Неравенство Турана – Кубилюса - Turán–Kubilius inequality

В Неравенство Турана – Кубилюса это математическая теорема в вероятностная теория чисел. Это полезно для подтверждения результатов о нормальный порядок арифметической функции.^{[1]:305–308} Теорема была доказана в особый случай в 1934 г. Пал Туран и обобщены в 1956 и 1964 гг. Йонас Кубилюс.^[1]:316

Формулировка теоремы

Эта формулировка взята из Тененбаум.^[1]:302 Остальные составы есть у Наркевича.^[2]:243и в Cojocaru & Murty.^[3]:45–46

Предположим ж является добавка комплексный арифметическая функция, и писать п для произвольного простого числа и ν для произвольного положительного целого числа. Написать

${\displaystyle A(x)=\sum _{p^{\nu }\leq x}f(p^{\nu })p^{-\nu }(1-p^{-1})}$

и

${\displaystyle B(x)^{2}=\sum _{p^{\nu }\leq x}\left|f(p^{\nu })\right|^{2}p^{-\nu }.}$

Тогда существует функция ε (Икс), которая обращается в ноль при Икс уходит в бесконечность, и такая, что для Икс ≥ 2 имеем

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\sum _{n\leq x}|f(n)-A(x)|^{2}\leq (2+\varepsilon (x))B(x)^{2}.}$

Приложения теоремы

Туран разработал неравенство, чтобы создать более простое доказательство Теорема Харди – Рамануджана о нормальный порядок числа ω (п) различных простых делителей целого числа п.^[1]:316 Доказательство Турана излагается в Hardy & Wright, §22.11.^[4]Тененбаум^{[1]:305–308} дает доказательство теоремы Харди – Рамануджана с использованием неравенства Турана – Кубилюса и приводит без доказательства несколько других приложений.

Примечания

1. Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел. Кембриджские исследования по высшей математике. 46. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-41261-7.
2. Наркевич, Владислав (1983). Теория чисел. Сингапур: World Scientific. ISBN  978-9971-950-13-2.
3. Кожокару, Алина Кармен; Мурти, М. Рам (2005). Введение в ситовые методы и их применение. Тексты студентов Лондонского математического общества. 66. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-61275-6.
4. Харди, Г. Х.; Райт, Э.М. (2008) [Первое издание 1938 г.]. Введение в теорию чисел. Отредактировано Д. Р. Хит-Браун и Джозеф Х. Сильверман (Шестое изд.). Оксфорд, Оксфордшир: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-921986-5.