Unital (геометрия) - Unital (geometry)

В геометрия, а единый это набор п³ + 1 точки организованы в подмножества размера п + 1, так что каждая пара различных точек множества содержится ровно в одном подмножестве. п ≥ 3 требуется некоторыми авторами, чтобы избежать небольших исключительных случаев.^[а] Это эквивалентно утверждению, что единица - это 2- (п³ + 1, п + 1, 1) блочная конструкция. Некоторые единицы могут быть встроенный в проективная плоскость порядка п² (подмножества дизайна становятся наборами коллинеарен точки на проективной плоскости). В этом случае встроенные униталы, каждая прямая плоскости пересекает единицу либо в 1, либо в п +1 балл. в Дезарговские самолеты, PG (2,q²) классическими примерами униталов являются невырожденные эрмитовы кривые. Есть также много неклассических примеров. Первый и единственный известный унитал с непростыми степенными параметрами, п=6, был построен Бхаскаром Багчи и Сунандой Багчи.^[1] Пока неизвестно, можно ли вложить эту единицу в проективную плоскость порядка 36, если такой самолет существует.

Классические униталы

Мы рассматриваем некоторую терминологию, используемую в проективная геометрия.

А корреляция проективной геометрии является биекция на его подпространствах, изменяющих включение. В частности, корреляция меняет местами точки и гиперплоскости.^[2]

Корреляция второго порядка называется полярность.

Полярность называется унитарная полярность если это связано полуторалинейная форма s с сопутствующим автоморфизмом α удовлетворяет:

s(ты,v) = s(v,ты)^α для всех векторов ты, v лежащих в основе векторное пространство.

Точка называется абсолютная точка полярности, если он лежит на изображении самого себя под полярностью.

Абсолютные точки унитарной полярности проективной геометрии PG (d,F), для некоторых d ≥ 2, является невырожденное эрмитово многообразие, и если d = 2 это многообразие называется невырожденная эрмитова кривая.^[3]

В PG (2,q²) для некоторой основной мощности q, множество точек невырожденной эрмитовой кривой образуют единицу,^[4] который называется классический унитал.

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {H}} = { mathcal {H}} (2, q ^ {2})}$ - невырожденная эрмитова кривая в ${ displaystyle PG (2, q ^ {2})}$ для некоторой главной власти ${ displaystyle q}$ . Поскольку все невырожденные эрмитовы кривые в одной плоскости проективно эквивалентны, ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ можно описать с точки зрения однородные координаты следующее:^[5]

{ displaystyle { mathcal {H}} = {(x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) двоеточие x_ {0} ^ {q + 1} + x_ {1} ^ {q + 1} + x_ {2} ^ {q + 1} = 0 }.}

Ри униталы

Еще одно семейство униталов, основанное на Ри группы был построен Х. Люнебургом.^[6] Пусть Γ = R (q) - группа Ри типа ²грамм₂ порядка (q³ + 1)q³(q - 1) где q = 3^2м+1. Позволять п быть набором всех q³ + 1 Силовские 3-подгруппы группы Γ. Γ действует дважды транзитивно на этом множестве спряжение (эти подгруппы удобно рассматривать как точки что Γ действует.) Для любого S и Т в пточечный стабилизатор, Γ_S,Т является циклический порядка q - 1 и, таким образом, содержит единственный инволюция, μ. Каждая такая инволюция фиксирует ровно q + 1 балл п. Построить блочная конструкция по пунктам п блоки которого представляют собой множества неподвижных точек этих различных инволюций μ. Поскольку Γ действует дважды транзитивно на п, это будет 2-конструкция с параметрами 2- (q³ + 1, q + 1, 1) называется единицей Ри.^[7]

Люнебург также показал, что униталы Ри не могут быть вложены в проективные плоскости порядка q² (Дезарговский или нет) такие, что группа автоморфизмов Γ индуцирована группа коллинеации самолета.^[8] За q = 3, Грюнинг^[9] доказал, что унитал Ри не вкладывается ни в какую проективную плоскость порядка 9.^[10]

Изоморфные и эквивалентные униталы

Поскольку униталы равны блочные конструкции, два унитала называются изоморфный если есть дизайн изоморфизм между ними, то есть биекция между наборами точек, которые преобразуют блоки в блоки. Эта концепция не принимает во внимание свойство встраиваемости, поэтому для этого мы говорим, что два унитала, вложенные в одну и ту же окружающую плоскость, являются эквивалент если есть коллинеация плоскости, которая отображает одну единицу в другую.^[10]

Встраиваемое и невстраиваемое

Есть ровно четыре проективных плоскости порядка 9: Дезарговский самолет PG (2,9), Плоскость холла порядка 9, двойственная плоскость Холла порядка 9 и Самолет Хьюза порядка 9.^[b]Исчерпывающий компьютерный поиск, проведенный Пенттилой и Ройлом, обнаружил 18 единиц (с точностью до эквивалентности) с п = 3 в этих четырех плоскостях.^[11] Два в PG (2,9), четыре в плоскости Холла, еще четыре в двойной плоскости Холла и восемь в плоскости Хьюза. Однако один из униталей в плоскости Холла самодвойственен, и поэтому снова учитывается в двойной плоскости Холла. Таким образом, существует 17 различных вложимых униталов с п = 3. С другой стороны, неисчерпывающий компьютерный поиск обнаружил более 900 взаимно неизоморфных дизайнов, которые являются униталами с п = 3.^[12]

Примечания

^ Особенно, Барвик и Эберт 2008, п. 28
^ PG (2,9) и плоскость Хьюза оба самодвойственны.

Цитаты

^ Багчи и Багчи 1989 С. 51–61.
^ Барвик и Эберт 2008, п. 15.
^ Барвик и Эберт 2008, п. 18.
^ Дембовский 1968, п. 104.
^ Барвик и Эберт 2008, п. 21.
^ Люнебург 1966 С. 256–259.
^ Ассмус и Ки 1992, п. 209.
^ Дембовский 1968, п. 105.
^ Грюнинг 1986 С. 473–480.
^ ^а ^б Барвик и Эберт 2008, п. 29.
^ Пенттила и Ройл 1995 С. 229–245.
^ Беттен, Беттен и Тончев 2003 С. 23–33.

Источники

Ассмус, Э. Ф. младший; Ки, Дж. Д. (1992), Конструкции и их коды, Cambridge Tracts in Mathematics # 103, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41361-3
Багчи, С .; Багчи, Б. (1989), "Планы из пар конечных полей. Циклический унитальный U (6) и другие регулярные 2-схемы Штейнера", Журнал комбинаторной теории, серия А, 52: 51–61, Дои:10.1016/0097-3165(89)90061-7
Барвик, Сьюзен; Эберт, Гэри (2008), Униталы в проективных плоскостях, Спрингер, Дои:10.1007/978-0-387-76366-8, ISBN 978-0-387-76364-4
Betten, A .; Betten, D .; Тончев, В. (2003), «Единицы и коды», Дискретная математика, 267: 23–33, Дои:10.1016 / s0012-365x (02) 00600-3
Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, МИСТЕР 0233275 - через Интернет-архив
Грюнинг, К. (1986), "Das Kleinste Ree-Unital", Archiv der Mathematik, 46: 473–480, Дои:10.1007 / bf01210788
Люнебург, Х. (1966), "Некоторые замечания относительно группы Ри типа (G₂)", Журнал алгебры, 3: 256–259, Дои:10.1016/0021-8693(66)90014-7
Penttila, T .; Ройл, Г.Ф. (1995), «Наборы типа (м, н) в аффинной и проективной плоскостях девятого порядка », Конструкции, коды и криптография, 6: 229–245, Дои:10.1007 / bf01388477

[1] Особенно, Барвик и Эберт 2008, п. 28

[12] PG (2,9) и плоскость Хьюза оба самодвойственны.

[FOOTNOTEBagchiBagchi198951–61-2] Багчи и Багчи 1989 С. 51–61.

[FOOTNOTEBarwickEbert2008p._15-3] Барвик и Эберт 2008, п. 15.

[FOOTNOTEBarwickEbert2008p._18-4] Барвик и Эберт 2008, п. 18.

[FOOTNOTEDembowski1968p._104-5] Дембовский 1968, п. 104.

[FOOTNOTEBarwickEbert2008p._21-6] Барвик и Эберт 2008, п. 21.

[FOOTNOTELüneburg1966256–259-7] Люнебург 1966 С. 256–259.

[FOOTNOTEAssmusKey1992p._209-8] Ассмус и Ки 1992, п. 209.

[FOOTNOTEDembowski1968p._105-9] Дембовский 1968, п. 105.

[FOOTNOTEGrüning1986473–480-10] Грюнинг 1986 С. 473–480.

[FOOTNOTEBarwickEbert2008p._29-11] а ^б Барвик и Эберт 2008, п. 29.

[FOOTNOTEPenttilaRoyle1995229–245-13] Пенттила и Ройл 1995 С. 229–245.

[FOOTNOTEBettenBettenTonchev200323–33-14] Беттен, Беттен и Тончев 2003 С. 23–33.

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[b]

[11]

[12]