Вершинная модель - Vertex model

А вершинная модель это тип статистическая механика модель в которой Веса Больцмана связаны с вершина в модели (представляющей атом или частица).^[1][2] Это контрастирует с моделью ближайшего соседа, такой как Модель Изинга, в котором энергия и, следовательно, вес Больцмана статистического микросостояния приписываются связям, соединяющим две соседние частицы. Таким образом, энергия, связанная с вершиной в решетке частиц, зависит от состояния связей, которые соединяют ее с соседними вершинами. Оказывается, каждое решение Уравнение Янга – Бакстера со спектральными параметрами в тензорном произведении векторные пространства ${displaystyle Votimes V}$ дает точно решаемую вершинную модель.

2-мерная вершинная модель

Хотя модель применима к разным геометрии в любом количестве измерений, с любым количеством возможных состояний для данной связи, наиболее фундаментальные примеры встречаются для двумерных решеток, самым простым из которых является квадратная решетка где у каждой облигации есть два возможных состояния. В этой модели каждая частица связана с четырьмя другими частицами, и каждая из четырех связей, смежных с частицей, имеет два возможных состояния, обозначенных направлением стрелки на связи. В этой модели каждая вершина может принимать ${displaystyle 2^{4}}$ возможные конфигурации. В энергия для данной вершины может быть задано как ${displaystyle varepsilon _{ij}^{kell }}$,

Вершина в вершинной модели квадратной решетки

с состоянием решетки - это назначение состояния каждой связи, при этом полная энергия состояния является суммой энергий вершин. Поскольку энергия часто расходится для бесконечной решетки, модель изучается для конечной решетки, когда решетка приближается к бесконечному размеру. Периодический или доменная стена^[3] граничные условия может быть наложено на модель.

Обсуждение

Для данного состояния решетки вес Больцмана может быть записан как произведение по вершинам весов Больцмана соответствующих состояний вершин

${displaystyle exp(-eta varepsilon ({mbox{state}}))=prod _{mbox{vertices}}exp(-eta varepsilon _{ij}^{kell })}$

где веса Больцмана для вершин записаны

${displaystyle R_{ij}^{kell }=exp(-eta varepsilon _{ij}^{kell })}$,

и я, j, k, л диапазон возможных состояний каждого из четырех ребер, прикрепленных к вершине. Состояния вершин смежных вершин должны удовлетворять условиям совместимости по соединяющим ребрам (связям), чтобы состояние было допустимым.

В вероятность системы, находящейся в любом заданном состоянии в определенное время, и, следовательно, свойства системы определяются функция распределения, для которого желательна аналитическая форма.

${displaystyle mathbb {Z} =sum _{mbox{states}}exp(-eta varepsilon ({mbox{state}}))}$

где β =1 / кТ, Т является температура и k является Постоянная Больцмана. Вероятность того, что система находится в любом заданном состоянии (микросостояние ) дан кем-то

${displaystyle {frac {exp(-eta varepsilon ({mbox{state}}))}{mathbb {Z} }}}$

так что среднее значение энергии системы определяется выражением

${displaystyle langle varepsilon angle ={frac {sum _{mbox{states}}varepsilon exp(-eta varepsilon )}{sum _{mbox{states}}exp(-eta varepsilon )}}=kT^{2}{frac {partial }{partial T}}ln mathbb {Z} }$

Чтобы оценить статистическую сумму, сначала исследуйте состояния ряда вершин.

Ряд вершин в вершинной модели квадратной решетки

Внешние края - свободные переменные с суммированием по внутренним связям. Следовательно, сформируем статистическую сумму строки

${displaystyle T_{i_{1}k_{1}dots k_{N}}^{i'_{1}ell _{1}dots l_{N}}=sum _{r_{1},dots ,r_{N-1}}R_{i_{1}k_{1}}^{r_{1}ell _{1}}R_{r_{1}k_{2}}^{r_{2}ell _{2}}cdots R_{r_{N-1}k_{N}}^{i'_{1}ell _{N}}}$

Это можно переформулировать в терминах вспомогательного п-мерное векторное пространство V, с основа ${displaystyle {v_{1},ldots ,v_{n}}}$, и ${displaystyle Rin End(Votimes V)}$ в качестве

${displaystyle R(v_{i}otimes v_{j})=sum _{k,ell }R_{ij}^{kell }v_{k}otimes v_{ell }}$

и ${displaystyle Tin End(Votimes V^{otimes N})}$ в качестве

${displaystyle T(v_{i_{1}}otimes v_{k_{1}}otimes cdots otimes v_{k_{N}})=sum _{i'_{1},ell _{1},dots ell _{N}}T_{i_{1}k_{1}dots k_{N}}^{i'_{1}ell _{1}dots ell _{N}}v_{i'_{1}}otimes v_{ell _{1}}otimes cdots otimes v_{ell _{N}}}$

тем самым подразумевая, что Т можно записать как

${displaystyle T=R_{01}R_{02}cdots R_{0N}}$

где индексы указывают на факторы тензорное произведение ${displaystyle Votimes V^{otimes N}}$ на котором р работает. Суммируя по состояниям связей в первой строке с периодическими граничными условиями ${displaystyle i_{1}=i'_{1}}$, дает

${displaystyle (operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}dots k_{N}}^{ell _{1}dots ell _{N}}}$

куда ${displaystyle au =operatorname {trace} _{V}(T)}$ матрица переноса строки.

Два ряда вершин в вершинной модели квадратной решетки

Суммируя вклады по двум строкам, получаем

${displaystyle (operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}dots k_{N}}^{ell _{1}dots ell _{N}}(operatorname {trace} _{V}(T))_{j_{1}dots j_{N}}^{k_{1}dots k_{N}}}$

что при суммировании по вертикальным связям, соединяющим первые две строки, дает:${displaystyle ((operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}dots j_{N}}^{ell _{1}dots ell _{N}}}$

за M строк, это дает

${displaystyle ((operatorname {trace} _{V}(T))^{M})_{ell '_{1}dots ell '_{N}}^{ell _{1}dots ell _{N}}}$

а затем применяя периодические граничные условия к вертикальным столбцам, статистическая сумма может быть выражена через матрицу переноса ${displaystyle au }$ в качестве

${displaystyle mathbb {Z} =operatorname {trace} _{V^{otimes N}}( au ^{M})sim lambda _{max}^{M}}$

куда ${displaystyle lambda _{max}}$ самый большой собственное значение из ${displaystyle au }$. Приближение следует из того, что собственные значения ${displaystyle au ^{M}}$ являются собственными значениями ${displaystyle au }$ к власти M, и, как ${displaystyle Mightarrow infty }$, степень наибольшего собственного значения становится намного больше, чем у остальных. Поскольку след - сумма собственных значений, задача вычисления ${displaystyle mathbb {Z} }$ сводится к задаче поиска максимального собственного значения ${displaystyle au }$. Само по себе это еще одна область исследования. Однако стандартный подход к задаче нахождения наибольшего собственного значения ${displaystyle au }$ найти большое семейство операторов, которые коммутируют с ${displaystyle au }$. Это означает, что собственные подпространства являются общими и ограничивают возможное пространство решений. Такое семейство коммутирующих операторов обычно находится с помощью Уравнение Янга – Бакстера, который, таким образом, связывает статистическую механику с изучением квантовые группы.

Интегрируемость

Определение: Вершинная модель интегрируемый если, ${displaystyle forall mu ,u ,exists lambda }$ такой, что

${displaystyle R_{12}(lambda )R_{13}(mu )R_{23}(u )=R_{23}(u )R_{13}(mu )R_{12}(lambda )}$

Это параметризованная версия уравнения Янга – Бакстера, соответствующая возможной зависимости энергий вершин и, следовательно, весов Больцмана р от внешних параметров, таких как температура, внешние поля и т. д.

Из условия интегрируемости следует следующее соотношение.

Предложение: Для интегрируемой вершинной модели с ${displaystyle lambda ,mu }$ и ${displaystyle u }$ определено, как указано выше, тогда

${displaystyle R(lambda )(1otimes T(mu ))(T(u )otimes 1)=(T(u )otimes 1)(1otimes T(mu ))R(lambda )}$

в качестве эндоморфизмы из ${displaystyle Votimes Votimes V^{otimes N}}$, куда ${displaystyle R(lambda )}$ действует на первые два вектора тензорного произведения.

Это следует путем умножения обеих частей приведенного выше уравнения справа на ${displaystyle R(lambda )^{-1}}$ и используя циклическое свойство оператора следа, справедливо следующее следствие.

Следствие: Для интегрируемой вершинной модели, для которой ${displaystyle R(lambda )}$ обратимый ${displaystyle forall lambda }$, передаточная матрица ${displaystyle au (mu )}$ ездит с ${displaystyle au (u ), forall mu ,u }$.

Это иллюстрирует роль уравнения Янга – Бакстера в решении решаемых моделей решетки. Поскольку передаточные матрицы ${displaystyle au }$ ездить на работу для всех ${displaystyle lambda ,u }$, собственные векторы ${displaystyle au }$ являются общими и, следовательно, не зависят от параметризации. Это повторяющаяся тема, которая появляется во многих других типах статистических механических моделей для поиска этих коммутирующих матриц переноса.

Из определения р выше следует, что для любого решения уравнения Янга – Бакстера в тензорном произведении двух п-мерных векторных пространств, существует соответствующая 2-мерная модель решаемых вершин, в которой каждая из связей может находиться в возможных состояниях ${displaystyle {1,ldots ,n}}$, куда р является эндоморфизмом в пространстве, натянутом на ${displaystyle {|aangle otimes |bangle },1leq a,bleq n}$. Это мотивирует классификацию всех конечномерных неприводимых представления данного Квантовая алгебра чтобы найти соответствующие ему решаемые модели.

Известные модели вершин

• Шестивершинная модель
  • 
• Восьмивершинная модель
  • 
• Девятнадцативершинная модель (Модель Изергина-Корепина) ^[4]

Рекомендации

1. Р.Дж. Бакстер, Точно решаемые модели в статистической механике, Лондон, Academic Press, 1982.
2. В. Чари и А. Прессли, Руководство по квантовым группам Издательство Кембриджского университета, 1994
3. В.Э. Корепин и др., Квантовый метод обратной задачи рассеяния и корреляционные функции, Нью-Йорк, Пресс-синдикат Кембриджского университета, 1993 г.
4. Изергин А.Г., Корепин В.Е. Подход метода обратной задачи рассеяния к квантовой модели Шабата-Михайлова. Коммуникации по математической физике, 79, 303 (1981)