Абстрактное дифференциальное уравнение - Abstract differential equation - Wikipedia

В математика, абстрактное дифференциальное уравнение это дифференциальное уравнение в котором неизвестное функция и его производные принимают значения в некотором общем абстрактном пространстве (гильбертово пространство, банахово пространство и т. д.). Уравнения такого типа возникают, например, в изучении уравнения в частных производных: если одной из переменных дано привилегированное положение (например, время, в высокая температура или же волна уравнения) и все остальные составляются вместе, получается обыкновенное «дифференциальное» уравнение относительно переменной, которая была приведена в доказательство. Добавление граничные условия часто можно перевести в термины рассмотрения решений в некоторых удобных функциональных пространствах.

Наиболее часто встречающимся классическим абстрактным дифференциальным уравнением является уравнение^[1]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f}$

где неизвестная функция ${\displaystyle u=u(t)}$ принадлежит некоторым функциональное пространство ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle 0\leq t\leq T\leq \infty }$ и ${\displaystyle A:X\to X}$ является оператор (обычно линейный оператор), действующий на этом пространстве. Исчерпывающее рассмотрение однородных (${\displaystyle f=0}$) случай с постоянным оператором дается теорией C₀-полугруппы. Очень часто изучение других абстрактных дифференциальных уравнений сводится (например, путем сведения к системе уравнений первого порядка) к изучению этого уравнения.

Теория абстрактных дифференциальных уравнений основана профессором Эйнар Хилле в нескольких статьях и в его книге Функциональный анализ и полугруппы.^[2] Другими основными участниками были^[3] Косаку Ёсида, Ральф Филлипс, Исао Миядера и Селим Григорьевич Крейн.

Абстрактная задача Коши

Определение

Позволять^[4][5][6] ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ быть двумя линейные операторы, с доменами ${\displaystyle D(A)}$ и ${\displaystyle D(B)}$, действуя в Банахово пространство ${\displaystyle X}$. Функция ${\displaystyle u(t):[0,T]\to X}$ говорят, что имеет сильная производная (или быть Дифференцируемый по Фреше или просто дифференцируемый) в точке ${\displaystyle t_{0}}$ если существует элемент ${\displaystyle y\in X}$ такой, что

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left\|{\frac {u(t_{0}+h)-u(t_{0})}{h}}-y\right\|=0}$

и его производная ${\displaystyle u'(t_{0})=y}$.

А решение уравнения

${\displaystyle B{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au}$

это функция ${\displaystyle u(t):[0,\infty )\to D(A)\cap D(B)}$ такой, что:

• ${\displaystyle (Bu)(t)\in C([0,\infty );X),}$
• сильная производная ${\displaystyle u'(t)}$ существуют ${\displaystyle \forall t\in [0,\infty )}$ и ${\displaystyle u'(t)\in D(B)}$ для любого такого ${\displaystyle t}$, и
• выполняется предыдущее равенство ${\displaystyle \forall t\in [0,\infty )}$.

В Задача Коши заключается в нахождении решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию ${\displaystyle u(0)=u_{0}\in D(A)\cap D(B)}$.

Хорошая постановка

Согласно определению хорошо поставленная проблема к Адамар, задача Коши называется хорошо поставлен (или же правильный) на ${\displaystyle [0,\infty )}$ если:

• для любого ${\displaystyle u_{0}\in D(A)\cap D(B)}$ имеет уникальное решение, и
• это решение непрерывно зависит от начальных данных в том смысле, что если ${\displaystyle u_{n}(0)\to 0}$ (${\displaystyle u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)}$), тогда ${\displaystyle u_{n}(t)\to 0}$ для соответствующего решения на каждом ${\displaystyle t\in [0,\infty ).}$

Корректно поставленная задача Коши называется одинаково хорошо поставленный если ${\displaystyle u_{n}(0)\to 0}$ подразумевает ${\displaystyle u_{n}(t)\to 0}$ равномерно в ${\displaystyle t}$ на каждом конечном интервале ${\displaystyle [0,T]}$.

Полугруппа операторов, связанных с задачей Коши

Абстрактной задаче Коши можно сопоставить полугруппа операторов ${\displaystyle U(t)}$, то есть семья ограниченные линейные операторы в зависимости от параметра ${\displaystyle t}$ (${\displaystyle 0<t<\infty }$) такие, что

${\displaystyle U(t_{1}+t_{2})=U(t_{1})U(t_{2})\quad (0<t_{1},t_{2}<\infty ).}$

Рассмотрим оператора ${\displaystyle U(t)}$ который присваивается элементу ${\displaystyle u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)}$ ценность решения ${\displaystyle u(t)}$ задачи Коши (${\displaystyle u(0)=u_{0}}$) в момент времени ${\displaystyle t>0}$. Если задача Коши корректна, то оператор ${\displaystyle U(t)}$ определяется на ${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$ и образует полугруппу.

Кроме того, если ${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$ является плотный в ${\displaystyle X}$, Оператор ${\displaystyle U(t)}$ продолжается до линейного ограниченного оператора, определенного на всем пространстве ${\displaystyle X}$. В этом случае можно сопоставить любой ${\displaystyle x_{0}\in X}$ функция ${\displaystyle U(t)x_{0}}$, для любого ${\displaystyle t>0}$. Такая функция называется обобщенное решение задачи Коши.

Если ${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$ плотно в ${\displaystyle X}$ и задача Коши равномерно корректна, то ассоциированная полугруппа ${\displaystyle U(t)}$ это C₀-полугруппа в ${\displaystyle X}$.

Наоборот, если ${\displaystyle A}$ это бесконечно малый генератор C₀-полугруппа ${\displaystyle U(t)}$, то задача Коши

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

равномерно корректна, и решение дается формулой

${\displaystyle u(t)=U(t)u_{0}.}$

Неоднородная проблема

Проблема Коши

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

с ${\displaystyle f:[0,\infty )\to X}$, называется неоднородный когда ${\displaystyle f(t)\neq 0}$. Следующая теорема дает некоторые достаточные условия существования решения:

Теорема. Если ${\displaystyle A}$ является бесконечно малым образующим C₀-полугруппа ${\displaystyle T(t)}$ и ${\displaystyle f}$ непрерывно дифференцируема, то функция

${\displaystyle u(t)=T(t)u_{0}+\int _{0}^{t}T(t-s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0}$

является единственным решением (абстрактной) неоднородной задачи Коши.

Интеграл в правой части должен рассматриваться как Интеграл Бохнера.

Зависящая от времени проблема

Проблема^[7] поиска решения начальной задачи

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A),}$

где неизвестное - функция ${\displaystyle u:[0,T]\to X}$, ${\displaystyle f:[0,T]\to X}$ дается и для каждого ${\displaystyle t\in [0,T]}$, ${\displaystyle A(t)}$ это данность, закрыто, линейный оператор в ${\displaystyle X}$ с доменом ${\displaystyle D[A(t)]=D}$, независим от ${\displaystyle t}$ и плотный в ${\displaystyle X}$, называется зависящий от времени Задача Коши.

Операторнозначная функция ${\displaystyle U(t,\tau )}$ со значениями в ${\displaystyle B(X)}$ (пространство всех ограниченные линейные операторы из ${\displaystyle X}$ к ${\displaystyle X}$), определенные и сильно непрерывные совместно в ${\displaystyle t,\tau }$ за ${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$, называется фундаментальное решение задачи, зависящей от времени, если:

• частная производная ${\displaystyle {\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}}$ существует в сильная топология из ${\displaystyle X}$, принадлежит ${\displaystyle B(X)}$ за ${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$, и сильно непрерывна в ${\displaystyle t}$ за ${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$;
• диапазон ${\displaystyle U(t,\tau )}$ в ${\displaystyle D}$;
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}+A(t)U(t,\tau )=0,\quad 0\leq \tau \leq t\leq T,}$ и
• ${\displaystyle U(\tau ,\tau )=I}$.

${\displaystyle U(\tau ,\tau )}$ также называется оператором эволюции, пропагатором, оператором решения или функцией Грина.

Функция ${\displaystyle u:[0,T]\to X}$ называется мягкий раствор нестационарной задачи, если она допускает интегральное представление

${\displaystyle u(t)=U(t,0)u_{0}+\int _{0}^{t}U(t,s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0.}$

Известны различные достаточные условия существования оператора эволюции ${\displaystyle U(t,\tau )}$. Практически во всех случаях, рассмотренных в литературе ${\displaystyle -A(t)}$ считается бесконечно малым генератором C₀-полугруппа по ${\displaystyle X}$. Грубо говоря, если ${\displaystyle -A(t)}$ бесконечно малый генератор полугруппа сжатия уравнение называется гиперболический тип; если ${\displaystyle -A(t)}$ бесконечно малый генератор аналитическая полугруппа уравнение называется параболический тип.

Нелинейная задача

Проблема^[7] найти решение либо

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=f(t,u)\quad u(0)=u_{0}\in X}$

куда ${\displaystyle f:[0,T]\times X\to X}$ дается, или

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

куда ${\displaystyle A}$ - нелинейный оператор с областью определения ${\displaystyle D(A)\in X}$, называется нелинейная задача Коши.

Смотрите также

• C0-полугруппа

Рекомендации

1. Дезин, А.А. «Дифференциальное уравнение, аннотация». Энциклопедия математики.
2. Хилле, Эйнар (1948). Функциональный анализ и полугруппы. Американское математическое общество.
3. Зайдман, Сэмюэл (1979). Абстрактные дифференциальные уравнения. Программа расширенных публикаций Pitman.
4. Крейн, Селим Григорьевич (1972). Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Американское математическое общество.
5. Зайдман, Сэмюэл (1994). Темы абстрактных дифференциальных уравнений. Longman Scientific & Technical.
6. Зайдман, Самуэль (1999). Функциональный анализ и дифференциальные уравнения в абстрактных пространствах. Чепмен и Холл / CRC.
7. Lakshmikantham, V .; Ладас, Г. Э. (1972). Дифференциальные уравнения в абстрактных пространствах..