Конформный блок Вирасоро - Virasoro conformal block

В двумерная конформная теория поля, Конформные блоки Вирасоро специальные функции, которые служат строительными блоками корреляционные функции. На данном проколотом Риманова поверхность, Конформные блоки Вирасоро образуют частный базис пространства решений конформные тождества Уорда. Блоки нулевых точек на торе символы представительств Алгебра Вирасоро; четырехточечные блоки на сфере сводятся к гипергеометрические функции в частных случаях, но в целом намного сложнее. В двух измерениях, как и в других измерениях, конформные блоки играют важную роль в конформный бутстрап подход к конформная теория поля.

Определение

Определение из OPE

С помощью расширение продукта оператора (OPEs), ${\displaystyle N}$-точечная функция на сфере может быть записана как комбинация трехточечных структурных констант и универсальных величин, называемых ${\displaystyle N}$-точечные конформные блоки.^[1][2]

Учитывая ${\displaystyle N}$-точечной функции существует несколько типов конформных блоков, в зависимости от того, какие OPE используются. В этом случае ${\displaystyle N=4}$, существует три типа конформных блоков, соответствующих трем возможным разложениям одной и той же четырехточечной функции. Схематично эти разложения читаются как

${\displaystyle \left\langle V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}\right\rangle =\sum _{s}C_{12s}C_{s34}{\mathcal {F}}_{s}^{\text{(s-channel)}}=\sum _{t}C_{14t}C_{t23}{\mathcal {F}}_{t}^{\text{(t-channel)}}=\sum _{u}C_{13u}C_{24u}{\mathcal {F}}_{u}^{\text{(u-channel)}}\ ,}$

где ${\displaystyle C}$ - структурные константы и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ являются конформными блоками. Суммы - это по представлениям конформной алгебры, которые появляются в спектре CFT. OPE включают суммы по спектру, то есть по представлениям и по состояниям в представлениях, но суммы по состояниям поглощаются конформными блоками.

В двух измерениях алгебра симметрий делится на две копии алгебры Вирасоро, которые называются левыми и правыми. Если поля тоже факторизованы, то конформные блоки также факторизуются, и факторы называются Конформные блоки Вирасоро. Конформные блоки Вирасоро, движущиеся влево, являются локально голоморфными функциями положения полей ${\displaystyle z_{i}}$; движущиеся вправо конформные блоки Вирасоро являются теми же функциями ${\displaystyle {\bar {z}}_{i}}$. Факторизация конформного блока на конформные блоки Вирасоро имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s_{L}\otimes s_{R}}^{\text{(s-channel)}}(\{z_{i}\})={\mathcal {F}}_{s_{L}}^{\text{(s-channel, Virasoro)}}(\{z_{i}\}){\mathcal {F}}_{s_{R}}^{\text{(s-channel, Virasoro)}}(\{{\bar {z}}_{i}\})\ ,}$

где ${\displaystyle s_{L},s_{R}}$ являются представлениями алгебр Вирасоро, движущихся влево и вправо соответственно.

Определение от личности Вирасоро Уорд

Конформные тождества Варда являются линейными уравнениями, которым подчиняются корреляционные функции в результате конформной симметрии.

В двух измерениях конформные тождества Уорда распадаются на движущиеся влево и вправо тождества Вирасоро Уорда. Конформные блоки Вирасоро являются решениями тождеств Вирасоро Уорда.^[3][4]

OPE определяют определенные основы конформных блоков Вирасоро, такие как основание s-канала в случае четырехточечных блоков. Блоки, которые определены из OPE, являются частными случаями блоков, которые определены из идентификаторов Уорда.

Свойства

Любое линейное голоморфное уравнение, которому подчиняется корреляционная функция, должно также выполняться для соответствующих конформных блоков. Кроме того, определенные основы конформных блоков имеют дополнительные свойства, которые не наследуются от корреляционной функции.

Конформные блоки, включающие только основные поля обладают относительно простыми свойствами. Конформные блоки, включающие поля-потомки, могут быть затем выведены с помощью локального Идентификаторы прихода. S-канальный четырехточечный блок первичных полей зависит от конформных размеров четырех полей. ${\displaystyle \Delta _{i},}$ на их позиции ${\displaystyle z_{i},}$ а по конформной размерности s-канала ${\displaystyle \Delta _{s}}$. Это можно записать как ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{i}|\{z_{i}\}),}$ где зависимость от Алгебра Вирасоро Центральное обвинение России остается скрытым.

Линейные уравнения

От соответствующей корреляционной функции конформные блоки наследуют линейные уравнения: глобальные и локальные. Идентификаторы прихода, и Уравнения БПЗ если хотя бы одно поле вырождено.^[2]

В частности, в ${\displaystyle N}$-точечный блок на сфере, глобальные тождества Уорда уменьшают зависимость от ${\displaystyle N}$ положения поля в зависимость от ${\displaystyle N-3}$ перекрестные отношения. В этом случае ${\displaystyle N=4,}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|\{z_{i}\})=z_{23}^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}+\Delta _{4}}z_{13}^{-2\Delta _{1}}z_{34}^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}-\Delta _{4}}z_{24}^{-\Delta _{1}-\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{4}}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z),}$

где ${\displaystyle z_{ij}=z_{i}-z_{j},}$ и

${\displaystyle z={\frac {z_{12}z_{34}}{z_{13}z_{24}}}}$

- кросс-отношение, а приведенный блок ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)}$ совпадает с исходным блоком, где три позиции отправляются в ${\displaystyle (0,\infty ,1),}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)={\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z,0,\infty ,1).}$

Особенности

Подобно корреляционным функциям, конформные блоки сингулярны, когда два поля совпадают. В отличие от корреляционных функций, конформные блоки имеют очень простое поведение на некоторых из этих особенностей. Как следствие их определения из OPE, четырехточечные блоки s-канала подчиняются

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z){\underset {z\to 0}{=}}z^{\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}z^{n}\right),}$

для некоторых коэффициентов ${\displaystyle c_{n}.}$ С другой стороны, блоки s-канала имеют сложное сингулярное поведение при ${\displaystyle z=1,\infty }$: это t-канальные блоки, которые просты при ${\displaystyle z=1}$, и u-канальные блоки, простые при ${\displaystyle z=\infty .}$

В четырехбалльном блоке, который подчиняется Дифференциальное уравнение БПЗ, ${\displaystyle z=0,1,\infty }$ находятся регулярные особые точки дифференциального уравнения, и ${\displaystyle \Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}$ - характеристический показатель дифференциального уравнения. Для дифференциального уравнения порядка ${\displaystyle n}$, то ${\displaystyle n}$ характеристические показатели соответствуют ${\displaystyle n}$ ценности ${\displaystyle \Delta _{s}}$ что разрешено правилами слияния.

Перестановки полей

Перестановки полей ${\displaystyle V_{i}(z_{i})}$ оставить корреляционную функцию

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{i}(z_{i})\right\rangle }$

инвариантны и, следовательно, связывают между собой различные базы конформных блоков. В случае четырехточечных блоков блоки t-канала связаны с блоками s-канала следующим образом:^[2]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta }^{(t)}(\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3},\Delta _{4}|z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\mathcal {F}}_{\Delta }^{(s)}(\Delta _{1},\Delta _{4},\Delta _{3},\Delta _{2}|z_{1},z_{4},z_{3},z_{2}),}$

или эквивалентно

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta }^{(t)}(\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3},\Delta _{4}|z)={\mathcal {F}}_{\Delta }^{(s)}(\Delta _{1},\Delta _{4},\Delta _{3},\Delta _{2}|1-z).}$

Матрица термозакрепления

Смена баз с s-канальных на t-канальные четырехточечные блоки характеризуется матрица термозакрепления (или ядро ​​слияния) ${\displaystyle F}$, так что

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|\{z_{i}\})=\int _{i\mathbb {R} }dP_{t}\ F_{\Delta _{s},\Delta _{t}}{\begin{bmatrix}\Delta _{2}&\Delta _{3}\\\Delta _{1}&\Delta _{4}\end{bmatrix}}{\mathcal {F}}_{\Delta _{t}}^{(t)}(\{\Delta _{i}\}|\{z_{i}\}).}$

Матрица слияния является функцией центрального заряда и конформных размеров, но не зависит от положений ${\displaystyle z_{i}.}$ Импульс ${\displaystyle P_{t}}$ определяется с точки зрения размера ${\displaystyle \Delta _{t}}$ от

${\displaystyle \Delta ={\frac {c-1}{24}}-P^{2}.}$

Ценности ${\displaystyle P\in i\mathbb {R} }$ соответствуют спектру Теория Лиувилля.

Нам также необходимо ввести два параметра ${\displaystyle Q,b}$ связанные с центральным зарядом ${\displaystyle c}$,

${\displaystyle c=1+6Q^{2},\qquad Q=b+b^{-1}.}$

Предполагая ${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$ и ${\displaystyle P_{i}\in i\mathbb {R} }$, явное выражение матрицы слияния имеет вид^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\Delta _{s},\Delta _{t}}&{\begin{bmatrix}\Delta _{2}&\Delta _{3}\\\Delta _{1}&\Delta _{4}\end{bmatrix}}=\\&=\left(\prod _{\pm }{\frac {\Gamma _{b}(Q\pm 2P_{s})}{\Gamma _{b}(\pm 2P_{t})}}\right){\frac {\Delta _{+}(P_{1},P_{4},P_{t})\Delta _{+}(P_{2},P_{3},P_{t})}{\Delta _{-}(P_{1},P_{2},P_{s})\Delta _{-}(P_{3},P_{4},P_{s})}}\times \\&\quad \times \int _{{\frac {Q}{4}}+i\mathbb {R} }du\ S_{b}\left(u-P_{12s}\right)S_{b}\left(u-P_{s34}\right)S_{b}\left(u-P_{23t}\right)S_{b}\left(u-P_{t14}\right)\\&\qquad \times S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{1234}\right)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{st13}\right)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u+P_{st24}\right)S_{b}\left({\tfrac {Q}{2}}-u\right)\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \Gamma _{b}}$ это двойная гамма-функция,

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{b}(x)&={\frac {\Gamma _{b}(x)}{\Gamma _{b}(Q-x)}}\\[6pt]\Delta _{\epsilon }(P_{1},P_{2},P_{3})&=\prod _{\underset {\epsilon _{1}\epsilon _{2}\epsilon _{3}=\epsilon }{\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3}=\pm }}\Gamma _{b}\left({\tfrac {Q}{2}}+\sum _{i}\epsilon _{i}P_{i}\right)\\[6pt]P_{ijk}&=P_{i}+P_{j}+P_{k}\end{aligned}}}$

Хотя его выражение проще в терминах ${\displaystyle P_{i}}$ чем с точки зрения ${\displaystyle \Delta _{i}}$, матрица термозакрепления действительно является функцией ${\displaystyle \Delta _{i}}$, т.е. функция ${\displaystyle P_{i}}$ что инвариантно относительно ${\displaystyle P_{i}\to -P_{i}}$. В выражении для матрицы плавления интеграл есть гиперболический интеграл Барнса. Матрица плавления с точностью до нормализации совпадает с Гипергеометрическая функция Руйсенаарса, с аргументами ${\displaystyle P_{s},P_{t}}$ и параметры ${\displaystyle b,b^{-1},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}}$.^[6]

В ${\displaystyle N}$-точечных блоков на сфере, изменение оснований между двумя наборами блоков, которые определены из различных последовательностей OPE, всегда можно записать в терминах матрицы слияния и простой матрицы, которая описывает перестановку первых двух полей в s-канальный блок,^[3]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3},\Delta _{4}|z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=e^{i\pi (\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2})}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\Delta _{2},\Delta _{1},\Delta _{3},\Delta _{4}|z_{2},z_{1},z_{3},z_{4}).}$

Вычисление конформных блоков

Из определения

Определение из OPE приводит к выражению для s-канального четырехточечного конформного блока как суммы по состояниям в s-канальном представлении типа^[7]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{\text{(s)}}(\{\Delta _{i}\}|z)=z^{\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}\sum _{L,L'}z^{|L|}f_{12s}^{L}Q_{L,L'}^{s}f_{43s}^{L'}\ .}$

Суммы превышают режимы создания ${\displaystyle L,L'}$ из Алгебра Вирасоро, т.е. комбинации типа ${\displaystyle L=\prod _{i}L_{-n_{i}}}$ генераторов Вирасоро с ${\displaystyle 1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots }$, чей уровень ${\displaystyle |L|=\sum n_{i}}$. Такие генераторы соответствуют базисным состояниям в модуле Верма с конформной размерностью ${\displaystyle \Delta _{s}}$. Коэффициент ${\displaystyle f_{12s}^{L}}$ является функцией ${\displaystyle \Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{s},L}$, что известно явно. Матричный элемент ${\displaystyle Q_{L,L'}^{s}}$ является функцией ${\displaystyle c,\Delta _{s},L,L'}$ который исчезает, если ${\displaystyle |L|\neq |L'|}$, и расходится при ${\displaystyle |L|=N}$ если на уровне есть нулевой вектор ${\displaystyle N}$.Вплоть до ${\displaystyle |L|=1}$, это гласит

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{\text{(s)}}(\{\Delta _{i}\}|z)=z^{\Delta _{s}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}{\Bigg \{}1+{\frac {(\Delta _{s}+\Delta _{1}-\Delta _{2})(\Delta _{s}+\Delta _{4}-\Delta _{3})}{2\Delta _{s}}}z+O(z^{2}){\Bigg \}}\ .}$

(Особенно, ${\displaystyle Q_{L_{-1},L_{-1}}^{s}={\frac {1}{2\Delta _{s}}}}$ не зависит от центральной зарядки ${\displaystyle c}$.)

Рекурсивное представление Замолодчикова

В Алексей Замолодчиков Рекурсивное представление четырехточечных блоков на сфере, взаимное соотношение ${\displaystyle z}$ появляется через ном

${\displaystyle q=\exp -\pi {\frac {F({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,1-z)}{F({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z)}}\quad \iff \quad z={\frac {\theta _{2}(q)^{4}}{\theta _{3}(q)^{4}}}}$

где ${\displaystyle F}$ это гипергеометрическая функция, и мы использовали Якоби тета-функции

${\displaystyle \theta _{2}(q)=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)}\quad ,\quad \theta _{3}(q)=\sum _{n\in {\mathbb {Z} }}q^{n^{2}}}$

Представление имеет тип

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta }^{(s)}(\{\Delta _{i}\}|z)=(16q)^{\Delta -{\frac {1}{4}}Q^{2}}z^{{\frac {1}{4}}Q^{2}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(1-z)^{{\frac {1}{4}}Q^{2}-\Delta _{1}-\Delta _{4}}\theta _{3}(q)^{3Q^{2}-4(\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4})}H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)\ .}$

Функция ${\displaystyle H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)}$ это степенной ряд в ${\displaystyle q}$, который рекурсивно определяется

${\displaystyle H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)=1+\sum _{m,n=1}^{\infty }{\frac {(16q)^{mn}}{\Delta -\Delta _{(m,n)}}}R_{m,n}H_{\Delta _{(m,-n)}}(\{\Delta _{i}\}|q)\ .}$

В этой формуле позиции ${\displaystyle \Delta _{(m,n)}}$ полюсов являются размерностями вырожденных представлений, которые соответствуют импульсам

${\displaystyle P_{(m,n)}={\frac {1}{2}}\left(mb+nb^{-1}\right)\ .}$

Остатки ${\displaystyle R_{m,n}}$ даны

${\displaystyle R_{m,n}={\frac {2P_{(0,0)}P_{(m,n)}}{\prod _{r=1-m}^{m}\prod _{s=1-n}^{n}2P_{(r,s)}}}\prod _{r{\overset {2}{=}}1-m}^{m-1}\prod _{s{\overset {2}{=}}1-n}^{n-1}\prod _{\pm }(P_{2}\pm P_{1}+P_{(r,s)})(P_{3}\pm P_{4}+P_{(r,s)})\ ,}$

где верхний индекс в ${\displaystyle {\overset {2}{=}}}$ указывает на продукт, который работает с шагом ${\displaystyle 2}$. Рекурсивное соотношение для ${\displaystyle H_{\Delta }(\{\Delta _{i}\}|q)}$ может быть решена, что приводит к явной (но непрактичной) формуле.^[2][8]

Рекурсивное представление можно рассматривать как расширение вокруг ${\displaystyle \Delta =\infty }$. Иногда его называют ${\displaystyle \Delta }$-рекурсия, чтобы отличить его от ${\displaystyle c}$-рекурсия: другое рекурсивное представление, также из-за Алексей Замолодчиков, который расширяется вокруг ${\displaystyle c=\infty }$Оба представления могут быть обобщены на ${\displaystyle N}$-точки конформных блоков Вирасоро на произвольных Римановы поверхности.^[9]

От связи с инстантонным счетом

Связь Алдая-Гайотто-Тачикавы между двумерной конформной теорией поля и суперсимметричной калибровочной теорией, в частности, между конформными блоками теории Лиувилля и статистическими суммами Некрасова^[10] суперсимметричных калибровочных теорий в четырех измерениях, приводит к комбинаторным выражениям для конформных блоков в виде сумм по Диаграммы Юнга. Каждую диаграмму можно интерпретировать как состояние в представлении алгебры Вирасоро, умноженное на абелев аффинная алгебра Ли.^[11]

Особые случаи

Блоки нулевых точек на торе

Блок нулевой точки не зависит от положения полей, но зависит от модули лежащих в основе Риманова поверхность. В случае тора

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }},}$

эту зависимость лучше записать ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ и блок нулевой точки, связанный с представлением ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ из Алгебра Вирасоро является

${\displaystyle \chi _{\mathcal {R}}(\tau )=\operatorname {Tr} _{\mathcal {R}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}},}$

где ${\displaystyle L_{0}}$ является генератором алгебры Вирасоро. Это совпадает с характер из ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$ Персонажи некоторых представлений с наибольшим весом:^[1]

• Модуль Верма с конформной размерностью ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {c-1}{24}}-P^{2}}$:

${\displaystyle \chi _{P}(\tau )={\frac {q^{-P^{2}}}{\eta (\tau )}},}$

где ${\displaystyle \eta (\tau )}$ это Функция Дедекинда эта.

• Вырожденное представление с импульсом ${\displaystyle P_{(r,s)}}$:

${\displaystyle \chi _{(r,s)}(\tau )=\chi _{P_{(r,s)}}(\tau )-\chi _{P_{(r,-s)}}(\tau ).}$

• Полностью вырожденное представление при рациональном ${\displaystyle b^{2}=-{\tfrac {p}{q}}}$:

${\displaystyle \chi _{(r,s)}(\tau )=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(\chi _{P_{(r,s)}+ik{\sqrt {pq}}}(\tau )-\chi _{P_{(r,-s)}+ik{\sqrt {pq}}}(\tau )\right).}$

Персонажи трансформируются линейно под действием модульные преобразования:

${\displaystyle \tau \to {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbb {Z} ).}$

В частности, их преобразование при ${\displaystyle \tau \to -{\tfrac {1}{\tau }}}$ описывается модульная S-матрица. Используя S-матрицу, ограничения на спектр CFT могут быть получены из модулярной инвариантности статистической суммы тора, что приводит, в частности, к классификации ADE для минимальные модели.^[12]

Гипергеометрические блоки

Для четырехточечной функции на сфере

${\displaystyle \left\langle V_{\langle 2,1\rangle }(x)\prod _{i=1}^{3}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle }$

где одно поле имеет нулевой вектор на уровне два, второй порядок Уравнение BPZ сводится к гипергеометрическому уравнению. Основу решений составляют два конформных блока s-канала, которые разрешены правилами слияния, и эти блоки могут быть записаны в терминах гипергеометрическая функция,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{P_{1}+\epsilon {\frac {b}{2}}}^{(s)}(z)&=z^{{\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}+b\epsilon P_{1}}(1-z)^{{\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}+bP_{3}}\\&\times F\left({\tfrac {1}{2}}+b(\epsilon P_{1}+P_{2}+P_{3}),{\tfrac {1}{2}}+b(\epsilon P_{1}-P_{2}+P_{3}),1+2b\epsilon P_{1},z\right),\end{aligned}}}$

с участием ${\displaystyle \epsilon \in \{+,-\}.}$ Другая основа состоит из двух конформных блоков t-канала,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{P_{3}+\epsilon {\frac {b}{2}}}^{(t)}(z)&=z^{{\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}+bP_{1}}(1-z)^{{\frac {1}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}+b\epsilon P_{3}}\\&\times F\left({\tfrac {1}{2}}+b(P_{1}+P_{2}+\epsilon P_{3}),{\tfrac {1}{2}}+b(P_{1}-P_{2}+\epsilon P_{3}),1+2b\epsilon P_{3},1-z\right).\end{aligned}}}$

Матрица закрепления - это матрица размера два, такая что

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{P_{1}+\epsilon _{1}{\frac {b}{2}}}^{(s)}(x)=\sum _{\epsilon _{3}=\pm }F_{\epsilon _{1},\epsilon _{3}}{\mathcal {F}}_{P_{3}+\epsilon _{3}{\frac {b}{2}}}^{(t)}(x),}$

чье явное выражение

${\displaystyle F_{\epsilon _{1},\epsilon _{3}}={\frac {\Gamma (1-2b\epsilon _{1}P_{1})\Gamma (2b\epsilon _{3}P_{3})}{\prod _{\pm }\Gamma ({\frac {1}{2}}+b(-\epsilon _{1}P_{1}\pm P_{2}+\epsilon _{3}P_{3}))}}.}$

Гипергеометрические конформные блоки играют важную роль в аналитическом бутстраповском подходе к двумерной CFT.^[13][14]

Одноточечные блоки на торе из четырехточечных блоков на сфере

Произвольный одноточечный блок на торе можно записать в виде четырехточечного блока на сфере с другим центральным зарядом. Это соотношение отображает модуль тора на перекрестное отношение положений четырех точек, и три из четырех полей на сфере имеют фиксированный импульс ${\displaystyle P_{(0,{\frac {1}{2}})}={\tfrac {1}{4b}}}$:^[15][16]

${\displaystyle H_{P'_{s}}^{\text{torus}}(P'|q^{2})=H_{P_{s}}\left(\left.{\tfrac {1}{4b}},P,{\tfrac {1}{4b}},{\tfrac {1}{4b}}\right|q\right)\quad {\text{with}}\quad \left\{{\begin{array}{l}b={\frac {b'}{\sqrt {2}}}\\P={\frac {P'}{\sqrt {2}}}\\P_{s}={\sqrt {2}}P'_{s}\end{array}}\right.}$

где

• ${\displaystyle H_{P_{s}}\left(\left.P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}\right|q\right)}$ - нетривиальный множитель четырехточечного блока сферы в рекурсивных представлениях Замолодчикова, записанный через импульсы ${\displaystyle P_{i}}$ вместо размеров ${\displaystyle \Delta _{i}}$.
• ${\displaystyle H_{P_{s}}^{\text{torus}}(P|q)}$ - нетривиальный множитель одноточечного блока тора ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{\text{torus}}(\Delta |q)=q^{\Delta -{\frac {c-1}{24}}}\eta (q)^{-1}H_{\Delta _{s}}^{\text{torus}}(\Delta |q)}$, где ${\displaystyle \eta (q)}$ это Функция Дедекинда эта, модульный параметр ${\displaystyle \tau }$ тора такова, что ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$, а поле на торе имеет размерность ${\displaystyle \Delta }$.

Решения уравнения Пенлеве VI.

Если ${\displaystyle c=1,}$ то определенные линейные комбинации s-канальных конформных блоков являются решениями Пенлеве В.И. Нелинейное дифференциальное уравнение.^[17] Соответствующие линейные комбинации включают суммы по наборам импульсов типа ${\displaystyle P_{s}+i\mathbb {Z} .}$ Это позволяет вывести конформные блоки из решений уравнения Пенлеве VI и наоборот. Это также приводит к относительно простой формуле для матрицы плавления при ${\displaystyle c=1.}$^[18] Любопытно, что ${\displaystyle c=\infty }$ предел конформных блоков также связан с уравнением Пенлеве VI.^[19] Связь между ${\displaystyle c=\infty }$ и ${\displaystyle c=1}$ пределы, которые загадочны с точки зрения конформной теории поля, естественным образом объясняются в контексте четырехмерных калибровочных теорий с использованием уравнений разрушения.

Обобщения

Другие представления алгебры Вирасоро

Конформные блоки Вирасоро, описанные в этой статье, связаны с определенным типом представлений алгебры Вирасоро: представлениями старшего веса, другими словами, модулями Верма и их смежными классами.^[2] Корреляционные функции, которые включают другие типы представлений, порождают другие типы конформных блоков. Например:

• Логарифмическая конформная теория поля включает представления, в которых генератор Вирасоро ${\displaystyle L_{0}}$ не диагонализуема, что приводит к появлению блоков, логарифмически зависящих от положения поля.
• Представления могут быть построены из состояний, на которых некоторые аннигиляционные формы алгебры Вирасоро действуют диагонально, а не исчезают. Соответствующие конформные блоки были названы нерегулярные конформные блоки.^[20]

Алгебры симметрий большего размера

В теории, алгебра симметрий которой больше, чем алгебра Вирасоро, например Модель WZW или теория с W-симметрия, корреляционные функции в принципе могут быть разложены на конформные блоки Вирасоро, но такое разложение обычно включает слишком много терминов, чтобы быть полезным. Вместо этого можно использовать конформные блоки, основанные на более крупной алгебре: например, в модели WZW, конформные блоки на основе соответствующих аффинная алгебра Ли, которые подчиняются Уравнения Книжника – Замолодчикова.

использованная литература

1. П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля, 1997, ISBN  0-387-94785-X
2. Рибо, Сильвен (2014). «Конформная теория поля на плоскости». arXiv:1406.4290 [hep-th ].
3. Мур, Грегори; Зайберг, Натан (1989). «Классическая и квантовая конформная теория поля». Коммуникации по математической физике. 123 (2): 177–254. Bibcode:1989CMaPh.123..177M. Дои:10.1007 / BF01238857. S2CID  122836843.
4. Тешнер, Йорг (2017). «Руководство по двумерной конформной теории поля». arXiv:1708.00680 [hep-th ].
5. Teschner, J .; Вартанов, Г. С. (2012). «6j символов для модулярного дубля, квантовой гиперболической геометрии и суперсимметричных калибровочных теорий». arXiv:1202.4698 [hep-th ].
6. Руссильон, Жюльен (29.06.2020). «Ядро слияния Вирасоро и гипергеометрическая функция Руйсенаарса». arXiv:2006.16101v1 [hep-th ].
7. Маршаков, А .; Миронов А .; Морозов, А. (2009). «О комбинаторных разложениях конформных блоков». Теоретическая и математическая физика. 164: 831–852. arXiv:0907.3946. Дои:10.1007 / s11232-010-0067-6. S2CID  16017224.
8. Перлмуттер, Эрик (2015). «Конформные блоки Вирасоро в закрытом виде». Журнал физики высоких энергий. 2015 (8): 88. arXiv:1502.07742. Bibcode:2015JHEP ... 08..088P. Дои:10.1007 / JHEP08 (2015) 088. S2CID  54075672.
9. Чо, Минджэ; Кольер, Скотт; Инь, Си (2017). "Рекурсивные представления произвольных конформных блоков Вирасоро". arXiv:1703.09805 [hep-th ].
10. Некрасов, Никита (2004). "Препотенциал Зайберга-Виттена из инстантонного счета". Успехи теоретической и математической физики. 7 (5): 831–864. arXiv:hep-th / 0206161. Дои:10.4310 / ATMP.2003.v7.n5.a4. S2CID  2285041.
11. Альба, Василий А .; Фатеев, Владимир А .; Литвинов, Алексей В .; Тарнопольский, Григорий М. (2011). "О комбинаторном разложении конформных блоков, возникающих из гипотезы AGT". Письма по математической физике. 98 (1): 33–64. arXiv:1012.1312. Bibcode:2011ЛМАФ..98 ... 33А. Дои:10.1007 / s11005-011-0503-z. S2CID  119143670.
12. А. Капелли, J-B. Зубер, "A-D-E классификация конформных теорий поля", Scholarpedia
13. Тешнер, Йорг. (1995). «О трехточечной функции Лиувилля». Письма по физике B. 363 (1–2): 65–70. arXiv:hep-th / 9507109. Bibcode:1995ФЛБ..363 ... 65Т. Дои:10.1016 / 0370-2693 (95) 01200-А. S2CID  15910029.
14. Мильаччо, Сантьяго; Рибо, Сильвен (2018). «Аналитические бутстраповские уравнения недиагональной двумерной КТМ». Журнал физики высоких энергий. 2018 (5): 169. arXiv:1711.08916. Bibcode:2018JHEP ... 05..169M. Дои:10.1007 / JHEP05 (2018) 169. S2CID  119385003.
15. Фатеев, В. А .; Литвинов, А. В .; Neveu, A .; Онофри, Э. (2008-02-08). «Дифференциальное уравнение для четырехточечной корреляционной функции в теории поля Лиувилля и эллиптические четырехточечные конформные блоки». Журнал физики A: математический и теоретический. 42 (30): 304011. arXiv:0902.1331v3. Bibcode:2009JPhA ... 42D4011F. Дои:10.1088/1751-8113/42/30/304011. S2CID  16106733.
16. Хадаш, Лешек; Яскольский, Збигнев; Сучанек, Паулина (2010). «Модульный бутстрап в теории поля Лиувилля». Письма по физике B. 685 (1): 79–85. arXiv:0911.4296v1. Bibcode:2010ФЛБ..685 ... 79Н. Дои:10.1016 / j.physletb.2010.01.036. S2CID  118625083.
17. Gamayun, O .; Иоргов, Н .; Лисовый, О. (2012). "Конформная теория поля Пенлеве VI". Журнал физики высоких энергий. 2012 (10): 038. arXiv:1207.0787. Bibcode:2012JHEP ... 10..038G. Дои:10.1007 / JHEP10 (2012) 038. S2CID  119610935.
18. Иоргов, Н .; Лисовый, О .; Тихий, Ю. (2013). "Проблема связности Пенлеве VI и монодромия c = 1 конформных блоков". Журнал физики высоких энергий. 2013 (12): 029. arXiv:1308.4092. Bibcode:2013JHEP ... 12..029I. Дои:10.1007 / JHEP12 (2013) 029. S2CID  56401903.
19. Литвинов Алексей; Лукьянов, Сергей; Некрасов, Никита; Замолодчиков, Александр (2014). «Классические конформные блоки и Пенлеве VI». Журнал физики высоких энергий. 2014 (7): 144. arXiv:1309.4700. Bibcode:2014JHEP ... 07..144L. Дои:10.1007 / JHEP07 (2014) 144. S2CID  119710593.
20. Gaiotto, D .; Тешнер, Дж. (2012). "Неправильные особенности в теории Лиувилля и калибровочных теориях типа Аргира-Дугласа". Журнал физики высоких энергий. 2012 (12): 50. arXiv:1203.1052. Bibcode:2012JHEP ... 12..050G. Дои:10.1007 / JHEP12 (2012) 050. S2CID  118380071.