Сильная субаддитивность квантовой энтропии - Strong subadditivity of quantum entropy

В квантовой теории информации Сильная субаддитивность квантовой энтропии. (SSA) касается отношения между энтропии фон Неймана различных квантовых подсистем более крупной квантовой системы, состоящей из трех подсистем (или одной квантовой системы с тремя степенями свободы). Это основная теорема современного квантовая теория информации. Это было предположено Д.В. Робинсон и Д. Рюэль^[1] в 1966 г. и О. Э. Лэнфорд III и Д. В. Робинсон^[2] в 1968 г. и доказано в 1973 г. E.H. Либ и М.Б. Рускай.^[3] В 2010 году Рускай узнал, что Дж. Кифер доказал это еще в 1959 году.^[4][5]

Классическая версия SSA была давно известна и ценилась в классической теории вероятностей и теории информации. Доказательство этого соотношения в классическом случае довольно просто, но квантовый случай труден из-за некоммутативности уменьшенные матрицы плотности описание квантовых подсистем.

Вот некоторые полезные ссылки:

• «Квантовые вычисления и квантовая информация»^[6]
• «Квантовая энтропия и ее использование»^[7]
• Следовые неравенства и квантовая энтропия: вводный курс^[8]

Определения

В дальнейшем мы используем следующие обозначения: A Гильбертово пространство обозначается ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, и ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ обозначает ограниченные линейные операторы на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.Тензорные произведения обозначаются надстрочными индексами, например, ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}}$. След обозначается ${\displaystyle {\rm {Tr}}}$.

Матрица плотности

А матрица плотности это Эрмитский, положительный полуопределенный матрица след один. Это позволяет описать квантовая система в смешанное состояние. Матрицы плотности на тензорном произведении обозначаются надстрочными индексами, например, ${\displaystyle \rho ^{12}}$ матрица плотности на ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$.

Энтропия

Фон Нейман квантовая энтропия матрицы плотности ${\displaystyle \rho }$ является

${\displaystyle S(\rho ):=-{\rm {Tr}}(\rho \log \rho )}$.

Относительная энтропия

Умегаки^[9] квантовая относительная энтропия двух матриц плотности ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \sigma }$ является

${\displaystyle S(\rho ||\sigma )={\rm {Tr}}(\rho \log \rho -\rho \log \sigma )\geq 0}$.

Совместная вогнутость

Функция ${\displaystyle g}$ двух переменных называется совместно вогнутый если для любого ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$ следующее имеет место

${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\geq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}$

Субаддитивность энтропии

Обычная субаддитивность ^[10] касается только двух пробелов ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$ и матрица плотности ${\displaystyle \rho ^{12}}$. В нем говорится, что

${\displaystyle S(\rho ^{12})\leq S(\rho ^{1})+S(\rho ^{2})}$

Это неравенство справедливо, конечно, в классической теории вероятностей, но последняя также содержит теорему о том, что условные энтропии ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})}$ и ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{2})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{2})}$ оба неотрицательны. Однако в квантовом случае оба могут быть отрицательными, например ${\displaystyle S(\rho ^{12})}$может быть нулевым, а ${\displaystyle S(\rho ^{1})=S(\rho ^{2})>0}$. Тем не менее, верхняя граница субаддитивности ${\displaystyle S(\rho ^{12})}$ продолжает держаться. Самое близкое, что нужно ${\displaystyle S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})\geq 0}$ является неравенством треугольника Араки – Либа ^[10]

${\displaystyle S(\rho ^{12})\geq |S(\rho ^{1})-S(\rho ^{2})|}$

который получен в ^[10] от субаддитивности математическим методом, известным как «очистка».

Сильная субаддитивность (SSA)

Предположим, что гильбертово пространство системы является тензорное произведение из трех пространств: ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}.}$. Физически эти три пространства можно интерпретировать как пространство трех различных систем или как три части или три степени свободы одной физической системы.

Учитывая матрицу плотности ${\displaystyle \rho ^{123}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, определим матрицу плотности ${\displaystyle \rho ^{12}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}}$ как частичный след: ${\displaystyle \rho ^{12}={\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{3}}\rho ^{123}}$. Точно так же мы можем определить матрицы плотности: ${\displaystyle \rho ^{23}}$, ${\displaystyle \rho ^{13}}$, ${\displaystyle \rho ^{1}}$, ${\displaystyle \rho ^{2}}$, ${\displaystyle \rho ^{3}}$.

Заявление

Для любого трехстороннего государства ${\displaystyle \rho ^{123}}$ следующее имеет место

${\displaystyle S(\rho ^{123})+S(\rho ^{2})\leq S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})}$,

куда ${\displaystyle S(\rho ^{12})=-{\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{12}}\rho ^{12}\log \rho ^{12}}$, Например.

Точно так же заявление можно переформулировать с точки зрения условные энтропии чтобы показать, что для трехстороннего государства ${\displaystyle \rho ^{ABC}}$,

${\displaystyle S(A\mid BC)\leq S(A\mid B)}$.

Это также можно переформулировать с точки зрения квантовая взаимная информация,

${\displaystyle I(A:BC)\geq I(A:B)}$.

Эти утверждения идут параллельно классической интуиции, за исключением того, что квантовые условные энтропии могут быть отрицательными, а квантовая взаимная информация может выходить за рамки классической границы маргинальной энтропии.

Сильное неравенство субаддитивности было улучшено Карленом и Либом следующим образом. ^[11]

${\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13}),0\}}$,

с оптимальной константой ${\displaystyle 2}$.

Как упоминалось выше, SSA была впервые доказана Дж. Кифером.^[4][5] в 1959 г. и независимо Э. Х. Либом и М. Б. Рускаем^[3] в 1973 г. по теореме Либа.^[12]Расширение от настройки гильбертова пространства к настройке алгебры фон Неймана, где состояния не задаются матрицами плотности, было сделано Нарнхофером и Тиррингом.^[13]

Теорема также может быть получена путем доказательства многочисленных эквивалентных утверждений, некоторые из которых кратко изложены ниже.

Гипотеза Вигнера – Янасе – Дайсона

Э. П. Вигнер, М. М. Янасе ^[14] предложил другое определение энтропии, которое было обобщено Ф.Д. Дайсоном.

Вигнер – Янасе – Дайсон п- искаженная информация

Вигнер – Янасе – Дайсон ${\displaystyle p}$- искаженная информация матрицы плотности ${\displaystyle \rho }$. по отношению к оператору ${\displaystyle K}$ является

${\displaystyle I_{p}(\rho ,K)={\frac {1}{2}}{\rm {Tr}}[\rho ^{p},K^{*}][\rho ^{1-p},K],}$

куда ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ коммутатор, ${\displaystyle K^{*}}$ примыкает к ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ фиксированный.

Вогнутость п- искаженная информация

Это было высказано Э. П. Вигнером и М. М. Янасе в ^[15] который ${\displaystyle p}$- информация о перекосе является вогнутой как функция матрицы плотности ${\displaystyle \rho }$ для фиксированного ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$.

Поскольку срок ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}{\rm {Tr}}\rho KK^{*}}$ вогнутая (линейная), гипотеза сводится к задаче вогнутости ${\displaystyle Tr\rho ^{p}K^{*}\rho ^{1-p}K}$. Как отмечено в^[12] эта гипотеза (для всех ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$) следует SSA и доказано для ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ в,^[15] и для всех ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ в ^[12]в следующем более общем виде: Функция двух матричных переменных

${\displaystyle A,B\mapsto {\rm {Tr}}A^{r}K^{*}B^{p}K}$

(1)

совместно вогнута в ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B,}$когда ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ и ${\displaystyle p+r\leq 1}$.

Эта теорема является важной частью доказательства SSA в.^[3]

В своей статье ^[15] Э. П. Вигнер и М. М. Янасе также предположили субаддитивность ${\displaystyle p}$-скидная информация для ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$, что было опровергнуто Хансеном^[16] приведя контрпример.

Первые два оператора эквивалентны SSA

На это указывалось в ^[10] что первое утверждение ниже эквивалентно SSA и A. Ulhmann в ^[17] показал эквивалентность второго утверждения ниже и SSA.

• ${\displaystyle S(\rho ^{1})+S(\rho ^{3})-S(\rho ^{12})-S(\rho ^{23})\leq 0.}$ Обратите внимание, что условные энтропии ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})}$ и ${\displaystyle S(\rho ^{23}|\rho ^{3})}$ не обязательно должны быть одновременно неотрицательными.
• Карта ${\displaystyle \rho ^{12}\mapsto S(\rho ^{1})-S(\rho ^{12})}$ выпуклый.

Оба эти утверждения были прямо доказаны в.^[3]

Совместная выпуклость относительной энтропии

Как отмечает Линдблад ^[18] и Ульманн,^[19] если в уравнении (1), берется ${\displaystyle K=1}$ и ${\displaystyle r=1-p,A=\rho }$ и ${\displaystyle B=\sigma }$ и отличается ${\displaystyle p}$ в ${\displaystyle p=0}$ человек получает Совместная выпуклость относительной энтропии : то есть, если ${\displaystyle \rho =\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}}$, и ${\displaystyle \sigma =\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}}$, тогда

${\displaystyle S{\Bigl (}\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}||\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k}\lambda _{k}S(\rho _{k}||\sigma _{k}),}$

(2)

куда ${\displaystyle \lambda _{k}\geq 0}$ с ${\displaystyle \sum _{k}\lambda _{k}=1}$.

Монотонность квантовой относительной энтропии

Относительная энтропия монотонно убывает при полностью положительный след сохраняющие (CPTP) операции ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ по матрицам плотности,

${\displaystyle S({\mathcal {N}}(\rho )\|{\mathcal {N}}(\sigma ))\leq S(\rho \|\sigma )}$.

Это неравенство называется Монотонность квантовой относительной энтропии. Благодаря Теорема факторизации Стайнспринга, это неравенство является следствием конкретного выбора карты CPTP - частичной карты трассировки, описанной ниже.

Самый важный и базовый класс карт CPTP - операция частичной трассировки. ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{12})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{1})}$, данный ${\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes \mathrm {Tr} _{{\mathcal {H}}^{2}}}$. потом

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )\leq S(\rho ||\sigma ),}$

(3)

который называется Монотонность квантовой относительной энтропии по частичному следу.

Чтобы увидеть, как это следует из совместной выпуклости относительной энтропии, заметим, что ${\displaystyle T}$ можно записать в представлении Ульмана как

${\displaystyle T(\rho ^{12})=N^{-1}\sum _{j=1}^{N}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j})\rho ^{12}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j}^{*}),}$

для некоторых конечных ${\displaystyle N}$ и некоторый набор унитарных матриц на ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$ (альтернативно, интегрировать по Мера Хаара ). Поскольку след (а значит, и относительная энтропия) унитарно инвариантен, неравенство (3) теперь следует из (2). Эта теорема принадлежит Линдбладу. ^[18]и Ульманн,^[17] чье доказательство приведено здесь.

SSA получается из (3) с ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}}$ заменен на ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$ и${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$ заменены ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{3}}$. Брать ${\displaystyle \rho =\rho ^{123},}$ ${\displaystyle \sigma =\rho ^{1}\otimes \rho ^{23},}$ ${\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{12}}\otimes Tr_{{\mathcal {H}}^{3}}}$.Потом (3) становится

${\displaystyle S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})\leq S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23}).}$

Следовательно,

${\displaystyle S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23})-S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})=S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 0,}$

который является SSA. Таким образом, монотонность квантовой относительной энтропии (которая следует из (1) подразумевает SSA.

Отношения между неравенством

Все перечисленные выше важные неравенства эквивалентны друг другу и также могут быть доказаны напрямую. Следующие варианты эквивалентны:

• Монотонность квантовой относительной энтропии (МОНО);
• Монотонность квантовой относительной энтропии по частичному следу (MPT);
• Сильная субаддитивность (SSA);
• Совместная выпуклость квантовой относительной энтропии (JC);

Следующие выводы показывают эквивалентность этих неравенств.

• МОНОНУКЛЕОЗ ${\displaystyle \Rightarrow }$ MPT: следует, поскольку MPT является частным случаем MONO;
• MPT ${\displaystyle \Rightarrow }$ МОНО: показал Линдблад,^[20] использование представления стохастических карт как частичного следа над вспомогательной системой;
• MPT ${\displaystyle \Rightarrow }$ SSA: следует путем выбора конкретного трехчастичного состояния в MPT, описанного в разделе выше «Монотонность квантовой относительной энтропии»;
• SSA ${\displaystyle \Rightarrow }$ MPT: по выбору ${\displaystyle \rho _{123}}$ чтобы быть блочной диагональю, можно показать, что SSA подразумевает, что отображение

${\displaystyle \rho _{12}\mapsto S(\rho _{1})-S(\rho _{12})}$ выпуклый. В ^[3] было замечено, что эта выпуклость дает MPT;

• MPT ${\displaystyle \Rightarrow }$ JC: как было сказано выше, выбрав ${\displaystyle \rho _{12}}$ (и аналогично, ${\displaystyle \sigma _{12}}$) быть блочно-диагональной матрицей с блоками ${\displaystyle \lambda _{k}\rho _{k}}$ (и ${\displaystyle \lambda _{k}\sigma _{k}}$) частичный след представляет собой сумму по блокам, так что ${\displaystyle \rho :=\rho _{2}=\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}}$, поэтому из MPT можно получить JC;
• JC ${\displaystyle \Rightarrow }$ SSA: используя «процесс очистки», Араки и Либ,^[10][21] заметил, что из известных можно получить новые полезные неравенства. Очищая ${\displaystyle \rho _{123}}$ к ${\displaystyle \rho _{1234}}$ можно показать, что SSA эквивалентно

${\displaystyle S(\rho _{4})+S(\rho _{2})\leq S(\rho _{12})+S(\rho _{14}).}$

Более того, если ${\displaystyle \rho _{124}}$ чисто, тогда ${\displaystyle S(\rho _{2})=S(\rho _{14})}$ и ${\displaystyle S(\rho _{4})=S(\rho _{12})}$, значит, в указанном неравенстве выполняется равенство. Поскольку крайние точки выпуклого множества матриц плотности являются чистыми состояниями, SSA следует из JC;

Видеть,^[21][22] для обсуждения.

Случай равенства

Равенство в монотонности квантового неравенства относительной энтропии

В,^[23][24] Д. Петц показал, что единственный случай равенства в соотношении монотонности - наличие собственного канала «восстановления»:

Для всех штатов ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \sigma }$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ и все квантовые операторы ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$,

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),}$

тогда и только тогда, когда существует квантовый оператор ${\displaystyle {\hat {T}}}$ такой, что

${\displaystyle {\hat {T}}T\sigma =\sigma ,}$ и ${\displaystyle {\hat {T}}T\rho =\rho .}$

Более того, ${\displaystyle {\hat {T}}}$ можно явно задать формулой

${\displaystyle {\hat {T}}\omega =\sigma ^{1/2}T^{*}{\Bigl (}(T\sigma )^{-1/2}\omega (T\sigma )^{-1/2}{\Bigr )}\sigma ^{1/2},}$

куда ${\displaystyle T^{*}}$ это сопряженная карта из ${\displaystyle T}$.

Д. Петц поставил еще одно условие ^[23] когда выполняется равенство в Монотонности квантовой относительной энтропии: первое утверждение ниже. Различая это в ${\displaystyle t=0}$ у нас есть второе условие. Более того, М. Рускай привел еще одно доказательство второго утверждения.

Для всех штатов ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \sigma }$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ и все квантовые операторы ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$,

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),}$

тогда и только тогда, когда выполняются следующие эквивалентные условия:

• ${\displaystyle T^{*}(T(\rho )^{it}T(\sigma )^{it})=\rho ^{it}\sigma ^{-it}}$ для всех реальных ${\displaystyle t}$.
• ${\displaystyle \log \rho -\log \sigma =T^{*}{\Bigl (}\log T(\rho )-\log T(\sigma ){\Bigr )}.}$

куда ${\displaystyle T^{*}}$ является сопряженным отображением ${\displaystyle T}$.

Равенство в сильном неравенстве субаддитивности

П. Хайден, Р. Йожа, Д. Петц и А. Зима описали состояния, для которых выполняется равенство в SSA.^[25]

Штат ${\displaystyle \rho ^{ABC}}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B}\otimes {\mathcal {H}}^{C}}$ удовлетворяет сильной субаддитивности с равенством тогда и только тогда, когда существует разложение второй системы как

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{B}=\bigoplus _{j}{\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}}$

в прямую сумму тензорных произведений, такую ​​что

${\displaystyle \rho ^{ABC}=\bigoplus _{j}q_{j}\rho ^{AB_{j}^{L}}\otimes \rho ^{B_{j}^{R}C},}$

с государствами ${\displaystyle \rho ^{AB_{j}^{L}}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}}$ и ${\displaystyle \rho ^{B_{j}^{R}C}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}\otimes {\mathcal {H}}^{C}}$, и распределение вероятностей ${\displaystyle \{q_{j}\}}$.

Расширение Карлена-Либа

Э. Х. Либ и E.A. Карлен нашли явный член ошибки в неравенстве SSA,^[11] а именно,

${\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{0,S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\}}$

Если ${\displaystyle S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})\leq 0}$ и ${\displaystyle S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\leq 0}$, как это всегда бывает для классической энтропии Шеннона, это неравенство не о чем говорит. С другой стороны, для квантовой энтропии вполне возможно, что условные энтропии удовлетворяют ${\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{1})=S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})>0}$ или же ${\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{3})=S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})>0}$ (но не оба сразу!). Затем в этом «высококвантовом» режиме это неравенство дает дополнительную информацию.

Константа 2 оптимальна в том смысле, что для любой константы больше 2 можно найти состояние, для которого нарушается неравенство с этой константой.

Операторное расширение сильной субаддитивности

В своей статье ^[26] И. Ким изучил операторное расширение сильной субаддитивности, доказав следующее неравенство:

Для трехчастного состояния (матрица плотности) ${\displaystyle \rho ^{123}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}}$,

${\displaystyle Tr_{12}{\Bigl (}\rho ^{123}(-\log(\rho ^{12})-\log(\rho ^{23})+\log(\rho ^{2})+\log(\rho ^{123})){\Bigr )}\geq 0.}$

Доказательство этого неравенства основано на Теорема Эффроса,^[27] для каких конкретных функций и операторов выбираются, чтобы получить неравенство выше. М. Б. Рускай подробно описывает эту работу в ^[28] и обсуждает, как доказать большой класс новых матричных неравенств в трехчастном и двудольном случаях, проводя частичный след по всем пространствам, кроме одного.

Расширения сильной субаддитивности с точки зрения восстанавливаемости

Значительное усиление сильной субаддитивности было доказано в 2014 г.^[29] который впоследствии был улучшен в ^[30] и.^[31] В 2017 г.^[32] было показано, что канал восстановления можно принять за исходную карту восстановления Petz. Эти улучшения сильной субаддитивности имеют физическую интерпретацию с точки зрения восстанавливаемости, что означает, что если условная взаимная информация ${\displaystyle I(A;B|E)=S(AE)+S(BE)-S(E)-S(ABE)}$ трехчастного квантового состояния ${\displaystyle \rho _{ABE}}$ почти равно нулю, то можно выполнить восстановление канала ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{E\to AE}}$ (из системы E в AE) такую, что ${\displaystyle \rho _{ABE}\approx {\mathcal {R}}_{E\to AE}(\rho _{BE})}$. Таким образом, эти результаты обобщают упомянутые выше условия точного равенства.

Смотрите также

• Энтропия фон Неймана
• Условная квантовая энтропия
• Квантовая взаимная информация
• Дивергенция Кульбака – Лейблера

Рекомендации

1. Робинсон, Дерек У .; Руэлль, Дэвид (1967). «Средняя энтропия состояний в классической статистической механике». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 5 (4): 288–300. Дои:10.1007 / bf01646480. ISSN  0010-3616.
2. Лэнфорд, Оскар Э .; Робинсон, Дерек В. (1968). «Средняя энтропия состояний в квантовой статистической механике». Журнал математической физики. Издательство AIP. 9 (7): 1120–1125. Дои:10.1063/1.1664685. ISSN  0022-2488.
3. Либ, Эллиотт Х.; Рускай, Мэри Бет (1973). «Доказательство сильной субаддитивности квантово-механической энтропии» (PDF). Журнал математической физики. Издательство AIP. 14 (12): 1938–1941. Дои:10.1063/1.1666274. ISSN  0022-2488.
4. Кифер, Дж. (Июль 1959 г.). «Оптимальные экспериментальные проекты». Журнал Королевского статистического общества: серия B (методологическая). 21 (2): 272–310.
5. Рускай, Мэри Бет. «Эволюция фундаментальной теоремы о квантовой энтропии». youtube.com. Всемирный научный. Получено 20 августа 2020. Приглашенный доклад на конференции в честь 90-летия Фримена Дайсона, Институт перспективных исследований, Технологический университет Наньян, Сингапур, 26-29 августа 2013 г. Примечание о Кифере (1959 г.) находится на отметке 26:40.
6. М. Нильсен, И. Чуанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, Cambr. У. Пресс, (2000)
7. М. Охя, Д. Петц, Квантовая энтропия и ее использование, Springer (1993)
8. Э. Карлен, Следовые неравенства и квантовая энтропия: вводный курс, Contemp. Математика. 529 (2009).
9. Умегаки, Хисахару (1962). «Условное ожидание в операторной алгебре. IV. Энтропия и информация». Отчеты математического семинара Кодай. Токийский технологический институт, факультет математики. 14 (2): 59–85. Дои:10,2996 / kmj / 1138844604. ISSN  0023-2599.
10. Араки, Хузихиро; Либ, Эллиотт Х. (1970). «Энтропийные неравенства». Коммуникации по математической физике. 18 (2): 160–170. Дои:10.1007 / BF01646092. ISSN  0010-3616.
11. Карлен, Эрик А .; Либ, Эллиотт Х. (2012). «Границы запутанности через расширение сильной субаддитивности энтропии». Письма по математической физике. 101: 1–11. arXiv:1203.4719. Дои:10.1007 / s11005-012-0565-6.
12. Либ, Эллиотт H (1973). «Выпуклые функции следа и гипотеза Вигнера-Янасе-Дайсона». Успехи в математике. 11 (3): 267–288. Дои:10.1016 / 0001-8708 (73) 90011-X. ISSN  0001-8708.
13. Нарнгофер, Х. (1985). «От относительной энтропии к энтропии». Физика. 17: 258–262.
14. Wigner, E. P .; Янасэ, М. М. (1 мая 1963 г.). «Информационное содержание рассылок». Труды Национальной академии наук. 49 (6): 910–918. Дои:10.1073 / пнас.49.6.910. ISSN  0027-8424.
15. Wigner, Eugene P .; Янасэ, Муцуо М. (1964). "О положительной полуопределенной природе определенного матричного выражения". Канадский математический журнал. Канадское математическое общество. 16: 397–406. Дои:10.4153 / cjm-1964-041-x. ISSN  0008-414X.
16. Хансен, Франк (18 января 2007 г.). «Энтропия Вигнера-Янасе не является субаддитивной». Журнал статистической физики. Springer Nature. 126 (3): 643–648. arXiv:math-ph / 0609019. Дои:10.1007 / s10955-006-9265-х. ISSN  0022-4715.
17. A. Ulhmann, Endlich Dimensionale Dichtmatrizen, II, Wiss. Z. Karl-Marx-University Leipzig 22 Jg. Н. 2., 139 (1973).
18. Линдблад, Горан (1974). «Ожидания и энтропийные неравенства для конечных квантовых систем». Коммуникации по математической физике. 39 (2): 111–119. Дои:10.1007 / BF01608390. ISSN  0010-3616.
19. Ульманн, А. (1977). «Относительная энтропия и вогнутость Вигнера-Янасе-Дайсона-Либа в теории интерполяции». Коммуникации по математической физике. 54 (1): 21–32. Дои:10.1007 / BF01609834. ISSN  0010-3616.
20. Линдблад, Горан (1975). «Полностью положительные отображения и энтропийные неравенства». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 40 (2): 147–151. Дои:10.1007 / bf01609396. ISSN  0010-3616.
21. Либ, Э. Х. (1975). «Некоторые свойства выпуклости и субаддитивности энтропии». Бык. AMS. 81: 1–13. Дои:10.1090 / с0002-9904-1975-13621-4.
22. Рускай, Мэри Бет (2002). «Неравенства для квантовой энтропии: обзор с условиями равенства». Журнал математической физики. Издательство AIP. 43 (9): 4358–4375. arXiv:Quant-ph / 0205064. Дои:10.1063/1.1497701. ISSN  0022-2488. ошибка 46, 019901 (2005)
23. Петц, Денес (1986). «Достаточные подалгебры и относительная энтропия состояний алгебры фон Неймана». Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 105 (1): 123–131. Дои:10.1007 / bf01212345. ISSN  0010-3616.
24. Д. Петц, Достаточность каналов над алгебрами фон Неймана, Quart. J. Math. Oxford 35, 475–483 (1986).
25. П. Хайден, Р. Йожа, Д. Петц, А. Зима, Структура состояний, удовлетворяющих сильной субаддитивности квантовой энтропии с равенством, Comm. Математика. Phys. 246. С. 359–374 (2003).
26. Ким И. Операторное расширение сильной субаддитивности энтропии. arXiv:1210.5190 (2012).
27. Эффрос, Э. Г. (2009). «Матричный подход к некоторым знаменитым квантовым неравенствам». Proc. Natl. Акад. Sci. Соединенные Штаты Америки. 106 (4): 1006–1008. Дои:10.1073 / pnas.0807965106.
28. М. Б. Рускай, Замечания о сильном матричном неравенстве Кима: расширения и условия равенства, arXiv:1211.0049 (2012).
29. О. Фаузи, Р. Реннер. Квантовая условная взаимная информация и приближенные цепи Маркова. Сообщения по математической физике: 340, 2 (2015)
30. М. М. Уайльд. Восстанавливаемость в квантовой теории информации. Труды Королевского общества A, vol. 471, нет. 2182, стр. 20150338 Октябрь 2015 г.
31. Мариус Юнге, Ренато Реннер, Дэвид Саттер, Марк М. Уайлд, Андреас Винтер. Карты универсального восстановления и приблизительная достаточность квантовой относительной энтропии. Анналы Анри Пуанкаре, т. 19, нет. 10, страницы 2955--2978, октябрь 2018 г. arXiv:1509.07127
32. Карлен, Эрик А .; Вершинина, Анна (06.10.2017). «Восстановление стабильности карты при неравенстве обработки данных». arXiv:1710.02409 [math.OA ].