Псевдотензор напряжения-энергии-импульса - Stress–energy–momentum pseudotensor - Wikipedia

В теории общая теория относительности, а псевдотензор напряжения-энергии-импульса, такой как Псевдотензор Ландау – Лифшица, является продолжением негравитационного тензор энергии-импульса который включает энергию-импульс гравитации. Он позволяет определить энергию-импульс системы гравитирующего вещества. В частности, он позволяет всей материи плюс гравитирующей энергии-импульсу образовывать сохраненный ток в рамках общая теория относительности, таким образом общий энергия-импульс, пересекающий гиперповерхность (3-мерная граница) любой компактный пространство-время гиперобъем (4-мерное подмногообразие) обращается в нуль.

Некоторые люди (например, Эрвин Шредингер^{[нужна цитата ]}) возразили против этого вывода на том основании, что псевдотензоры являются неподходящими объектами в общей теории относительности, но закон сохранения требует только использования 4-расхождение псевдотензора, который в данном случае является тензором (который также обращается в нуль). Кроме того, большинство псевдотензоров - это участки жгуты, которые теперь признаются в GR как вполне допустимые объекты.

Псевдотензор Ландау – Лифшица

Использование Псевдотензор Ландау – Лифшица, напряжение – энергия – импульс псевдотензор для комбинированной материи (включая фотоны и нейтрино) плюс гравитация,^[1] позволяет распространить законы сохранения энергии-импульса на общая теория относительности. Вычитание материи тензор энергии-импульса-импульса из комбинированного псевдотензора приводит к гравитационному псевдотензору напряжения-энергии-импульса.

Требования

Ландо и Лифшиц при поиске псевдотензора гравитационного импульса энергии руководствовались четырьмя требованиями: ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }\,}$:^[1]

1. чтобы он был построен полностью из метрический тензор, так что они имеют чисто геометрическое или гравитационное происхождение.
2. чтобы он был симметричным по индексу, т.е. ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,}$, (чтобы сохранить угловой момент )
3. что при добавлении к тензор энергии-импульса материи, ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$, всего 4-расхождение исчезает (это требуется для любого сохраненный ток ) так что мы имеем сохраняющееся выражение для полного напряжения-энергии-импульса.
4. что он исчезает локально в инерциальная система отсчета (что требует, чтобы он содержал только первую, а не вторую или более высокую производные метрики). Это потому, что принцип эквивалентности требует, чтобы гравитационное силовое поле, Символы Кристоффеля, исчезают локально в некоторых кадрах. Если гравитационная энергия является функцией его силового поля, как это обычно бывает для других сил, тогда соответствующий гравитационный псевдотензор также должен исчезнуть локально.

Определение

Ландау и Лифшиц показали, что существует уникальная конструкция, удовлетворяющая этим требованиям, а именно:

${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}((-g)(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }))_{,\alpha \beta }}$

куда:

• грамм^μν это Тензор Эйнштейна (который построен из метрики)
• грамм^μν инверсия метрический тензор
• грамм = det (грамм_μν) это детерминант метрического тензора и <0. Отсюда его появление в виде ${\displaystyle -g}$.
• ${\displaystyle ,_{\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$ находятся частные производные, нет ковариантные производные.
• грамм это Ньютон гравитационная постоянная.

Проверка

Изучив 4 условия требований, мы видим, что первые 3 относительно легко продемонстрировать:

1. Поскольку тензор Эйнштейна, ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$, строится из метрики, поэтому ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}$
2. Поскольку тензор Эйнштейна, ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$, симметричен, поэтому ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}$ поскольку дополнительные члены симметричны при осмотре.
3. Псевдотензор Ландау – Лифшица построен так, что при добавлении к тензор энергии-импульса материи, ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$, всего 4-расхождение исчезает: ${\displaystyle ((-g)(T^{\mu \nu }+t_{LL}^{\mu \nu }))_{,\mu }=0}$. Это следует из сокращения тензора Эйнштейна, ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$, с тензор энергии-импульса, ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$ посредством Уравнения поля Эйнштейна; оставшийся член алгебраически обращается в нуль из-за коммутативности частных производных, применяемых по антисимметричным индексам.
4. Псевдотензор Ландау – Лифшица, по-видимому, включает в себя члены второй производной в метрике, но на самом деле явные члены второй производной в псевдотензоре сокращаются с неявными членами второй производной, содержащимися в Тензор Эйнштейна, ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$. Это более очевидно, когда псевдотензор прямо выражается через метрический тензор или Леви-Чивита связь; сохраняются только первые производные члены в метрике, и они исчезают, если система отсчета локально инерционна в любой выбранной точке. В результате весь псевдотензор исчезает локально (опять же, в любой выбранной точке) ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=0}$, что демонстрирует делокализацию гравитационной энергии-импульса.^[1]

Космологическая постоянная

При формулировке псевдотензора Ландау – Лифшица обычно предполагалось, что космологическая постоянная, ${\displaystyle \Lambda \,}$, было ноль. Настоящее время мы не делаем этого предположения, а выражение требует добавления ${\displaystyle \Lambda \,}$ срок, дающий:

${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu })+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}((-g)(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }))_{,\alpha \beta }}$

Это необходимо для согласования с Уравнения поля Эйнштейна.

Версии с метрическим и аффинным подключением

Ландау и Лифшиц также предоставляют два эквивалентных, но более длинных выражения для псевдотензора Ландау – Лифшица:

• Метрический тензор версия:

${\displaystyle (-g)(t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}})={\frac {c^{4}}{16\pi G}}(({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }),_{\alpha }({\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }),_{\beta }-}$

${\displaystyle -({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }),_{\alpha }({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }),_{\beta }+{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\alpha \beta }({\sqrt {-g}}g^{\alpha \sigma }),_{\rho }({\sqrt {-g}}g^{\rho \beta }),_{\sigma }-}$

${\displaystyle -(g^{\mu \alpha }g_{\beta \sigma }({\sqrt {-g}}g^{\nu \sigma }),_{\rho }({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }),_{\alpha }+g^{\nu \alpha }g_{\beta \sigma }({\sqrt {-g}}g^{\mu \sigma }),_{\rho }({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }),_{\alpha })+}$

${\displaystyle +g_{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }),_{\sigma }({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }),_{\rho }+\,}$

${\displaystyle +{\frac {1}{8}}(2g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })(2g_{\sigma \rho }g_{\lambda \omega }-g_{\rho \lambda }g_{\sigma \omega })({\sqrt {-g}}g^{\sigma \omega }),_{\alpha }({\sqrt {-g}}g^{\rho \lambda }),_{\beta })}$^[2]

• Аффинная связь версия:

${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}((2\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\Gamma _{\beta \rho }^{\rho })(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })+}$

${\displaystyle +g^{\mu \alpha }g^{\beta \sigma }(\Gamma _{\alpha \rho }^{\nu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\nu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho })+}$

${\displaystyle +g^{\nu \alpha }g^{\beta \sigma }(\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\mu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho })+}$

${\displaystyle +g^{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }(\Gamma _{\alpha \sigma }^{\mu }\Gamma _{\beta \rho }^{\nu }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }))}$^[3]

Это определение энергии-импульса ковариантно применимо не только при преобразованиях Лоренца, но и при общих преобразованиях координат.

Псевдотензор Эйнштейна

Этот псевдотензор был первоначально разработан Альберт Эйнштейн.^[4][5]

Поль Дирак показал^[6] что смешанный псевдотензор Эйнштейна

${\displaystyle {t_{\mu }}^{\nu }={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}((g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}})_{,\mu }(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma })-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }(\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma }){\sqrt {-g}})}$

удовлетворяет закону сохранения

${\displaystyle (({T_{\mu }}^{\nu }+{t_{\mu }}^{\nu }){\sqrt {-g}})_{,\nu }=0.}$

Ясно, что этот псевдотензор для гравитационного стресса – энергии построен исключительно на основе метрического тензора и его первых производных. Следовательно, он обращается в нуль в любом случае, когда система координат выбирается так, чтобы первые производные метрики обращались в нуль, потому что каждый член в псевдотензоре квадратичен по первым производным метрики. Однако он несимметричен и поэтому не подходит в качестве основы для определения углового момента.

Смотрите также

• Тензор Беля – Робинсона
• Гипотеза Куперстока о локализации энергии
• Гравитационная волна

Примечания

1. Лев Давидович Ландау и Евгений Михайлович Лифшиц, Классическая теория поля, (1951), Pergamon Press, ISBN  7-5062-4256-7 Глава 11, Раздел № 96
2. Уравнение Ландау – Лифшица 96.9
3. Уравнение Ландау – Лифшица 96.8
4. Альберт Эйнштейн Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (Принцип Гамильтона и общая теория относительности). Sitzungsber. преусс. Акад. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.
5. Альберт Эйнштейн Der Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (Закон сохранения энергии в общей теории относительности). Sitzungsber. преусс. Акад. Wiss. 1918, 1, 448–459.
6. П.А.М. Дирак, Общая теория относительности (1975), Princeton University Press, краткое изложение основ GTR. ISBN  0-691-01146-X страницы 61—63

Рекомендации

• Нелинейные возмущения и законы сохранения на искривленном фоне в ОТО и других метрических теориях Петрова А.Н.