Домен трубки - Tube domain

О других вариантах использования слова «трубка» в математике см. Труба # Математика.

В математика, а пробка домен является обобщением понятия вертикальной полосы (или полуплоскость ) в комплексная плоскость к несколько сложных переменных. Полоску можно представить как набор комплексных чисел, реальная часть лежат в данном подмножестве реальной линии и чья мнимая часть не ограничена; аналогично, трубка - это набор комплексных векторов, действительная часть которых находится в некотором заданном наборе реальных векторов, а мнимая часть не ограничена.

Трубчатые домены домены из Преобразование Лапласа функции нескольких настоящий переменные (см. многомерное преобразование Лапласа ). Пространства Харди на трубах можно определить таким образом, чтобы Теорема Пэли – Винера. от одной переменной продолжает сохраняться и характеризует элементы пространств Харди как преобразования Лапласа функций с соответствующими свойствами интегрируемости. Трубы над выпуклые множества находятся области голоморфности. Пространства Харди на трубках над выпуклыми шишки имеют особенно богатую структуру, так что известны точные результаты относительно граничных значений ЧАС^п функции. В математической физике трубка будущего область трубки, связанная с интерьером прошлого нулевой конус в Пространство Минковского, и имеет приложения в теория относительности и квантовая гравитация.^[1] Некоторые трубки над конусами поддерживают Метрика Бергмана с точки зрения которых они становятся ограниченные симметричные области. Один из них - Полупространство Зигеля что является основным в арифметика.

Определение

Позволять р^п обозначать реальное координатное пространство измерения п и C^п обозначать сложный координатное пространство. Тогда любой элемент C^п можно разложить на действительную и мнимую части:

${\displaystyle a=(z_{1},\dots ,z_{n})=(x_{1}+iy_{1},\dots ,x_{n}+iy_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})+i(y_{1},\dots ,y_{n})=x+iy.}$

Позволять А быть открыто подмножество р^п. В труба над А, обозначенный Т_А, является подмножеством C^п состоящий из всех элементов, действительные части которых лежат в А:^[2][а]

${\displaystyle T_{A}=\{z=x+iy\in \mathbb {C} ^{n}\mid x\in A\}.}$

Трубки как области голоморфности

Предположим, что А - связное открытое множество. Тогда любая комплексная функция, которая является голоморфный в тюбике Т_А однозначно продолжается до голоморфной функции на выпуклый корпус трубки ch Т_А,^[2] который тоже трубка, а по сути

${\displaystyle \operatorname {ch} \,T_{A}=T_{\operatorname {ch} \,A}.}$

Поскольку любое выпуклое открытое множество является область голоморфности, выпуклая трубка также является областью голоморфности. Итак голоморфная оболочка любой трубки равна ее выпуклой оболочке.^[3]

Пространства Харди

Позволять А быть открытый набор в р^п. В Харди космос ЧАС ^п(Т_А) - множество всех голоморфные функции F в Т_А такой, что

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|F(x+iy)|^{p}\,dy<\infty }$

для всех Икс в А.

В частном случае п = 2, функции в ЧАС²(Т_А) можно охарактеризовать следующим образом.^[4] Позволять ƒ - комплексная функция на р^п удовлетворение

${\displaystyle \sup _{x\in A}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(t)|^{2}e^{-4\pi x\cdot t}\,dt<\infty .}$

Преобразование Фурье – Лапласа ƒ определяется

${\displaystyle F(x+iy)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi z\cdot t}f(t)\,dt.}$

потом F хорошо определен и принадлежит ЧАС²(Т_А). И наоборот, каждый элемент ЧАС²(Т_А) имеет такой вид.

Следствием этой характеристики является то, что ЧАС²(Т_А) содержит ненулевую функцию тогда и только тогда, когда А не содержит прямой линии.

Трубки над конусами

Позволять А - открытый выпуклый конус в р^п. Это означает, что А является открыто выпуклый набор так что всякий раз, когда Икс лежит в А, как и весь луч от начала до Икс. Символично,

${\displaystyle x\in A\implies tx\in A\ \ \ {\text{for all}}\ t>0.}$

Если А конус, то элементы ЧАС₂(Т_А) имеют L² граничные пределы в том смысле, что^[4]

${\displaystyle \lim _{y\to 0}F(x+iy)}$

существует в L²(B). Аналогичный результат есть для ЧАС^п(Т_А), но это требует дополнительной регулярности конуса (в частности, двойной конус А* должен быть непустой интерьер).

Смотрите также

• Райнхардт домен
• Зигель домен

Примечания

1. Некоторые соглашения вместо этого определяют трубку как область, в которой мнимая часть находится в А (Штайн и Вайс, 1971 г. ).

Цитаты

1. Гиббонс 2000.
2. Хёрмандер 1990.
3. Чирка 2001.
4. Штайн и Вайс, 1971 г..

Источники

• Чирка, E.M. (2001) [Впервые опубликовано в 1994 году], «Трубный домен», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Гиббонс, Г. (2000), «Голография и трубка будущего», Классическая и квантовая гравитация, 17: 1071–1079, arXiv:hep-th / 9911027, Дои:10.1088/0264-9381/17/5/316.
• Хёрмандер, Ларс (1990), Введение в комплексный анализ нескольких переменных, Нью-Йорк: Северная Голландия, ISBN  0-444-88446-7.
• Штейн, Элиас; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-08078-9 - через Интернет-архив.