Полугруппа преобразований - Transformation semigroup

В алгебра, а полугруппа преобразований (или же составная полугруппа) представляет собой набор функции из набора к себе то есть закрыто под функциональная композиция. Если он включает функция идентичности, это моноид, называется трансформация (или же сочинение) моноид. Это полугруппа аналог группа перестановок.

Полугруппа преобразований множества имеет тавтологическую полугрупповое действие на этом наборе. Такие действия характеризуются своей эффективностью, т. Е. Если два элемента полугруппы имеют одинаковое действие, то они равны.

Аналог Теорема Кэли показывает, что любую полугруппу можно реализовать как полугруппу преобразований некоторого множества.

В теория автоматов, некоторые авторы используют термин полугруппа преобразований относиться к полугруппе действуя честно на множестве «состояний», отличном от базового набора полугруппы.^[1] Есть соответствие между двумя понятиями.

Полугруппы преобразований и моноиды

А полугруппа преобразований пара (Икс,S), куда Икс это набор и S является полугруппой преобразований Икс. Здесь трансформация из Икс это просто частичная функция из подмножества Икс к Икс, не обязательно обратимый, и поэтому S это просто набор преобразований Икс который закрыто под состав функций. Набор всех частичных функций на данном базовом наборе, Икс, образует регулярная полугруппа называется полугруппой всех частичных преобразований (или полугруппа частичного преобразования на Икс), обычно обозначаемый ${displaystyle {mathcal {PT}}_{X}}$.^[2]

Если S включает преобразование идентичности Икс, то он называется моноид преобразования. Очевидно, любая полугруппа преобразований S определяет моноид преобразования M взяв союз S с преобразованием личности. Моноид преобразований, элементы которого обратимы, называется группа перестановок.

Множество всех преобразований Икс моноид преобразований, называемый моноид полного преобразования (или же полугруппа) из Икс. Его еще называют симметрическая полугруппа из Икс и обозначается Т_Икс. Таким образом, полугруппа преобразований (или моноид) - это просто подполугруппа (или же субмоноид ) моноида полного преобразования Икс.

Если (Икс,S) является полугруппой преобразований, то Икс можно превратить в полугрупповое действие из S по оценке:

${displaystyle scdot x=s(x){ ext{ for }}sin S,xin X.}$

Это моноидное действие, если S моноид преобразований.

Характерной чертой полугрупп преобразований как действий является то, что они эффективный, т.е. если

${displaystyle scdot x=tcdot x{ ext{ for all }}xin X,}$

тогда s = т. Наоборот, если полугруппа S действует на множестве Икс к Т(s,Икс) = s • Икс тогда мы можем определить для s ∈ S, преобразование Т_s из Икс к

${displaystyle T_{s}(x)=T(s,x).,}$

Отправка карты s к Т_s инъективен тогда и только тогда, когда (Икс, Т) эффективен, и в этом случае образ этого отображения является полугруппой преобразований, изоморфной S.

Представительство Кэли

В теория групп, Теорема Кэли утверждает, что любая группа грамм изоморфна подгруппе группы симметричная группа из грамм (рассматривается как набор), так что грамм это группа перестановок. Эта теорема прямо обобщается на моноиды: любой моноид M является моноидом преобразования его основного множества посредством действия, заданного умножением слева (или справа). Это действие эффективно, потому что если топор = bx для всех Икс в M, затем, взяв Икс равен единице, имеем а = б.

Для полугруппы S без (левого или правого) элемента идентичности возьмем Икс быть основным набором моноид, соответствующий S чтобы понять S как полугруппа преобразований Икс. В частности, любую конечную полугруппу можно представить как подполугруппа преобразований множества Икс с |Икс| ≤ |S| +1, а если S является моноидом, мы имеем более точную оценку |Икс| ≤ |S|, как и в случае конечные группы.^[3]:21

В информатике

В Информатика, Представления Кэли могут применяться для улучшения асимптотической эффективности полугрупп путем повторного связывания нескольких составных умножений. Действие, заданное умножением слева, приводит к умножению, ассоциированному справа, и наоборот для действия, заданного умножением справа. Несмотря на одинаковые результаты для любой полугруппы, асимптотическая эффективность будет отличаться. Двумя примерами полезных моноидов преобразований, задаваемых действием умножения слева, являются функциональные вариации список различий структура данных и монадическое преобразование кодовой плотности (представление Кэли монада, который является моноидом в частном моноидальный категория функторов ).^[4]

Моноид преобразований автомата.

Позволять M быть детерминированным автомат с пространством состояний S и алфавит А. Слова в свободный моноид А^∗ вызывать преобразования S породив моноидный морфизм из А^∗ к моноиду полного преобразования Т_S. Образ этого морфизма - полугруппа преобразований M.^[3]:78

Для обычный язык, то синтаксический моноид изоморфен моноиду преобразований минимальный автомат языка.^[3]:81

Смотрите также

• Полуавтомат
• Теория Крона – Родса
• Симметричная обратная полугруппа
• Бордовый набор
• Специальные классы полугрупп
• Композиционное кольцо

Рекомендации

1. Доминик Перрен; Жан Эрик Пин (2004). Бесконечные слова: автоматы, полугруппы, логика и игры. Академическая пресса. п. 448. ISBN  978-0-12-532111-2.
2. Альфред Хоблитцель Клиффорд; Г. Б. Престон (1967). Алгебраическая теория полугрупп. Том II. American Mathematical Soc. п. 254. ISBN  978-0-8218-0272-4.
3. Андерсон, Джеймс А. (2006). Теория автоматов с современными приложениями. При участии Тома Хеда. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / CBO9780511607202. ISBN  978-0-521-61324-8. Zbl  1127.68049.
4. Ривас, Экзекьель; Яскелиофф, Мауро (2017). "Представления о вычислениях как моноидах". Журнал функционального программирования. 27 (e21). arXiv:1406.4823. Дои:10.1017 / S0956796817000132.

• Клиффорд, A.H .; Престон, Г. (1961). Алгебраическая теория полугрупп. Vol. я. Математические обзоры. 7. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-0272-4. Zbl  0111.03403.
• Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугрупп. Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. 12. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  978-0-19-851194-6. Zbl  0835.20077.
• Мати Кильп, Ульрих Кнауэр, Александр В. Михалев (2000), Моноиды, акты и категории: с приложениями к сплетенным изделиям и графикам, Выставки по математике 29, Вальтер де Грюйтер, Берлин, ISBN  978-3-11-015248-7.