Суперпуанкаре алгебра - Super-Poincaré algebra

В теоретическая физика, а суперпуанкаре алгебра является продолжением Алгебра Пуанкаре включить суперсимметрия, связь между бозоны и фермионы. Они примеры алгебры суперсимметрии (без центральные сборы или внутренние симметрии) и являются Супералгебры Ли. Таким образом, суперпуанкаре алгебра является Z₂-квалифицированный векторное пространство с градуированной скобкой Ли такой, что четная часть является Алгебра Ли содержащую алгебру Пуанкаре, а нечетная часть построена из спиноры на котором есть антикоммутационное отношение со значениями в четной части.

Неформальный набросок

Алгебра Пуанкаре описывает изометрии Пространство-время Минковского. От теория представлений группы Лоренца, известно, что группа Лоренца допускает два неэквивалентных комплексных спинорных представления, получивших название ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle {\overline {2}}}$.^{[nb 1]} Принимая их тензорное произведение, получается ${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1}$; такие разложения тензорных произведений представлений на прямые суммы дается Правило Литтлвуда-Ричардсона.

Обычно такое разложение трактуется как относящееся к определенным частицам: так, например, пион, что является хиральный векторная частица, состоит из кварк -антикварковая пара. Однако можно было также определить ${\displaystyle 3\oplus 1}$ с самим пространством-временем Минковского. Это приводит к естественному вопросу: принадлежит ли пространство-время Минковского присоединенное представительство, то можно продолжить симметрию Пуанкаре на фундаментальное представление ? Что ж, может: это в точности алгебра суперпуанкаре. Возникает соответствующий экспериментальный вопрос: если мы живем в присоединенном представлении, то где же прячется фундаментальное представление? Это программа суперсимметрия, что экспериментально не обнаружено.

История

Алгебра Суперпуанкаре была впервые предложена в контексте теории Теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса, как средство избежать выводов Теорема Коулмана – Мандулы. То есть теорема Коулмана – Мандулы - это запретная теорема, которая утверждает, что алгебра Пуанкаре не может быть расширена дополнительными симметриями, которые могут описывать внутренние симметрии наблюдаемого спектра физических частиц. Однако теорема Коулмана – Мандулы предполагала, что расширение алгебры будет осуществляться с помощью коммутатора; этого предположения и, следовательно, теоремы можно избежать, рассматривая антикоммутатор, то есть используя антикоммутирующий Числа Грассмана. Предложение заключалось в рассмотрении алгебра суперсимметрии, определяемый как полупрямой продукт из центральное расширение супер-алгебры Пуанкаре компактным Алгебра Ли внутренних симметрий.

Определение

Простейшее суперсимметричное расширение алгебры Пуанкаре содержит два Спиноры Вейля со следующим антикоммутационным соотношением:

${\displaystyle \{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}\}=2{\sigma ^{\mu }}_{\alpha {\dot {\beta }}}P_{\mu }}$

и все другие антикоммутационные отношения между Qs и пs исчезают.^[1] В приведенном выше выражении ${\displaystyle P_{\mu }}$ генераторы перевода и ${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$ являются Матрицы Паули. Индекс ${\displaystyle \alpha }$ пробегает ценности ${\displaystyle \alpha =1,2.}$ Над индексом ставится точка ${\displaystyle {\dot {\beta }}}$ напомнить, что этот индекс преобразуется в соответствии с неэквивалентным сопряженным спинорным представлением; нельзя случайно сжимать эти два типа индексов. Матрицы Паули можно рассматривать как прямое проявление Правило Литтлвуда-Ричардсона упоминалось ранее: они указывают, как тензорное произведение ${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}}$ двух спиноров можно перевыразить в виде вектора. Индекс ${\displaystyle \mu }$ конечно колеблется в измерениях пространства-времени ${\displaystyle \mu =0,1,2,3.}$

С ним удобно работать Спиноры Дирака вместо спиноров Вейля; спинор Дирака можно рассматривать как элемент ${\displaystyle 2\oplus {\overline {2}}}$; он состоит из четырех компонентов. В Матрицы Дирака таким образом, также четырехмерны и могут быть выражены как прямые суммы матриц Паули. Тогда тензорное произведение дает алгебраическое отношение к Метрика Минковского ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ что выражается как:

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }}$

и

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]}$

Тогда это дает полную алгебру^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[M^{\mu \nu },Q_{\alpha }\right]&={\frac {1}{2}}(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha }^{\;\;\beta }Q_{\beta }\\\left[Q_{\alpha },P^{\mu }\right]&=0\\\{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}\}&=2(\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\beta }}}P_{\mu }\\\end{aligned}}}$

которые должны быть объединены с обычными Алгебра Пуанкаре. Это замкнутая алгебра, поскольку все Тождества Якоби удовлетворены и могут иметь явные матричные представления. Следуя этой логике рассуждений, мы супергравитация.

SUSY в пространстве-времени Минковского 3 + 1

В (3 + 1) Минковского, пространство-время Теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса утверждает, что SUSY-алгебра с N спинорными генераторами выглядит следующим образом.

Четная часть звездная супералгебра Ли прямая сумма Алгебра Пуанкаре и редуктивная алгебра Ли B (такая, что его самосопряженная часть является касательным пространством вещественной компактной группы Ли). Нечетная часть алгебры была бы

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)\otimes V^{*}}$

куда ${\displaystyle (1/2,0)}$ и ${\displaystyle (0,1/2)}$ являются конкретными представлениями алгебры Пуанкаре. (По сравнению с обозначениями, использованными ранее в статье, они соответствуют ${\displaystyle {\overline {2}}\oplus 1}$ и ${\displaystyle 1\oplus 2}$, соответственно, также см. сноску, где были введены предыдущие обозначения). Оба компонента сопряжены друг с другом при спряжении *. V является N-мерное комплексное представление B и V^* это его двойное представительство. Скобка Ли для нечетной части задается симметричным эквивариантный соединение {.,.} в нечетной части со значениями в четной части. В частности, его уменьшенное переплетение из ${\displaystyle [({\frac {1}{2}},0)\otimes V]\otimes [(0,{\frac {1}{2}})\otimes V^{*}]}$ к идеальный алгебры Пуанкаре, порожденной переводами, задается как произведение ненулевого сплетника из ${\displaystyle ({\frac {1}{2}},0)\otimes (0,{\frac {1}{2}})}$ в (1 / 2,1 / 2) "сплетением сжатия" из ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$ к тривиальное представление. С другой стороны, его уменьшенное переплетение из ${\displaystyle [({\frac {1}{2}},0)\otimes V]\otimes [({\frac {1}{2}},0)\otimes V]}$ является продуктом (антисимметричного) сплетения из ${\displaystyle ({\frac {1}{2}},0)\otimes ({\frac {1}{2}},0)}$ to (0,0) и антисимметричный сплетник А из ${\displaystyle N^{2}}$ к B. Сопрягайте его, чтобы получить соответствующий случай для другой половины.

N = 1

B сейчас ${\displaystyle u(1)}$ (называется R-симметрией) и V это одномерное представление ${\displaystyle u(1)}$ с обвинять 1. А (определяемый выше сплетник) должен быть равен нулю, поскольку он антисимметричен.

На самом деле существует две версии N = 1 SUSY, один без ${\displaystyle u(1)}$ (т.е. B нульмерна), а другая - с ${\displaystyle u(1)}$.

N = 2

B сейчас ${\displaystyle su(2)\oplus u(1)}$ и V представляет собой двумерное дублетное представление ${\displaystyle su(2)}$ с нулем ${\displaystyle u(1)}$ обвинять. Сейчас же, А является ненулевым сплетником ${\displaystyle u(1)}$ часть B.

В качестве альтернативы, V может быть двумерным дублетом с ненулевым ${\displaystyle u(1)}$ обвинять. В этом случае, А должно быть равно нулю.

Еще одна возможность - позволить B быть ${\displaystyle u(1)_{A}\oplus u(1)_{B}\oplus u(1)_{C}}$. V инвариантен относительно ${\displaystyle u(1)_{B}}$ и ${\displaystyle u(1)_{C}}$ и распадается на одномерное повторение с ${\displaystyle u(1)_{A}}$ заряд 1 и еще 1D повтор с зарядом -1. Спутник А было бы сложно с отображением реальной части на ${\displaystyle u(1)_{B}}$ и отображение мнимой части на ${\displaystyle u(1)_{C}}$.

Или мы могли бы B будучи ${\displaystyle su(2)\oplus u(1)_{A}\oplus u(1)_{B}}$ с V быть дублетом ${\displaystyle su(2)}$ с нуля ${\displaystyle u(1)}$ обвинения и А являясь сложным переплетением с отображением реальной части на ${\displaystyle u(1)_{A}}$ а мнимая часть ${\displaystyle u(1)_{B}}$.

Это даже не исчерпывает всех возможностей. Мы видим, что существует более одного N = 2 суперсимметрия; аналогично, SUSY для N > 2 тоже не уникальны (на самом деле становится только хуже).

N = 3

Теоретически это допустимо, но мультиплетная структура автоматически становится такой же, как у мультиплета. N= 4 суперсимметричная теория. Так что это реже обсуждается по сравнению с N= 1,2,4 версии.

N = 4

Это максимальное количество наддув в теории без гравитации.

SUSY в различных измерениях

В измерениях 0 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 7 + 1, 8 + 1, 10 + 1 и т. Д. Алгебра SUSY классифицируется положительным целым числомN.

В измерениях 1 + 1, 5 + 1, 9 + 1 и т. Д. Алгебра SUSY классифицируется двумя неотрицательными целыми числами (M, N), хотя бы один из которых отличен от нуля. M представляет количество левосторонних SUSY и N представляет количество правосторонних SUSY.

Причина этого кроется в реальных условиях спиноры.

В дальнейшем d = 9 означает d = 8 + 1 в сигнатуре Минковского и т. Д. Структура алгебры суперсимметрии в основном определяется числом фермионных генераторов, то есть числом N умноженное на реальную размерность спинора в d Габаритные размеры. Это потому, что можно легко получить алгебру суперсимметрии более низкой размерности из алгебры более высокой размерности с помощью уменьшения размерности.

d = 11

Единственный пример - это N = 1 суперсимметрия с 32 перезарядами.

d = 10

Из d = 11, N = 1 SUSY, получаем N = (1, 1) нехиральная SUSY-алгебра, которую также называют суперсимметрией типа IIA. Есть также N = (2, 0) SUSY-алгебра, которая называется суперсимметрией типа IIB. У обоих по 32 наддува.

N = (1, 0) SUSY-алгебра с 16 суперзарядами является минимальной алгеброй Susy в 10 измерениях. Это также называется суперсимметрией типа I. Тип IIA / IIB / I теория суперструн имеет соответствующее имя SUSY-алгебру. Алгебра суперсимметрии гетеротических суперструн - это алгебра типа I.

Замечания

1. Представления с чертой являются сопряженными линейными, а без черточки - комплексными линейными. Цифра указывает на размер пространство представления. Еще одно более распространенное обозначение - написать (​¹⁄₂, 0) и (0, ​¹⁄₂) соответственно для этих представлений. Общее неприводимое представление тогда (м, п), куда м, н являются полуцелыми и физически соответствуют спиновому содержанию представления, которое изменяется от |м + п| к |м − п| с целочисленными шагами, каждое вращение происходит ровно один раз.

Примечания

1. Эйчисон 2005
2. van Nieuwenhuizen 1981, п. 274

Рекомендации

• Эйчисон, Ян Дж. Р. (2005). «Суперсимметрия и MSSM: элементарное введение». arXiv:hep-ph / 0505105.
• Гольфанд, Ю.А.; Лихтман, Э. П. (1971). «Расширение алгебры образующих группы Пуанкаре и нарушение P-инвариантности». JETP Lett. 13: 323–326. Bibcode:1971JETPL..13..323G.
• ван Ньювенхейзен, П. (1981). «Супергравитация». Phys. Rep. 68 (4): 189–398. Bibcode:1981ФР .... 68..189В. Дои:10.1016/0370-1573(81)90157-5.
• Волков, Д. В .; Акулов, В. П. (1972). «Возможное универсальное взаимодействие нейтрино». ЖЭТФ Lett. 16 (11): 621 с.
• Волков, Д. В .; Акулов, В. П. (1973). «Является ли нейтрино частицей голдстоуна». Phys. Lett. B. 46 (1): 109–110. Bibcode:1973ФЛБ ... 46..109В. Дои:10.1016/0370-2693(73)90490-5.
• Вайнберг, Стивен (2000). Суперсимметрия. Квантовая теория полей. 3 (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521670555.
• Весс, Дж.; Зумино, Б. (1974). "Преобразования суперкадров в четырех измерениях". Ядерная физика B. 70 (1): 39–50. Bibcode:1974НуФБ..70 ... 39Вт. Дои:10.1016/0550-3213(74)90355-1.