Теория поля Лиувилля - Liouville field theory

В физика, Теория поля Лиувилля (или просто Теория Лиувилля) это двумерная конформная теория поля чья классическая уравнение движения является обобщением Уравнение Лиувилля.

Теория Лиувилля определена для всех комплексные значения центрального заряда ${\displaystyle c}$ своего Алгебра симметрий Вирасоро, но это унитарный только если

${\displaystyle c\in (1,+\infty )}$,

и это классический предел является

${\displaystyle c\to +\infty }$.

Хотя это теория взаимодействия с непрерывный спектр, Теория Лиувилля решена. В частности, его трехточечная функция на сфера определено аналитически.

Вступление

Теория Лиувилля описывает динамику поля ${\displaystyle \phi }$ называется полем Лиувилля, живущим в двумерном пространстве. Это поле не свободное поле из-за наличия экспоненциального потенциала

${\displaystyle V(\phi )=e^{2b\phi }\ ,}$

где параметр ${\displaystyle b}$ называется константа связи. В теории свободного поля собственные векторы энергии ${\displaystyle e^{2\alpha \phi }}$ будет линейно независимым, а импульс ${\displaystyle \alpha }$ будет сохраняться во взаимодействиях. В теории Лиувилля импульс не сохраняется.

Отражение собственного вектора энергии с импульсом ${\displaystyle \alpha }$ от экспоненциального потенциала теории Лиувилля

Более того, потенциал отражает собственные векторы энергии до того, как они достигнут ${\displaystyle \phi =+\infty }$, а два собственных вектора линейно зависимы, если их импульсы связаны соотношением отражение

${\displaystyle \alpha \to Q-\alpha \ ,}$

где фоновый заряд

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}\ .}$

Хотя экспоненциальный потенциал нарушает закон сохранения импульса, он не нарушает конформную симметрию, а теория Лиувилля является конформной теорией поля с центральным зарядом

${\displaystyle c=1+6Q^{2}\ .}$

При конформных преобразованиях собственный вектор энергии с импульсом ${\displaystyle \alpha }$ трансформируется как основное поле с конформное измерение ${\displaystyle \Delta }$ к

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha )\ .}$

Центральный заряд и конформные размерности инвариантны относительно двойственность

${\displaystyle b\to {\frac {1}{b}}\ ,}$

В корреляционные функции теории Лиувилля ковариантны относительно этой двойственности и при отражении импульсов. Эти квантовые симметрии теории Лиувилля, однако, не проявляются в лагранжевой формулировке, в частности, экспоненциальный потенциал не инвариантен относительно дуальности.

Спектр и корреляционные функции

Спектр

В спектр ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ теории Лиувилля представляет собой диагональную комбинацию Модули Verma из Алгебра Вирасоро,

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{{\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}d\Delta \ {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }\ ,}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }}$ и ${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$ обозначают один и тот же модуль Верма, рассматриваемый как представление лево- и правовращающей алгебры Вирасоро соответственно. С точки зрения импульсы,

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

соответствует

${\displaystyle \alpha \in {\frac {Q}{2}}+i\mathbb {R} _{+}}$.

Отношение отражения отвечает за то, что импульс принимает значения на полупрямой, а не на полной линии в свободной теории.

Теория Лиувилля унитарна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle c\in (1,+\infty )}$. Спектр теории Лиувилля не включает состояние вакуума. Состояние вакуума можно определить, но оно не способствует расширение продукта оператора.

Поля и отношение отражения

В теории Лиувилля первичные поля обычно параметризованный их импульс, а не их конформное измерение, и обозначил ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$.Оба поля ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$ и ${\displaystyle V_{Q-\alpha }(z)}$ соответствуют первичному состоянию представление ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$, и связаны соотношением отражения

${\displaystyle V_{\alpha }(z)=R(\alpha )V_{Q-\alpha }(z)\ ,}$

где коэффициент отражения равен^[1]

${\displaystyle R(\alpha )=\pm \lambda ^{Q-2\alpha }{\frac {\Gamma (b(2\alpha -Q))\Gamma ({\frac {1}{b}}(2\alpha -Q))}{\Gamma (b(Q-2\alpha ))\Gamma ({\frac {1}{b}}(Q-2\alpha ))}}\ .}$

(Знак ${\displaystyle +1}$ если ${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$ и ${\displaystyle -1}$ в противном случае и параметр нормализации ${\displaystyle \lambda }$ произвольно.)

Корреляционные функции и формула DOZZ

За ${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$, трехточечная структурная постоянная задается Формула DOZZ (для Дорна-Отто^[2] и Замолодчикова-Замолодчикова^[3]),

${\displaystyle C_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[b^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}\Upsilon _{b}'(0)\Upsilon _{b}(2\alpha _{1})\Upsilon _{b}(2\alpha _{2})\Upsilon _{b}(2\alpha _{3})}{\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q)\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\Upsilon _{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1})\Upsilon _{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}$

где специальная функция ${\displaystyle \Upsilon _{b}}$ это своего рода множественная гамма-функция.

За ${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$, трехточечная структурная постоянная равна^[1]

${\displaystyle {\hat {C}}_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[(ib)^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}{\hat {\Upsilon }}_{b}(0){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{2}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{3})}{{\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}$

куда

${\displaystyle {\hat {\Upsilon }}_{b}(x)={\frac {1}{\Upsilon _{ib}(-ix+ib)}}\ .}$

${\displaystyle N}$-точечные функции на сфере могут быть выражены через трехточечные структурные константы, и конформные блоки. An ${\displaystyle N}$-точечная функция может иметь несколько различных выражений: что, по их мнению, эквивалентно пересечение симметрии четырехточечной функции, проверенной численно^[3][4] и доказано аналитически.^[5][6]

Теория Лиувилля существует не только на сфере, но и на любых Риманова поверхность рода ${\displaystyle g\geq 1}$. Технически это эквивалентно модульная инвариантность из тор одноточечная функция. Из-за замечательного тождества конформных блоков и структурных констант это свойство модулярной инвариантности может быть получено из перекрестной симметрии четырехточечной функции сферы.^[7][4]

Уникальность теории Лиувилля

С использованием конформный бутстрап можно показать, что теория Лиувилля является единственной конформной теорией поля, такой что^[1]

• спектр представляет собой континуум без кратностей больше единицы,
• корреляционные функции аналитически зависят от ${\displaystyle b}$ и импульсы,
• существуют вырожденные поля.

Лагранжева формулировка

Действие и уравнение движения

Теория Лиувилля определяется локальной действие

${\displaystyle S[\phi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi +QR\phi +\lambda 'e^{2b\phi })\ ,}$

куда ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ это метрика из двумерное пространство на котором сформулирована теория, ${\displaystyle R}$ это Скаляр Риччи этого пространства, и ${\displaystyle \phi }$ - поле Лиувилля. Параметр ${\displaystyle \lambda '}$, которую иногда называют космологической постоянной, связана с параметром ${\displaystyle \lambda }$ который появляется в корреляционных функциях

${\displaystyle \lambda '=4{\frac {\Gamma (1-b^{2})}{\Gamma (b^{2})}}\lambda ^{b}}$.

Уравнение движения, связанное с этим действием:

${\displaystyle \Delta \phi (x)={\frac {1}{2}}QR(x)+\lambda 'be^{2b\phi (x)}\ ,}$

куда ${\displaystyle \Delta =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })}$ это Оператор Лапласа – Бельтрами. Если ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ это Евклидова метрика, это уравнение сводится к

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\phi (x_{1},x_{2})=\lambda 'be^{2b\phi (x_{1},x_{2})}\ ,}$

что эквивалентно Уравнение Лиувилля.

Конформная симметрия

Используя сложная система координат ${\displaystyle z}$ и Евклидова метрика

${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dzd{\bar {z}}}$,

то тензор энергии-импульса компоненты подчиняются

${\displaystyle T_{z{\bar {z}}}=T_{{\bar {z}}z}=0\quad ,\quad \partial _{\bar {z}}T_{zz}=0\quad ,\quad \partial _{z}T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\ .}$

Не обращающиеся в нуль компоненты:

${\displaystyle T=T_{zz}=(\partial _{z}\phi )^{2}+Q\partial _{z}^{2}\phi \quad ,\quad {\bar {T}}=T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=(\partial _{\bar {z}}\phi )^{2}+Q\partial _{\bar {z}}^{2}\phi \ .}$

Каждый из этих двух компонентов генерирует Алгебра Вирасоро с центральным зарядом

${\displaystyle c=1+6Q^{2}}$.

Для обеих этих алгебр Вирасоро поле ${\displaystyle e^{2\alpha \phi }}$ первичное поле с конформной размерностью

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha )}$.

Чтобы теория имела конформная инвариантность, поле ${\displaystyle e^{2b\phi }}$ что появляется в действии должно быть маргинальный, т.е. имеют конформную размерность

${\displaystyle \Delta (b)=1}$.

Это приводит к соотношению

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}}$

между фоновым зарядом и константой связи. Если это соотношение соблюдается, то ${\displaystyle e^{2b\phi }}$ на самом деле в точности маргинальна, и теория конформно инвариантна.

Интеграл по пути

Интегральное представление по путям ${\displaystyle N}$-точечная корреляционная функция первичных полей

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i}}(z_{i})\right\rangle =\int D\phi \ e^{-S[\phi ]}\prod _{i=1}^{N}e^{2\alpha _{i}\phi (z_{i})}\ .}$

Было трудно определить и вычислить этот интеграл по путям. В представлении интеграла по путям не очевидно, что теория Лиувилля имеет точные конформная инвариантность, и не очевидно, что корреляционные функции инвариантны относительно ${\displaystyle b\to b^{-1}}$ и подчиняться соотношению отражения. Тем не менее, представление интеграла по путям можно использовать для вычисления остатки корреляционных функций на некоторых их полюса в качестве Интегралы Доценко-Фатеева (т.е. интегралы кулоновского газа), и именно так формула DOZZ была впервые угадана в 1990-х годах. И только в 2010-х годах была найдена строгая вероятностная конструкция интеграла по путям, которая привела к доказательству формулы DOZZ^[8] и конформный бутстрап.^[9]

Связь с другими конформными теориями поля

Некоторые пределы теории Лиувилля

Когда центральный заряд и конформные размерности отправляются к соответствующим дискретным значениям, корреляционные функции теории Лиувилля сводятся к корреляционным функциям диагональной (серии A) Вирасоро. минимальные модели.^[1]

С другой стороны, когда центральный заряд отправляется одному, в то время как конформные измерения остаются непрерывными, теория Лиувилля стремится к теории Ранкеля-Уоттса, нетривиальной конформной теории поля (CFT) с непрерывным спектром, трехточечная функция которой не аналитична как функция импульсов.^[10] Обобщения теории Ранкеля-Уоттса получаются из теории Лиувилля с помощью ограничений типа ${\displaystyle b^{2}\notin \mathbb {R} ,b^{2}\to \mathbb {Q} _{<0}}$.^[4] Таким образом, для ${\displaystyle b^{2}\in \mathbb {Q} _{<0}}$известны два различных КТП с одним и тем же спектром: теория Лиувилля, трехточечная функция которой является аналитической, и другая КТП с неаналитической трехточечной функцией.

Модели WZW

Теорию Лиувилля можно получить из ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ Модель Весса – Зумино – Виттена. квантовой Редукция Дринфельда-Соколова. Кроме того, корреляционные функции ${\displaystyle H_{3}^{+}}$ модель (евклидова версия ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ WZW-модель) можно выразить через корреляционные функции теории Лиувилля.^[11][12] То же верно и для корреляционных функций 2d черной дыры. ${\displaystyle SL_{2}/U_{1}}$ модель смежного класса.^[11] Более того, существуют теории, которые непрерывно интерполируют между теорией Лиувилля и ${\displaystyle H_{3}^{+}}$ модель.^[13]

Конформная теория Тоды

Теория Лиувилля - простейший пример Теория поля Тоды, связанный с ${\displaystyle A_{1}}$ Матрица Картана. Более общие конформные теории Тоды можно рассматривать как обобщения теории Лиувилля, лагранжианы которой включают несколько бозонов, а не один бозон. ${\displaystyle \phi }$, а алгебры симметрий W-алгебры а не алгебру Вирасоро.

Суперсимметричная теория Лиувилля

Теория Лиувилля допускает два разных суперсимметричный расширения называются ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ суперсимметричная теория Лиувилля и ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ суперсимметричная теория Лиувилля. ^[14]

Приложения

Лиувилля гравитация

В двух измерениях Уравнения Эйнштейна сократить до Уравнение Лиувилля, поэтому теория Лиувилля дает квантовая теория гравитации это называется Лиувилля гравитация. Не следует путать^[15][16] с Модель CGHS или же Jackiw – Teitelboim гравитация.

Теория струн

Теория Лиувилля появляется в контексте теория струн при попытке сформулировать некритическую версию теории в формулировка интеграла по путям.^[17] Также в контексте теории струн, если соединить со свободным бозонное поле, Теорию поля Лиувилля можно рассматривать как теорию, описывающую струнные возбуждения в двухмерном пространстве (времени).

Другие приложения

Теория Лиувилля связана с другими предметами физики и математики, такими как трехмерное общая теория относительности в отрицательном искривленные пространства, то проблема униформизации из Римановы поверхности, и другие проблемы в конформное отображение. Это также связано с Немедленное включение функции раздела в некоем четырехмерном суперконформный калибровочные теории посредством Переписка АГТ.

Путаница в названии ${\displaystyle c\leq 1}$

Теория Лиувилля с ${\displaystyle c\leq 1}$ впервые появилась как модель зависящей от времени теории струн под названием времяподобная теория Лиувилля.^[18]Его также называли обобщенная минимальная модель.^[19] Сначала это называлось Теория Лиувилля когда было обнаружено, что он действительно существует, и более похож на пространство, чем на время.^[4] По состоянию на 2020 год ни одно из этих трех имен не является общепринятым.

Рекомендации

1. Рибо, Сильвен (2014). «Конформная теория поля на плоскости». arXiv:1406.4290 [hep-th ].
2. Дорн, H .; Отто, Х.-Дж. (1992). «О корреляционных функциях для некритических струн с c⩽1, но d⩾1». Письма по физике B. 291 (1–2): 39–43. arXiv:hep-th / 9206053. Bibcode:1992ФЛБ..291 ... 39Д. Дои:10.1016 / 0370-2693 (92) 90116-Л.
3. Замолодчиков, А .; Замолодчиков, Ал. (1996). «Конформный бутстрап в теории поля Лиувилля». Ядерная физика B. 477 (2): 577–605. arXiv:hep-th / 9506136. Bibcode:1996НуФБ.477..577Z. Дои:10.1016/0550-3213(96)00351-3.
4. Рибо, Сильвен; Сантачиара, Рауль (2015). «Теория Лиувилля с центральным зарядом меньше единицы». Журнал физики высоких энергий. 2015 (8): 109. arXiv:1503.02067. Bibcode:2015JHEP ... 08..109R. Дои:10.1007 / JHEP08 (2015) 109.
5. Тешнер, Дж (2003). «Лекция о вершинных операторах Лиувилля». Международный журнал современной физики A. 19 (2): 436–458. arXiv:hep-th / 0303150. Bibcode:2004IJMPA..19S.436T. Дои:10.1142 / S0217751X04020567.
6. Guillarmou, C; Купиайнен, А; Родос, Р; V, Варгас. «Конформный бутстрап в теории Лиувилля». arXiv:2005.11530.
7. Хадаш, Лешек; Яскольский, Збигнев; Сучанек, Паулина (2010). «Модульный бутстрап в теории поля Лиувилля». Письма по физике B. 685 (1): 79–85. arXiv:0911.4296. Bibcode:2010ФЛБ..685 ... 79Н. Дои:10.1016 / j.physletb.2010.01.036.
8. Купиайнен, Антти; Родос, Реми; Варгас, Винсент (2017). "Интегрируемость теории Лиувилля: доказательство формулы DOZZ". arXiv:1707.08785 [math.PR ].
9. Guillarmou, C; Купиайнен, А; Родос, Р; V, Варгас. «Конформный бутстрап в теории Лиувилля». arXiv:2005.11530.
10. Schomerus, Волкер (2003). «Катящиеся тахионы из теории Лиувилля». Журнал физики высоких энергий. 2003 (11): 043. arXiv:hep-th / 0306026. Bibcode:2003JHEP ... 11..043S. Дои:10.1088/1126-6708/2003/11/043.
11. Рибо, Сильвен; Тешнер, Йорг (2005). «H (3) + корреляторы из теории Лиувилля». Журнал физики высоких энергий. 2005 (6): 014. arXiv:hep-th / 0502048. Bibcode:2005JHEP ... 06..014R. Дои:10.1088/1126-6708/2005/06/014.
12. Хикида, Ясуаки; Schomerus, Волкер (2007). "H ^ + _ 3 WZNW модель из теории поля Лиувилля". Журнал физики высоких энергий. 2007 (10): 064. arXiv:0706.1030. Bibcode:2007JHEP ... 10..064H. Дои:10.1088/1126-6708/2007/10/064.
13. Рибо, Сильвен (2008). «Семейство разрешимых нерациональных конформных теорий поля». Журнал физики высоких энергий. 2008 (5): 073. arXiv:0803.2099. Bibcode:2008JHEP ... 05..073R. Дои:10.1088/1126-6708/2008/05/073.
14. Накаяма, Ю. (2004). "Теория поля Лиувилля: десятилетие после революции". Международный журнал современной физики A. 19 (17n18): 2771–2930. arXiv:hep-th / 0402009. Bibcode:2004IJMPA..19.2771N. CiteSeerX  10.1.1.266.6964. Дои:10.1142 / S0217751X04019500.
15. Грумиллер, Даниэль; Куммер, Вольфганг; Василевич, Дмитрий (Октябрь 2002 г.). "Дилатонская гравитация в двух измерениях". Отчеты по физике (Представлена ​​рукопись). 369 (4): 327–430. arXiv:hep-th / 0204253. Bibcode:2002ФР ... 369..327Г. Дои:10.1016 / S0370-1573 (02) 00267-3.
16. Грумиллер, Даниэль; Мейер, Рене (2006). "Разветвления Лайнландии". Турецкий журнал физики. 30 (5): 349–378. arXiv:hep-th / 0604049. Bibcode:2006TJPh ... 30..349G. Архивировано из оригинал 22 августа 2011 г.
17. Поляков, А. (1981). «Квантовая геометрия бозонных струн». Письма по физике B. 103 (3): 207–210. Bibcode:1981ФЛБ..103..207П. Дои:10.1016/0370-2693(81)90743-7.
18. Строминджер, Эндрю; Такаянаги, Тадаши (2003). "Корреляторы во времениподобной объемной теории Лиувилля". Adv. Теор. Математика. Phys. 7: 369–379. arXiv:hep-th / 0303221. Bibcode:2003hep.th .... 3221S. Дои:10.4310 / atmp.2003.v7.n2.a6. МИСТЕР  2015169.
19. Замолодчиков, Ал (2005). «О трехточечной функции в минимальной лиувиллевской гравитации». Теоретическая и математическая физика. 142 (2): 183–196. arXiv:hep-th / 0505063. Bibcode:2005ТМП ... 142..183Z. Дои:10.1007 / s11232-005-0048-3.

внешняя ссылка

• Антти Купиайнен, Введение в теорию Лиувилля, доклад в Институте перспективных исследований, май 2018 г.