Причинная структура - Causal structure - Wikipedia

Эта статья посвящена возможным причинно-следственным связям между точками лоренцевого многообразия. Для классификации лоренцевых многообразий по типам причинных структур, которые они допускают, см. Условия причинности.

В математическая физика, то причинная структура из Лоренцево многообразие описывает причинно-следственные связи между точками коллектора.

Вступление

В современная физика (особенно общая теория относительности ) пространство-время представлен Лоренцево многообразие. Причинные отношения между точками в многообразии интерпретируются как описывающие, какие события в пространстве-времени могут влиять на другие события.

Пространство-время Минковского является простым примером лоренцево многообразия. Причинно-следственные связи между точками в пространстве-времени Минковского принимают особенно простую форму, поскольку пространство плоский. Видеть Причинная структура пространства-времени Минковского для дополнительной информации.

Причинная структура произвольного (возможно, искривленного) лоренцевого многообразия усложняется наличием кривизна. Обсуждения причинной структуры таких многообразий должны быть сформулированы в терминах гладкий кривые соединение пар точек. Условия на касательные векторы кривых затем определяют причинно-следственные связи.

Касательные векторы

Если ${\displaystyle \,(M,g)}$ это Лоренцево многообразие (за метрика ${\displaystyle g}$ на многообразие ${\displaystyle M}$), то касательные векторы в каждой точке многообразия можно разделить на три различных типа. ${\displaystyle X}$ является

• подобный времени если ${\displaystyle \,g(X,X)<0}$
• ноль или же легкий если ${\displaystyle \,g(X,X)=0}$
• космический если ${\displaystyle \,g(X,X)>0}$

(Здесь мы используем ${\displaystyle (-,+,+,+,\cdots )}$ метрическая подпись ). Касательный вектор называется «непространственноподобным», если он нулевой или времениподобный.

Эти названия происходят от более простого случая пространства-времени Минковского (см. Причинная структура пространства-времени Минковского ).

Ориентация по времени

В каждой точке ${\displaystyle M}$ времениподобные касательные векторы в точке касательное пространство можно разделить на два класса. Для этого сначала определим отношение эквивалентности на парах времениподобных касательных векторов.

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ два времениподобных касательных вектора в точке, мы говорим, что ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ эквивалентны (написано ${\displaystyle X\sim Y}$) если ${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$.

Тогда есть два классы эквивалентности которые между ними содержат все времениподобные касательные векторы в точке. Мы можем (произвольно) назвать один из этих классов эквивалентности «направленным в будущее», а другой - «направленным в прошлое». Физически такое обозначение двух классов времениподобных векторов, направленных в будущее и в прошлое, соответствует выбору стрела времени в точку. Обозначения, направленные в будущее и прошлое, могут быть расширены до нулевых векторов в точке по непрерывности.

А Лоренцево многообразие является ориентированный на время^[1] если непрерывное обозначение направленных в будущее и в прошлое для непространственноподобных векторов может быть сделано по всему многообразию.

Кривые

А дорожка в ${\displaystyle M}$ это непрерывный карта ${\displaystyle \mu :\Sigma \to M}$ куда ${\displaystyle \Sigma }$ является невырожденным интервалом (т. е. связным множеством, содержащим более одной точки) в ${\displaystyle \mathbb {R} }$. А гладкий путь имеет ${\displaystyle \mu }$ дифференцируемые соответствующее количество раз (обычно ${\displaystyle C^{\infty }}$), а обычный path имеет отличную от нуля производную.

А изгиб в ${\displaystyle M}$ является изображением пути или, точнее, классом эквивалентности изображений пути, связанных с помощью повторной параметризации, т.е. гомеоморфизмы или же диффеоморфизмы из ${\displaystyle \Sigma }$. Когда ${\displaystyle M}$ ориентируется во времени, кривая ориентированный если требуется изменение параметра монотонный.

Гладкие правильные кривые (или пути) в ${\displaystyle M}$ могут быть классифицированы в зависимости от их касательных векторов. Такая кривая

• хронологический (или же подобный времени), если касательный вектор во всех точках кривой времениподобен.
• ноль если касательный вектор равен нулю во всех точках кривой.
• космический если касательный вектор пространственноподобен во всех точках кривой.
• причинный (или же не космический) если касательный вектор времениподобный или же ноль во всех точках кривой.

Требования регулярности и невырожденности ${\displaystyle \Sigma }$ убедитесь, что замкнутые причинные кривые (например, состоящие из одной точки) не допускаются автоматически для всех пространств-времени.

Если многообразие ориентируется во времени, то непространственноподобные кривые можно дополнительно классифицировать в зависимости от их ориентации во времени.

Хронологическая, нулевая или причинная кривая в ${\displaystyle M}$ является

• ориентированный на будущее если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в будущее.
• направленный в прошлое если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в прошлое.

Эти определения применимы только к причинным (хронологическим или нулевым) кривым, потому что только времениподобным или нулевым касательным векторам можно присвоить ориентацию по отношению ко времени.

• А замкнутая времениподобная кривая представляет собой замкнутую кривую, которая всюду направлена ​​в будущее, подобна времени (или везде направлена ​​в прошлое).
• А замкнутая нулевая кривая - это замкнутая кривая, которая всюду направлена ​​в будущее нулевым значением (или везде направлено в прошлое).
• В голономия отношения скорости изменения аффинного параметра вокруг замкнутой нулевой геодезической есть коэффициент красного смещения.

Причинно-следственные связи

Есть два типа причинных связи между точками ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в коллекторе ${\displaystyle M}$.

• ${\displaystyle x}$ хронологически предшествует ${\displaystyle y}$ (часто обозначается ${\displaystyle \,x\ll y}$), если существует направленная в будущее хронологическая (времениподобная) кривая из ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle x}$ строго причинно предшествует ${\displaystyle y}$ (часто обозначается ${\displaystyle x<y}$), если существует направленная в будущее причинная (непространственноподобная) кривая из ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle x}$ причинно предшествует ${\displaystyle y}$ (часто обозначается ${\displaystyle x\prec y}$ или же ${\displaystyle x\leq y}$) если ${\displaystyle x}$ строго причинно предшествует ${\displaystyle y}$ или же ${\displaystyle x=y}$.
• ${\displaystyle x}$ Horismos (световой конус) ${\displaystyle y}$^[2] (часто обозначается ${\displaystyle x\to y}$ или же ${\displaystyle x\nearrow y}$) если ${\displaystyle x\prec y}$ и ${\displaystyle x\not \ll y}$, ${\displaystyle y\ll z}$ подразумевает ${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle \,x\prec y}$, ${\displaystyle \,y\prec z}$ подразумевает ${\displaystyle \,x\prec z}$

и удовлетворить^[3]

• ${\displaystyle x\ll y}$ подразумевает ${\displaystyle x\prec y}$ (это тривиально следует из определения)
• ${\displaystyle x\ll y}$, ${\displaystyle y\prec z}$ подразумевает ${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle x\prec y}$, ${\displaystyle y\ll z}$ подразумевает ${\displaystyle x\ll z}$

Для точки ${\displaystyle x}$ в коллекторе ${\displaystyle M}$ мы определяем^[3]

• В хронологическое будущее из ${\displaystyle x}$, обозначенный ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$, как множество всех точек ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle x}$ хронологически предшествует ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$

• В хронологическое прошлое из ${\displaystyle x}$, обозначенный ${\displaystyle \,I^{-}(x)}$, как множество всех точек ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle y}$ хронологически предшествует ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$

Аналогично определяем

• В причинное будущее (также называемый абсолютное будущее) из ${\displaystyle x}$, обозначенный ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$, как множество всех точек ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle x}$ причинно предшествует ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$

• В причинное прошлое (также называемый абсолютное прошлое) из ${\displaystyle x}$, обозначенный ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$, как множество всех точек ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle y}$ причинно предшествует ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$

Пункты, содержащиеся в ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$, например, можно добраться из ${\displaystyle x}$ направленной в будущее времяподобной кривой. ${\displaystyle x}$ можно добраться, например, из точек, содержащихся в ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$ направленной в будущее непространственной кривой.

В качестве простого примера в Пространство-время Минковского набор ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ это интерьер о будущем световой конус в ${\displaystyle x}$. Набор ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$ это полный световой конус будущего на ${\displaystyle x}$, включая сам конус.

Эти наборы ${\displaystyle \,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)}$определены для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle M}$, вместе называются причинная структура из ${\displaystyle M}$.

За ${\displaystyle S}$ а подмножество из ${\displaystyle M}$ мы определяем^[3]

${\displaystyle I^{\pm }(S)=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }(S)=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

За ${\displaystyle S,T}$ два подмножества из ${\displaystyle M}$ мы определяем

• В хронологическое будущее ${\displaystyle S}$ относительно ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle I^{+}(S;T)}$, это хронологическое будущее ${\displaystyle S}$ рассматривается как подмногообразие ${\displaystyle T}$. Обратите внимание, что это совершенно другая концепция, чем ${\displaystyle I^{+}(S)\cap T}$ что дает набор точек в ${\displaystyle T}$ которого можно достичь с помощью ориентированных в будущее времениподобных кривых, начиная с ${\displaystyle S}$. В первом случае кривые должны лежать в ${\displaystyle T}$ во втором случае их нет. См. Хокинга и Эллиса.
• В причинное будущее ${\displaystyle S}$ относительно ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle J^{+}(S;T)}$, это причинное будущее ${\displaystyle S}$ рассматривается как подмногообразие ${\displaystyle T}$. Обратите внимание, что это совсем другая концепция, чем ${\displaystyle J^{+}(S)\cap T}$ что дает набор точек в ${\displaystyle T}$ что может быть достигнуто с помощью ориентированных на будущее причинных кривых, начиная с ${\displaystyle S}$. В первом случае кривые должны лежать в ${\displaystyle T}$ во втором случае их нет. См. Хокинга и Эллиса.
• А будущий набор это набор, закрытый хронологическим будущим.
• А прошлый набор это набор, закрытый хронологическим прошлым.
• An неразложимое прошлое (IP) - это прошлый набор, который не является объединением двух различных открытых прошлых подмножеств.
• ${\displaystyle I^{-}(x)}$ это правильный неразложимый прошлый набор (PIP).
• А конечный неразложимый набор прошедшего времени (TIP) - это IP-адрес, который не является PIP.
• Будущее Развитие Коши из ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle D^{+}(S)}$ это множество всех точек ${\displaystyle x}$ для которого каждое прошлое направляло непродолжительную причинную кривую через ${\displaystyle x}$ пересекает ${\displaystyle S}$ Хотя бы один раз. То же самое и с прошлой разработкой Коши. Разработка Коши - это объединение будущих и прошлых разработок Коши. Разработки Коши важны для изучения детерминизм.
• Подмножество ${\displaystyle S\subset M}$ является ахрональный если не существует ${\displaystyle q,r\in S}$ такой, что ${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$, или, что то же самое, если ${\displaystyle S}$ не пересекается с ${\displaystyle I^{+}(S)}$.
• А Поверхность Коши замкнутое ахрональное множество, развитие Коши которого ${\displaystyle M}$.
• Метрика глобально гиперболический если его можно расслоить на поверхности Коши.
• В набор нарушений хронологии - множество точек, через которые проходят замкнутые времениподобные кривые.
• В набор, нарушающий причинно-следственную связь - это множество точек, через которые проходят замкнутые причинные кривые.
• Для причинной кривой ${\displaystyle \gamma }$, то причинный алмаз является ${\displaystyle J^{+}(\gamma )\cap J^{-}(\gamma )}$ (здесь мы используем более широкое определение «кривой», где это просто набор точек). На словах: причинный алмаз мировой линии частицы ${\displaystyle \gamma }$ это набор всех событий, которые лежат как в прошлом некоторой точки в ${\displaystyle \gamma }$ и будущее какой-то точки в ${\displaystyle \gamma }$.

Характеристики

См. Penrose (1972), стр. 13.

• Точка ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle \,I^{-}(y)}$ если и только если ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$.
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• Horismos генерируется нулевыми геодезическими конгруэнциями.

Топологический характеристики:

• ${\displaystyle I^{\pm }(x)}$ открыт для всех точек ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle M}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]}$ открыто для всех подмножеств ${\displaystyle S\subset M}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$ для всех подмножеств ${\displaystyle S\subset M}$. Здесь ${\displaystyle {\overline {S}}}$ это закрытие подмножества ${\displaystyle S}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}}$

Конформная геометрия

Две метрики ${\displaystyle \,g}$ и ${\displaystyle {\hat {g}}}$ находятся конформно связанный^[4] если ${\displaystyle {\hat {g}}=\Omega ^{2}g}$ для некоторой реальной функции ${\displaystyle \Omega }$ называется конформный фактор. (Видеть конформная карта ).

Глядя на определения того, какие касательные векторы являются временноподобными, нулевыми и пространственноподобными, мы видим, что они остаются неизменными, если мы используем ${\displaystyle \,g}$ или же ${\displaystyle {\hat {g}}.}$ В качестве примера предположим ${\displaystyle X}$ является времениподобным касательным вектором относительно ${\displaystyle \,g}$ метрика. Это означает, что ${\displaystyle \,g(X,X)<0}$. Тогда у нас есть это ${\displaystyle {\hat {g}}(X,X)=\Omega ^{2}g(X,X)<0}$ так ${\displaystyle X}$ является времениподобным касательным вектором относительно ${\displaystyle {\hat {g}}}$ тоже.

Из этого следует, что на причинную структуру лоренцевого многообразия не влияет конформное преобразование.

Смотрите также

• Причинно-динамическая триангуляция (CDT)
• Условия причинности
• Причинные множества
• Поверхность Коши
• Замкнутая времениподобная кривая
• Глобально гиперболическое многообразие
• Диаграмма Пенроуза
• Пространство-время

Примечания

1. Хокинг и Израиль 1979, п. 255
2. Пенроуз 1972, п. 15
3. Пенроуз 1972, п. 12
4. Хокинг и Эллис 1973, п. 42

Рекомендации

• Хокинг, С.; Эллис, Г.Ф.Р. (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-20016-4
• Хокинг, С.; Израиль, W. (1979), Общая теория относительности, обзор столетия Эйнштейна, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-22285-0
• Пенроуз, Р. (1972), Методы дифференциальной топологии в теории относительности, СИАМ, ISBN  0898710057

дальнейшее чтение

• Дж. У. Гиббонс, С. Н. Солодухин; Геометрия мелких причинных алмазов arXiv: hep-th / 0703098 (Причинные интервалы)
• С.В. Хокинг, А. Кинг, П.Дж. Маккарти; Новая топология искривленного пространства-времени, включающая причинную, дифференциальную и конформную структуры.; J. Math. Phys. 17 2: 174-181 (1976); (Геометрия, Причинная структура )
• СРЕДНИЙ. Левичев; Задание конформной геометрии лоренцевого многообразия с помощью его причинной структуры; Советская математика. Докл. 35: 452-455 (1987); (Геометрия, Причинная структура )
• Д. Маламент; Класс непрерывных времениподобных кривых определяет топологию пространства-времени; J. Math. Phys. 18 7: 1399-1404 (1977); (Геометрия, Причинная структура )
• А.А. Робб  ; Теория времени и пространства; Издательство Кембриджского университета, 1914; (Геометрия, Причинная структура )
• А.А. Робб  ; Абсолютные отношения времени и пространства; Издательство Кембриджского университета, 1921; (Геометрия, Причинная структура )
• А.А. Робб  ; Геометрия времени и пространства; Издательство Кембриджского университета, 1936; (Геометрия, Причинная структура )
• Соркин Р.Д., Э. Вулгар; Причинный порядок для пространств-времени с лоренцевой метрикой C ^ 0: доказательство компактности пространства причинных кривых; Classical & Quantum Gravity 13: 1971–1994 (1996); arXiv: gr-qc / 9508018 (Причинная структура )

внешняя ссылка

• Причинные сети машины Тьюринга Энрике Зелени, Вольфрам Демонстрационный проект
• Вайсштейн, Эрик В. «Причинная сеть». MathWorld.