Теорема Тарскиса о выборе - Tarskis theorem about choice - Wikipedia

В математика, Теорема Тарского, доказано Альфред Тарский  (1924 ), утверждает, что в ZF теорема «Для каждого бесконечного множества ${\displaystyle A}$, Существует биективная карта между наборами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle A\times A}$"подразумевает аксиома выбора. Обратное направление уже было известно, поэтому теорема и аксиома выбора эквивалентны.

Тарский сказал Ян Мыцельски  (2006 ), что когда он попытался опубликовать теорему в Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Париж, Фреше и Лебег отказался его представить. Фреше писал, что следствие между двумя хорошо известными утверждениями не является новым результатом. Лебег писал, что следствие между двумя ложными утверждениями не представляет интереса.

Доказательство

Цель состоит в том, чтобы доказать, что аксиома выбора следует из утверждения «для любого бесконечного множества ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle |A|=|A\times A|}$". Известно, что теорема о хорошем порядке эквивалентно аксиоме выбора; таким образом, достаточно показать, что из утверждения следует, что для каждого набора ${\displaystyle B}$ существует в порядке.

Для конечных множеств это тривиально, поэтому мы предполагаем, что ${\displaystyle B}$ бесконечно.

Поскольку сбор всех порядковые такой, что существует сюръективная функция из ${\displaystyle B}$ к ординалу - это множество, существует минимальный ненулевой ординал, ${\displaystyle \beta }$, таких что нет сюръективная функция из ${\displaystyle B}$ к ${\displaystyle \beta }$.Мы предполагаем не теряя общий смысл что наборы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle \beta }$ находятся непересекающийся.По исходному предположению, ${\displaystyle |B\cup \beta |=|(B\cup \beta )\times (B\cup \beta )|}$, следовательно, существует биекция ${\displaystyle f:B\cup \beta \to (B\cup \beta )\times (B\cup \beta )}$.

Для каждого ${\displaystyle x\in B}$, невозможно, чтобы ${\displaystyle \beta \times \{x\}\subseteq f[B]}$, потому что в противном случае мы могли бы определить сюръективную функцию из ${\displaystyle B}$ к ${\displaystyle \beta }$. Следовательно, существует хотя бы один порядковый номер ${\displaystyle \gamma \in \beta }$ такой, что ${\displaystyle f(\gamma )\in \beta \times \{x\}}$, поэтому набор ${\displaystyle S_{x}=\{\gamma |f(\gamma )\in \beta \times \{x\}\}}$ не пусто.

Мы можем определить новую функцию: ${\displaystyle g(x)=\min S_{x}}$.Эта функция хорошо определена, поскольку ${\displaystyle S_{x}}$ является непустым набором ординалов и поэтому имеет минимум. ${\displaystyle x,y\in B,x\neq y}$ наборы ${\displaystyle S_{x}}$ и ${\displaystyle S_{y}}$ не пересекаются, поэтому мы можем определить порядок скважин на ${\displaystyle B}$, для каждого ${\displaystyle x,y\in B}$ мы определяем ${\displaystyle x\leq y\iff g(x)\leq g(y)}$, так как изображение ${\displaystyle g}$, т.е. ${\displaystyle g[B]}$, представляет собой набор ординалов и поэтому хорошо упорядочен.

Рекомендации

• Рубин, Герман; Рубин, Жан Э. (1985), Эквиваленты аксиомы выбора II, Северная Голландия / Эльзевир, ISBN  0-444-87708-8
• Мыцельски, Ян (2006), «Система аксиом теории множеств для рационалистов» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 53 (2): 209
• Тарский, А. (1924), "Теоремы Sur quelques qui эквивалентны a l'axiome du choix", Fundamenta Mathematicae, 5: 147–154