Критерий Андронова – Понтрягина. - Andronov–Pontryagin criterion

В Критерий Андронова – Понтрягина. является необходимым и достаточным условием устойчивости динамические системы в плоскости. Это было получено Александр Андронов и Лев Понтрягин в 1937 г.

Заявление

Динамическая система

{ Displaystyle { точка {х}} = v (х),}

куда ${ displaystyle v}$ это ${ displaystyle C ^ {1}}$ -векторное поле на самолет, ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {2}}$ , является орбитально топологически устойчивый тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

Все точки равновесия и периодические орбиты находятся гиперболический.
Нет седловые соединения.

То же утверждение верно, если векторное поле ${ displaystyle v}$ определяется на единичный диск и трансверсален границе.

Разъяснения

Орбитальная топологическая устойчивость динамической системы означает, что для любого достаточно малого возмущения (в C¹-метрический) существует гомеоморфизм близко к тождественному отображению, которое переводит орбиты исходной динамической системы в орбиты возмущенной системы (см. структурная устойчивость ).

Первое условие теоремы известно как глобальная гиперболичность. Нуль векторного поля v, т.е. точка Икс₀ куда v(Икс₀) = 0, называется гиперболический если ни один из собственные значения линеаризации v в Икс₀ чисто мнимое. Периодическая орбита потока называется гиперболической, если ни одна из собственные значения из Карта возврата Пуанкаре в точке на орбите имеет по модулю единицу.

Ну наконец то, седловое соединение относится к ситуации, когда орбита из одной седловой точки входит в ту же или другую седловую точку, то есть в нестабильную и стабильную сепаратрисы связаны (см. гомоклиническая орбита и гетероклиническая орбита ).

Критерий Андронова – Понтрягина. - Andronov–Pontryagin criterion

Заявление

Разъяснения

Рекомендации