Методы симметризации - Symmetrization methods

В математика в методы симметризации алгоритмы преобразования набор ${ Displaystyle А подмножество mathbb {R} ^ {п}}$ на бал ${ Displaystyle B подмножество mathbb {R} ^ {n}}$ с равным объемом ${ displaystyle operatorname {vol} (B) = operatorname {vol} (A)}$ и с центром в начале координат. B называется симметризованной версией А, обычно обозначается ${ displaystyle A ^ {*}}$ . Эти алгоритмы проявляются при решении классической изопериметрическое неравенство Задача, которая спрашивает: учитывая все двумерные формы данной области, какая из них имеет минимальную периметр (подробнее см. Изопериметрическое неравенство ). Предполагаемый ответ был диск и Штайнер в 1838 году показал, что это верно, используя метод симметризации Штейнера (описанный ниже). Из этого возникло множество других изопериметрических задач и других алгоритмов симметризации. Например, гипотеза Рэлея состоит в том, что первая собственное значение из Задача Дирихле минимизируется для шара (см. Неравенство Рэлея – Фабера – Крана. подробнее). Другая проблема в том, что ньютоновский вместимость комплекта A минимизируется ${ displaystyle A ^ {*}}$ и это было доказано Поля и Дж. Сего (1951) с использованием круговой симметризации (описанной ниже).

Симметризация

Если ${ displaystyle Omega subset mathbb {R} ^ {n}}$ измеримо, то обозначается ${ displaystyle Omega ^ {*}}$ симметризованная версия ${ displaystyle Omega}$ то есть мяч ${ displaystyle Omega ^ {*}: = B_ {r} (0) subset mathbb {R} ^ {n}}$ такой, что ${ displaystyle operatorname {vol} ( Omega ^ {*}) = operatorname {vol} ( Omega)}$ . Обозначим через ${ displaystyle f ^ {*}}$ в симметричная убывающая перестановка неотрицательной измеримой функции f и определим ее как ${ displaystyle f ^ {*} (x): = int _ {0} ^ { infty} 1 _ { {y: f (y)> t } ^ {*}} (x) , dt}$ , куда ${ Displaystyle {у: е (у)> т } ^ {*}}$ является симметризованной версией множества прообразов ${ Displaystyle {у: е (у)> т }}$ . Доказано, что описанные ниже методы преобразуют ${ displaystyle Omega}$ к ${ displaystyle Omega ^ {*}}$ т.е. заданная последовательность преобразований симметризации ${ displaystyle {T_ {k} }}$ есть ${ displaystyle lim limits _ {k to infty} d_ {Ha} ( Omega ^ {*}, T_ {k} (K)) = 0}$ , куда ${ displaystyle d_ {Ha}}$ это Расстояние Хаусдорфа (обсуждение и доказательства см. Бурчард (2009))

Симметризация Штейнера

Симметризация Штейнера множества

{ displaystyle Omega}

Симметризация Штейнера была введена Штейнером (1838) для решения изопериметрической теоремы, сформулированной выше. Позволять ${ Displaystyle H подмножество mathbb {R} ^ {n}}$ быть гиперплоскость через происхождение. Поверните пространство так, чтобы ${ displaystyle H}$ это ${ displaystyle x_ {n} = 0}$ ( ${ displaystyle x_ {n}}$ это пкоордината в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ ) гиперплоскость. Для каждого ${ displaystyle x in H}$ пусть перпендикулярная линия проходит через ${ displaystyle x in H}$ быть ${ displaystyle L_ {x} = {x + ye_ {n}: y in mathbb {R} }}$ . Затем, заменив каждый ${ displaystyle Omega cap L_ {x}}$ линией с центром в H и длиной ${ displaystyle | Omega cap L_ {x} |}$ мы получаем симметризованную по Штейнеру версию.

{ displaystyle operatorname {St} ( Omega): = {x + ye_ {n}: x + ze_ {n} in Omega { text {для некоторых}} z { text {and}} | y | leq { frac {1} {2}} | Omega cap L_ {x} | }.}

Обозначается он ${ displaystyle operatorname {St} (f)}$ симметризация Штейнера относительно ${ displaystyle x_ {n} = 0}$ гиперплоскость неотрицательной измеримой функции ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {d} to mathbb {R}}$ и для фиксированных ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n-1}}$ определить это как

{ Displaystyle St: е (x_ {1}, ldots, x_ {n-1}, cdot) mapsto (f (x_ {1}, ldots, x_ {n-1}, cdot)) ^ {*}.}

Характеристики

Сохраняет выпуклость: если ${ displaystyle Omega}$ выпукло, то ${ Displaystyle St ( Omega)}$ тоже выпуклый.
Это линейно: ${ Displaystyle St (х + lambda Omega) = St (x) + lambda St ( Omega)}$ .
Супердобавка: ${ Displaystyle St (К) + St (U) подмножество St (K + U)}$ .

Круговая симметризация

Круговая симметризация множества

{ displaystyle Omega}

Популярным методом симметризации на плоскости является круговая симметризация Пойа. После этого будет описано его обобщение до более высоких измерений. Позволять ${ Displaystyle Omega subset mathbb {C}}$ быть доменом; то его круговая симметризация ${ displaystyle operatorname {Circ} ( Omega)}$ относительно положительной действительной оси определяется следующим образом: Пусть

${ Displaystyle Omega _ {t}: = { theta in [0,2 pi]: te ^ {i theta} in Omega }}$

т.е. содержат дуги радиуса t, содержащиеся в ${ displaystyle Omega}$ . Так определяется

Если ${ displaystyle Omega _ {t}}$ это полный круг, тогда ${ displaystyle operatorname {Circ} ( Omega) cap {| z | = t }: = {| z | = t }}$ .
Если длина ${ Displaystyle м ( Омега _ {т}) = альфа}$ , тогда ${ displaystyle operatorname {Circ} ( Omega) cap {| z | = t }: = {te ^ {i theta}: | theta | <{ frac { alpha} {2} } }}$ .
${ displaystyle 0, infty in operatorname {Circ} ( Omega)}$ если только ${ displaystyle 0, infty in Omega}$ .

В высших измерениях ${ displaystyle Omega subset mathbb {R} ^ {n}}$ , его сферическая симметризация ${ Displaystyle Sp ^ {п} ( Omega)}$ относительно положительной оси ${ displaystyle x_ {1}}$ определяется следующим образом: Пусть ${ displaystyle Omega _ {r}: = {x in mathbb {S} ^ {n-1}: rx in Omega }}$ т.е. содержат крышки радиуса r, содержащиеся в ${ displaystyle Omega}$ . Также для первой координаты пусть ${ displaystyle operatorname {angle} (x_ {1}): = theta}$ если ${ displaystyle x_ {1} = rcos theta}$ . Так как выше

Если ${ displaystyle Omega _ {r}}$ это полная шапка, тогда ${ Displaystyle Sp ^ {n} ( Omega) cap {| z | = r }: = {| z | = r }}$ .
Если площадь поверхности ${ displaystyle m_ {s} ( Omega _ {t}) = alpha}$ , тогда ${ Displaystyle Sp ^ {n} ( Omega) cap {| z | = r }: = {x: | x | = r}$ и ${ displaystyle 0 leq operatorname {angle} (x_ {1}) leq theta _ { alpha} } =: C ( theta _ { alpha})}$ куда ${ displaystyle theta _ { alpha}}$ выбирается так, чтобы его площадь поверхности была ${ Displaystyle м_ {s} (С ( theta _ { alpha}) = альфа}$ . Прописью, ${ Displaystyle С ( тета _ { альфа})}$ колпачок, симметричный относительно положительной оси ${ displaystyle x_ {1}}$ с той же площадью, что и перекресток ${ Displaystyle Omega cap {| z | = r }}$ .
${ displaystyle 0, infty in Sp ^ {n} ( Omega)}$ если только ${ displaystyle 0, infty in Omega}$ .

Поляризация

Поляризация набора

{ displaystyle Omega}

Позволять ${ displaystyle Omega subset mathbb {R} ^ {n}}$ быть доменом и ${ Displaystyle Н ^ {п-1} подмножество mathbb {R} ^ {п}}$ быть гиперплоскостью, проходящей через начало координат. Обозначим отражение через эту плоскость в положительное полупространство ${ displaystyle mathbb {H} ^ {+}}$ в качестве ${ displaystyle sigma _ {H}}$ или просто ${ displaystyle sigma}$ когда это ясно из контекста. Также отраженный ${ displaystyle Omega}$ через гиперплоскость H определяется как ${ displaystyle sigma Omega}$ . Затем поляризованный ${ displaystyle Omega}$ обозначается как ${ displaystyle Omega ^ { sigma}}$ и определяется следующим образом

Если ${ Displaystyle х в Omega cap mathbb {H} ^ {+}}$ , тогда ${ Displaystyle х в Omega ^ { sigma}}$ .
Если ${ Displaystyle х в Omega cap sigma ( Omega) cap mathbb {H} ^ {-}}$ , тогда ${ Displaystyle х в Omega ^ { sigma}}$ .
Если ${ Displaystyle х в ( Omega setminus sigma ( Omega)) cap mathbb {H} ^ {-}}$ , тогда ${ displaystyle sigma x in Omega ^ { sigma}}$ .

Прописью, ${ Displaystyle ( Omega setminus sigma ( Omega)) cap mathbb {H} ^ {-}}$ просто отражается в полупространство ${ displaystyle mathbb {H} ^ {+}}$ . Оказывается, это преобразование может аппроксимировать указанные выше (в Расстояние Хаусдорфа ) (видеть Брок и Солынин (2000) ).