Алгебра категорий - Category algebra

В теория категорий, поле математика, а алгебра категорий является ассоциативная алгебра, определенный для любой локально конечной категория и коммутативное кольцо с единицей. Категориальные алгебры обобщают понятия групповые алгебры и алгебры инцидентности, как только категории обобщить понятия группы и частично упорядоченные наборы.

Определение

Если данная категория конечна (имеет конечное число объекты и морфизмы ), то согласуются следующие два определения алгебры категорий.

Определение в стиле групповой алгебры

Учитывая группа грамм и коммутативное кольцо р, можно построить RG, известный как групповая алгебра; это р-модуль оснащен умножением. Группа - это то же самое, что и категория с одним объектом, в котором все морфизмы изоморфизмы (где элементы группы соответствуют морфизмам категории), поэтому следующая конструкция обобщает определение групповой алгебры с групп на произвольные категории.

Позволять C быть категорией и р коммутативное кольцо с единицей. Определять RC (или же р[C]) быть свободный р-модуль с базой, состоящей из карт C. Другими словами, RC состоит из формальных линейные комбинации (которые являются конечными суммами) вида ${displaystyle sum a_ {i} f_ {i}}$ , куда ж_я карты C, и а_я элементы кольца р. Определите операцию умножения на RC следующим образом, используя операцию композиции в категории:

{displaystyle sum a_ {i} f_ {i} sum b_ {j} g_ {j} = sum a_ {i} b_ {j} f_ {i} g_ {j}}

куда ${displaystyle f_ {i} g_ {j} = 0}$ если их состав не определен. Это определяет бинарную операцию над RC, и кроме того делает RC в ассоциативную алгебру над кольцом р. Эта алгебра называется алгебра категорий из C.

С другой стороны, элементы бесплатного модуля RC можно также рассматривать как функции от карт C к р которые конечно поддержанный. Тогда умножение описывается свертка: если ${displaystyle a, bin RC}$ (рассматриваются как функционалы на картах C), то их произведение определяется как:

{displaystyle (a * b) (h): = sum _ {fg = h} a (f) b (g).}

Последняя сумма конечна, поскольку функции имеют конечный носитель, и поэтому ${displaystyle a * bin RC}$ .

Определение в стиле алгебры инцидентности

Определение, используемое для алгебр инцидентности, предполагает, что категория C локально конечна (см. ниже), является двойной к приведенному выше определению и определяет разные объект. Это бесполезное предположение для групп, поскольку группа, локально конечная как категория, конечна.

А локально конечная категория - это такая, в которой каждая карта может быть записана только конечным числом способов как композиция двух неидентичных карт (не путать с "имеет конечное Hom-множества "означает"). Алгебра категорий (в этом смысле) определяется, как указано выше, но допускает, чтобы все коэффициенты были ненулевыми.

С точки зрения формальных сумм, все элементы представляют собой формальные суммы

{displaystyle sum _ {f_ {i} in mathrm {Hom} (C)} a_ {i} f_ {i},}

где нет ограничений на ${displaystyle a_ {i}}$ (все они могут быть ненулевыми).

С точки зрения функций, элементы - это любые функции из карт C к р, а умножение определяется как свертка. Сумма в свертке всегда конечна из-за предположения о локальной конечности.

Двойной

Модуль, двойственный к алгебре категорий (в смысле определения групповой алгебры) - это пространство всех отображений из отображений C к р, обозначенный F(C) и имеет естественный коалгебра структура. Таким образом, для локально конечной категории двойственная алгебра категорий (в смысле групповой алгебры) является алгеброй категорий (в смысле алгебры инцидентности) и имеет структуру как алгебры, так и коалгебры.

Примеры

Если C это группа (задуманный как группоид с одним объектом), то RC это групповая алгебра.
Если C это моноид (рассматривается как категория с одним объектом), то RC это моноидное кольцо.
Если C это частично заказанный набор, то (используя соответствующее определение), RC это алгебра инцидентности.
В алгебра путей из колчан Q - алгебра категорий свободная категория на Q.

дальнейшее чтение

http://www.math.umn.edu/~webb/Publications/CategoryAlgebras.pdf Стандартный текст.