия лекций Лондонского математического общества. 347. Издательство Кембриджского университета. С. 165–201. ISBN  978-0-521-70564-6. Zbl  1140.13018.

внешняя ссылка

• "Кольцо Стэнли – Рейснера", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]