Реконструкция векторного поля - Vector field reconstruction

Реконструкция векторного поля[1] это метод создания векторное поле из экспериментальных или компьютерных данных, обычно с целью поиска дифференциальное уравнение модель системы.

А дифференциальное уравнение модель это тот, который описывает ценность зависимые переменные поскольку они развиваются во времени или пространстве, давая уравнения, включающие эти переменные и их производные в отношении некоторых независимые переменные, обычно время и / или пространство. An обыкновенное дифференциальное уравнение - это переменная, в которой зависимые переменные системы являются функциями только одной независимой переменной. Многие физические, химические, биологические и электрические системы хорошо описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Часто мы предполагаем, что система управляется дифференциальными уравнениями, но у нас нет точных сведений о влиянии различных факторов на состояние системы. Например, у нас может быть электрическая цепь, которая теоретически описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, но из-за допуска резисторы, вариации предложения Напряжение или вмешательство извне, мы не знаем точного параметры системы. Для некоторых систем, особенно тех, которые поддерживают хаос, небольшое изменение значений параметров может вызвать большие изменения в поведении системы, поэтому точная модель чрезвычайно важна. Следовательно, может потребоваться построить более точные дифференциальные уравнения, построив их на основе фактических характеристик системы, а не теоретической модели. В идеале можно было бы измерять все задействованные динамические переменные в течение длительного периода времени, используя множество различных первоначальные условия, а затем построить или настроить модель дифференциального уравнения на основе этих измерений.

В некоторых случаях мы можем даже не знать достаточно о процессах, вовлеченных в систему, чтобы даже сформулировать модель. В других случаях у нас может быть доступ только к одной динамической переменной для наших измерений, т.е. у нас есть скалярная Временные ряды. Если у нас есть только скалярный временной ряд, нам нужно использовать метод времени отложить внедрение или производные координаты чтобы получить достаточно большой набор динамических переменных для описания системы.

Короче говоря, как только у нас есть набор измерений состояния системы за некоторый период времени, мы находим производные этих измерений, которые дают нам локальное векторное поле, а затем определяют глобальное векторное поле, согласованное с этим локальным полем. Обычно это делается наименьших квадратов соответствуют производным данным.

Формулировка

В лучшем случае у вас есть потоки данных измерений всех системных переменных, равномерно распределенных во времени, например

s1(t), с2(t), ..., сk(т)

для

т = т1, т2,..., тп,

начиная с нескольких различных начальных условий. Тогда задача нахождения векторного поля и, следовательно, модель дифференциального уравнения состоит из подгоночных функций, например, кубический шлиц, к данным для получения набора функций непрерывного времени

Икс1(t), х2(t), ..., хk(т),

вычисление производных по времени dx1/ dt, dx2/dt,...,dxk/ dt функций, а затем наименьших квадратов подходят с использованием каких-то ортогональных базисных функций (ортогональные многочлены, радиальные базисные функции и т.д.) к каждому компоненту касательных векторов, чтобы найти глобальное векторное поле. Тогда дифференциальное уравнение может быть считано из глобального векторного поля.

Существуют различные методы создания базисных функций для аппроксимации методом наименьших квадратов. Самый распространенный метод - это Процесс Грама – Шмидта. Это создает набор ортогональных базисных векторов, которые затем можно легко нормализовать. Этот метод начинается с выбора любого стандартного базиса β = {v1, v2, ..., vп}. Затем установите первый вектор v1= u1. Затем мы полагаем u2= v2-projты1v2. Этот процесс повторяется для k векторов, причем последний вектор будет uk= vk-∑(j = 1)(к-1)проекттыkvk. Затем это создает набор ортогональных стандартных базисных векторов.

Причина использования стандартного ортогонального базиса, а не стандартного базиса, возникает из-за создания следующей подгонки методом наименьших квадратов. Создание аппроксимации методом наименьших квадратов начинается с принятия некоторой функции, в случае реконструкции nth степень полинома и подгонка кривой к данным с использованием констант. Точность подгонки можно повысить, увеличив степень полинома, используемого для подбора данных. Если использовался набор неортогональных стандартных базисных функций, возникает необходимость пересчитать постоянные коэффициенты функции, описывающей подгонку. Однако, используя ортогональный набор базисных функций, нет необходимости пересчитывать постоянные коэффициенты.

Приложения

Реконструкция векторного поля имеет несколько приложений и много разных подходов. Некоторые математики не только использовали радиальные базисные функции и полиномы для восстановления векторного поля, но и использовали Показатели Ляпунова и разложение по сингулярным числам.[2] Гуэсбет и Летелье использовали многомерное полиномиальное приближение и метод наименьших квадратов для восстановления своего векторного поля. Этот метод был применен к Система Рёсслера, а Система Лоренца, а также колебания термолинзы.

Система Росслера, система Лоренца и колебания термолинзы подчиняются дифференциальным уравнениям в стандартной системе как

X '= Y, Y' = Z и Z '= F (X, Y, Z)

где F (X, Y, Z) известна как стандартная функция.[3]

Проблемы реализации

В некоторых ситуациях модель не очень эффективна, и могут возникнуть трудности, если модель имеет большое количество коэффициентов и демонстрирует расходящееся решение. Например, неавтономные дифференциальные уравнения дают ранее описанные результаты.[4] В этом случае модификация стандартного подхода в приложении дает лучший путь дальнейшего развития глобальной векторной реконструкции.

Обычно моделируемая таким образом система представляет собой хаотическая динамическая система, потому что хаотические системы исследуют большую часть фазовое пространство и оценка глобальной динамики, основанная на локальной динамике, будет лучше, чем с системой, исследующей только небольшую часть пространства.

Часто у одного есть только одно скалярное измерение временного ряда из системы, которая, как известно, имеет более одного степень свободы. Временной ряд может даже быть не из системной переменной, а может быть функцией всех переменных, таких как температура в реакторе с мешалкой, использующим несколько химических веществ. В этом случае необходимо использовать технику вложение координат задержки,[5] где построен вектор состояния, состоящий из данных в момент времени t и нескольких задержанных версий данных.

Полный обзор темы доступен по адресу [6]

использованная литература

  1. ^ Letellier, C .; Le Sceller, L .; Maréchal, E .; Dutertre, P .; Maheu, B .; и другие. (1995-05-01). «Реконструкция глобального векторного поля по хаотическому экспериментальному сигналу при электрорастворении меди». Физический обзор E. Американское физическое общество (APS). 51 (5): 4262–4266. Дои:10.1103 / Physreve.51.4262. ISSN  1063-651X.
  2. ^ Вэй-Донг, Лю; Ren, K. F; Meunier-Guttin-Cluzel, S; Gouesbet, G (2003). «Реконструкция глобального векторного поля нелинейных динамических систем из временного ряда с помощью метода SVD и проверки с показателями Ляпунова». Китайская физика. IOP Publishing. 12 (12): 1366–1373. Дои:10.1088/1009-1963/12/12/005. ISSN  1009-1963.
  3. ^ Gouesbet, G .; Летелье, К. (1994-06-01). "Реконструкция глобального векторного поля с использованием многомерного полинома L2 приближение на сетях ». Физический обзор E. Американское физическое общество (APS). 49 (6): 4955–4972. Дои:10.1103 / Physreve.49.4955. ISSN  1063-651X.
  4. ^ Безручко, Борис П .; Смирнов, Дмитрий А. (2000-12-20). «Построение неавтономных дифференциальных уравнений по экспериментальным временным рядам». Физический обзор E. Американское физическое общество (APS). 63 (1): 016207. Дои:10.1103 / Physreve.63.016207. ISSN  1063-651X.
  5. ^ Embedology, Тим Зауэр, Джеймс А. Йорк и Мартин Касдагли, рабочий документ Института Санта-Фе
  6. ^ G. Gouesbet, S. Meunier-Guttin-Cluzel и O. Ménard, редакторы. Хаос и его реконструкция. Издательство Novascience, Нью-Йорк (2003)