Группа символов - Character group

В математика, а группа персонажей это группа представления из группа к сложный -значен функции. Эти функции можно рассматривать как одномерные матрица представления, а значит, и частные случаи группы символы которые возникают в соответствующем контексте теория характера. Всякий раз, когда группа представлена ​​матрицами, функция, определяемая след матриц называется персонажем; однако эти следы не в общем образуют группу. Некоторые важные свойства этих одномерных символов применимы к персонажам в целом:

• Персонажи инвариантны на классы сопряженности.
• Характеры неприводимых представлений ортогональны.

Первостепенное значение группы символов для конечный абелевы группы в теория чисел, где он используется для построения Персонажи Дирихле. Группа символов циклическая группа также появляется в теории дискретное преобразование Фурье. За локально компактный абелевых групп, группа характеров (в предположении непрерывности) является центральной для Анализ Фурье.

Предварительные мероприятия

Позволять грамм - абелева группа. Функция ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ отображение группы на ненулевые комплексные числа называется персонаж из грамм если это групповой гомоморфизм из ${\displaystyle G}$ к ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$- то есть, если ${\displaystyle f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2})}$ для всех ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$.

Если ж является характером конечной группы грамм, то каждое значение функции ж(грамм) это корень единства, поскольку для каждого ${\displaystyle g\in G}$ Существует ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ такой, что ${\displaystyle g^{k}=e}$, и поэтому ${\displaystyle f(g)^{k}=f(g^{k})=f(e)=1}$.

Каждый персонаж ж является константой на классах сопряженности грамм, то есть, ж(ххх⁻¹) = ж(грамм). По этой причине персонажа иногда называют функция класса.

Конечная абелева группа порядок п точно п отдельные персонажи. Они обозначаются ж₁, ..., ж_п. Функция ж₁ - тривиальное представление, которое задается формулой ${\displaystyle f_{1}(g)=1}$ для всех ${\displaystyle g\in G}$. Это называется главный персонаж G; остальные называются неглавные персонажи.

Определение

Если грамм абелева группа, то набор характеров ж_k образует абелеву группу при поточечном умножении. То есть произведение персонажей ${\displaystyle f_{j}}$ и ${\displaystyle f_{k}}$ определяется ${\displaystyle (f_{j}f_{k})(g)=f_{j}(g)f_{k}(g)}$ для всех ${\displaystyle g\in G}$. Эта группа является группа символов G и иногда обозначается как ${\displaystyle {\hat {G}}}$. Элемент идентичности ${\displaystyle {\hat {G}}}$ главный персонаж ж₁, и инверсия символа ж_k является его обратной величиной 1 /ж_k. Если ${\displaystyle G}$ конечно порядка п, тогда ${\displaystyle {\hat {G}}}$ также в порядке п. В этом случае, поскольку ${\displaystyle |f_{k}(g)|=1}$ для всех ${\displaystyle g\in G}$, инверсия символа равна комплексно сопряженный.

Ортогональность персонажей

Рассмотрим ${\displaystyle n\times n}$ матрица А = А(грамм) матричные элементы которой равны ${\displaystyle A_{jk}=f_{j}(g_{k})}$ куда ${\displaystyle g_{k}}$ это kй элемент грамм.

Сумма записей в jй ряд А дан кем-то

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{jk}=\sum _{k=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$ если ${\displaystyle j\neq 1}$, и

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{1k}=n}$.

Сумма записей в k-й столбец А дан кем-то

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{jk}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$ если ${\displaystyle k\neq 1}$, и

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{j1}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(e)=n}$.

Позволять ${\displaystyle A^{\ast }}$ обозначить сопряженный транспонировать из А. потом

${\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A=nI}$.

Это подразумевает желаемое соотношение ортогональности для символов: т. Е.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{f_{k}}^{*}(g_{i})f_{k}(g_{j})=n\delta _{ij}}$ ,

куда ${\displaystyle \delta _{ij}}$ это Дельта Кронекера и ${\displaystyle f_{k}^{*}(g_{i})}$ является комплексным сопряжением ${\displaystyle f_{k}(g_{i})}$.

Смотрите также

• Понтрягинская двойственность

Рекомендации

• См. Главу 6 Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, МИСТЕР  0434929, Zbl  0335.10001