Теорема о теннисной ракетке - Tennis racket theorem

Титульный лист книги "Новая Теория вращения корпуса", печать 1852 года.

Основные оси теннисной ракетки.

В теорема о теннисной ракетке или же теорема о промежуточной оси это результат классическая механика описывая движение жесткое тело с тремя различными основные моменты инерции. Его также называют Эффект Джанибекова, после русский космонавт Владимир Джанибеков кто заметил одну из теорем логические следствия находясь в космосе в 1985 году^[1] хотя эффект был известен как минимум за 150 лет до этого.^[2][3]

Теорема описывает следующий эффект: вращение объекта вокруг своей первой и третьей главные оси стабильна, а вращение вокруг своей второй главной оси (или промежуточной оси) - нет.

Это можно продемонстрировать с помощью следующего эксперимента: возьмите теннисную ракетку за ручку, повернув ее лицом горизонтально, и попытайтесь подбросить ее в воздух так, чтобы она совершила полный оборот вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной ручке, и попробуйте поймать ручку. Почти во всех случаях во время этого поворота грань также совершит половину оборота, так что теперь другая грань находится вверх. Напротив, ракетку легко бросить так, что она будет вращаться вокруг оси ручки (третьей главной оси) без полуоборота вокруг другой оси; также можно заставить его вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной ручке (первая главная ось), без какого-либо сопутствующего полуоборота.

Эксперимент можно провести с любым объектом, имеющим три различных момента инерции, например, с книгой, пультом дистанционного управления или смартфоном. Эффект возникает всякий раз, когда ось вращения незначительно отличается от второй главной оси объекта; сопротивление воздуха или сила тяжести не требуются.^[4]

Теория

Визуализация нестабильности промежуточной оси. Величина углового момента и кинетическая энергия вращающегося объекта сохраняются. В результате вектор угловой скорости остается на пересечении двух эллипсоидов.

Воспроизвести медиа

Демонстрация эффекта Джанибекова в микрогравитация, НАСА.

Теорема о теннисной ракетке может быть качественно проанализирована с помощью Уравнения Эйлера.Под крутящий момент –Свободные условия, они принимают следующий вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}$

Здесь ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ обозначим основные моменты инерции объекта, и мы предполагаем ${\displaystyle I_{1}>I_{2}>I_{3}}$. Угловые скорости вокруг трех главных осей объекта равны ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}$ а их производные по времени обозначены ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}$.

Стабильное вращение вокруг первой и третьей главной оси

Рассмотрим ситуацию, когда объект вращается вокруг оси с моментом инерции. ${\displaystyle I_{1}}$. Чтобы определить характер равновесия, предположите малые начальные угловые скорости вдоль двух других осей. В результате, согласно уравнению (1), ${\displaystyle ~{\dot {\omega }}_{1}}$ очень маленький. Следовательно, временная зависимость ${\displaystyle ~\omega _{1}}$ можно пренебречь.

Теперь, дифференцируя уравнение (2) и подставляя ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$ из уравнения (3),

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{2})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{i.e. }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(negative quantity)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}}$

потому что ${\displaystyle I_{1}-I_{2}>0}$ и ${\displaystyle I_{3}-I_{1}<0}$.

Обратите внимание, что ${\displaystyle \omega _{2}}$ противодействует, поэтому вращение вокруг этой оси является стабильным для объекта.

Аналогичное рассуждение дает, что вращение вокруг оси с моментом инерции ${\displaystyle I_{3}}$ также стабильна.

Неустойчивое вращение вокруг второй главной оси

Теперь примените тот же анализ к оси с моментом инерции. ${\displaystyle I_{2}.}$ В это время ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}}$ очень маленький. Следовательно, временная зависимость ${\displaystyle ~\omega _{2}}$ можно пренебречь.

Теперь, дифференцируя уравнение (1) и подставляя ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$ из уравнения (3),

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{2})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(positive quantity)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle \omega _{1}}$ является нет противодействует (и, следовательно, будет расти), поэтому вращение вокруг второй оси равно неустойчивый. Следовательно, даже небольшое возмущение по другим осям заставляет объект «переворачиваться».

Смотрите также

• Бифуркационная диаграмма
• Теория бифуркации
• Углы Эйлера
• Резонанс Фано
• Константы Фейгенбаума
• Метастабильность
• Момент инерции
• Эллипсоид Пуансо
• Polhode
• Резонанс формы

Рекомендации

1. Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова), 23 июля 2009 г. (на русском). Программное обеспечение можно скачать отсюда
2. Пуансо (1834) Новая теория вращения корпуса, Башелье, Париж
3. Дерек Мюллер (19 сентября 2019 г.). Объяснение причудливого поведения вращающихся тел. Veritasium. Получено 16 февраля, 2020.
4. Леви, Марк (2014). Классическая механика с вариационным исчислением и оптимальным управлением: интуитивное введение. Американское математическое общество. С. 151–152. ISBN  9781470414443.

внешняя ссылка

• Дэн Рассел (5 марта 2010 г.). «Демонстрация замедленного действия Джанибекова с ракетками для настольного тенниса». Получено 2 февраля 2017 - через YouTube.
• Западловский (16 июня 2010 г.). «Демонстрация эффекта Джанибекова». Получено 2 февраля 2017 - через YouTube. на Мир Международная космическая станция
• Вячеслав Мезенцев (7 сентября 2011 г.). «Эффект Джанибекова смоделирован в Mathcad 14». Получено 2 февраля 2017 - через YouTube.
• Луи Пуансо, Теория "Новая ротация корпуса", Париж, Башелье, 1834, 170 с. OCLC  457954839 : исторически первое математическое описание этого эффекта.
• "Эллипсоиды и причудливое поведение вращающихся тел". - интуитивно понятное видео-объяснение от Мэтт Паркер