Теорема монадичности Бекса - Becks monadicity theorem - Wikipedia

В теория категорий, филиал математика, Теорема Бека монадичности дает критерий, характеризующий монадические функторы, представлен Джонатан Мок Бек  (2003 ) примерно в 1964 году. Часто это формулируется в двойной форме для комонады. Иногда его называют Теорема Бека о тройственности из-за более старого срока тройной для монады.

Теорема Бека об монадичности утверждает, что функтор

монадичен тогда и только тогда, когда[1]

  1. U есть левый прилегающий;
  2. U отражает изоморфизмы; и
  3. C имеет соэквалайзеры из U-разбить параллельные пары (те параллельные пары морфизмов в C, который U отправляет парам, имеющим разделенный коэквалайзер в D), и U сохраняет эти соэквалайзеры.

Есть несколько вариантов теоремы Бека: если U имеет левый сопряженный элемент, то любое из следующих условий гарантирует, что U монадический:

  • U отражает изоморфизмы и C имеет соэквалайзеры рефлексивных пар (имеющих общий правый обратный) и U сохраняет эти соэквалайзеры. (Это дает грубую теорему об монадичности.)
  • Каждая вилка в C что по U отправлено в последовательность разделенного коэквалайзера в D сам является последовательностью коэквалайзера в C. Другими словами, U создает (сохраняет и отражает) U-разбить последовательности коэквалайзера.

Другой вариант теоремы Бека характеризует строго монадические функторы: те, для которых функтор сравнения является изоморфизмом, а не просто эквивалентностью. Для этой версии определения того, что означает создание коэквалайзеров, немного изменены: коэквалайзер должен быть уникальным, а не просто уникальным вплоть до изоморфизма.

Теорема Бека особенно важна в связи с теория происхождения, который играет роль в пучок и теория стека, а также в Александр Гротендик подход к алгебраическая геометрия. В большинстве случаев ровный спуск алгебраические структуры (например, в FGA И в SGA1 ) являются частными случаями теоремы Бека. Теорема дает точное категориальное описание процесса «спуска» на этом уровне. В 1970 году подход Гротендика через слоистые категории и данные о спуске был показан (Жан Бенабу и Жак Рубо ) быть эквивалентным (при некоторых условиях) подходу комонад. В более поздней работе Пьер Делинь применил теорему Бека к Категория таннакиана теория, значительно упрощающая основные разработки.

Примеры

  • Из теоремы Бека следует, что функтор забывания из компактных Хаусдорфовы пространства множествам монадичен. Левый сопряженный - это Каменно-чешская компактификация, функтор забывания сохраняет все копределы и отражает изоморфизмы, потому что любая непрерывная биекция из компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом. Ленстер (2013) показывает, что это присоединение на самом деле исходный монадическое присоединение, расширяющее (немонадический) функтор включения категории конечные множества в один из всех наборов.
  • Функтор забывчивости из топологических пространств в множества не является монадическим, поскольку он не отражает изоморфизмы: непрерывные биекции между (некомпактными или нехаусдорфовыми) топологическими пространствами не обязательно должны быть гомеоморфизмами.
  • Негрепонтис (1971 г., §1) показывает, что функтор из коммутативной C * -алгебры в наборы, отправляющие такую ​​алгебру А к единичный мяч, т.е. множество , монадический. Негрепонтис также выводит Двойственность Гельфанда, т. е. эквивалентность категорий между противоположной категорией компактных хаусдорфовых пространств и коммутативными C * -алгебрами может быть выведена из этого.
  • Функтор powerset из Setop to Set является монадическим, где Set - это категория множеств. В более общем смысле теорему Бека можно использовать, чтобы показать, что функтор powerset из Top to T монадичен для любого топоса T, что, в свою очередь, используется, чтобы показать, что топос T имеет конечные копределы.
  • Забывчивый функтор из полугруппы множествам монадичен. Этот функтор не сохраняет произвольные соуравнители, показывая, что некоторые ограничения на соуравнители в теореме Бека необходимы, если кто-то хочет иметь необходимые и достаточные условия.
  • Если B является строго плоским коммутативным кольцом над коммутативным кольцом А, то функтор Т из А модули для B модули, принимающие M к B⊗АM комонада. Это следует из двойственной теоремы Бекса, как условия, что B плоский означает, что Т сохраняет пределы, а условие, что B строго плоский означает, что Т отражает изоморфизмы. Коалгебра над Т оказывается по сути B-модуль со спуском данных, так что то, что Т комонада эквивалентна основной теореме о строго плоском спуске, согласно которой B-модули со спуском эквивалентны А-модули.[2]

внешняя ссылка

Рекомендации

  1. ^ Педиккио и Толен 2004, п. 228
  2. ^ Делинь 1990, §4.2
  • Балмер, Пол (2012), «Спуск в триангулированных категориях», Mathematische Annalen, 353 (1): 109–125, Дои:10.1007 / s00208-011-0674-z, МИСТЕР  2910783
  • Barr, M .; Уэллс, К. (2013) [1985], Тройки, топосы и теории, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 278, Спрингер, ISBN  9781489900234 pdf
  • Бек, Джонатан Мок (2003) [1967], «Тройки, алгебры и когомологии» (PDF), Перепечатки в теории и приложениях категорий, Докторская диссертация Колумбийского университета, 2: 1–59, МИСТЕР  1987896
  • Бенабу, Жан; Рубо, Жак (1970-01-12), "Monades et descente", C. R. Acad. Sc. Париж, т., 270 (А): 96–98
  • Ленстер, Том (2013), «Кодовая плотность и монада ультрафильтров», Теория и приложения категорий, 28: 332–370, arXiv:1209.3606, Bibcode:2012arXiv1209.3606L