Когерентная алгебра - Coherent algebra

А когерентная алгебра является алгебра комплексных квадратных матриц, замкнутых относительно обычное матричное умножение, Schur продукт, транспозиция, и содержит как единичная матрица ${\displaystyle I}$ и матрица всех единиц ${\displaystyle J}$.^[1]

Определения

Подпространство ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ из ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} )}$ называется когерентной алгеброй порядка ${\displaystyle n}$ если:

• ${\displaystyle I,J\in {\mathcal {A}}}$.
• ${\displaystyle M^{T}\in {\mathcal {A}}}$ для всех ${\displaystyle M\in {\mathcal {A}}}$.
• ${\displaystyle MN\in {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle M\circ N\in {\mathcal {A}}}$ для всех ${\displaystyle M,N\in {\mathcal {A}}}$.

Когерентная алгебра ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ считается:

• Однородный если каждая матрица в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ имеет постоянную диагональ.
• Коммутативный если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ коммутативна относительно обычного матричного умножения.
• Симметричный если каждая матрица в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ симметрично.

Набор ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {A}})}$ из Примитивные матрицы Шура в когерентной алгебре ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ определяется как ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {A}}):=\{M\in {\mathcal {A}}:M\circ M=M,M\circ N\in \operatorname {span} \{M\}{\text{ for all }}N\in {\mathcal {A}}\}}$.

Двойственно набор ${\displaystyle \Lambda ({\mathcal {A}})}$ из примитивные матрицы в когерентной алгебре ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ определяется как ${\displaystyle \Lambda ({\mathcal {A}}):=\{M\in {\mathcal {A}}:M^{2}=M,MN\in \operatorname {span} \{M\}{\text{ for all }}N\in {\mathcal {A}}\}}$.

Примеры

• В централизатор группы матриц перестановок является когерентной алгеброй, т. е. ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ является когерентной алгеброй порядка ${\displaystyle n}$ если ${\displaystyle {\mathcal {W}}:=\{M\in \mathrm {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} ):MP=PM{\text{ for all }}P\in S\}}$ для группы ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle n\times n}$ матрицы перестановок. Дополнительно централизатор группа матриц перестановок, представляющих группа автоморфизмов графа ${\displaystyle G}$ однородна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle G}$ является вершинно-транзитивный.^[2]
• Оболочка множества матриц, связывающих пары элементов, лежащих на одной орбите диагонального действия конечной группы на конечном множестве, является когерентной алгеброй, т. Е. ${\displaystyle {\mathcal {W}}:=\operatorname {span} \{A(u,v):u,v\in V\}}$ куда ${\displaystyle A(u,v)\in \operatorname {Mat} _{V\times V}(\mathbb {C} )}$ определяется как ${\displaystyle (A(u,v))_{x,y}:={\begin{cases}1\ {\text{if }}(x,y)=(u^{g},v^{g}){\text{ for some }}g\in G\\0{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$для всех ${\displaystyle u,v\in V}$ конечного множества ${\displaystyle V}$ под действием конечной группы ${\displaystyle G}$.
• Пролет регулярное представительство конечной группы как группы матриц перестановок над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ является когерентной алгеброй.

Характеристики

• В пересечение набора когерентных алгебр порядка ${\displaystyle n}$ является когерентной алгеброй.
• В тензорное произведение когерентных алгебр является когерентной алгеброй, т.е. ${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}:=\{M\otimes N:M\in {\mathcal {A}}{\text{ and }}N\in {\mathcal {B}}\}}$ если ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in \operatorname {Mat} _{m\times m}(\mathbb {C} )}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}\in \mathrm {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} )}$ являются когерентными алгебрами.
• В симметризация ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {A}}}:=\operatorname {span} \{M+M^{T}:M\in {\mathcal {A}}\}}$ коммутативной когерентной алгебры ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ является когерентной алгеброй.
• Если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ когерентная алгебра, то ${\displaystyle M^{T}\in \Gamma ({\mathcal {A}})}$ для всех ${\displaystyle M\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\operatorname {span} \left(\Gamma ({\mathcal {A}}\right))}$, и ${\displaystyle I\in \Gamma ({\mathcal {A}})}$ если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ однородна.
• Вдвойне, если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ является коммутативной когерентной алгеброй (порядка ${\displaystyle n}$), тогда ${\displaystyle E^{T},E^{*}\in \Lambda ({\mathcal {A}})}$ для всех ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{n}}J\in \Lambda ({\mathcal {A}})}$, и ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\operatorname {span} \left(\Lambda ({\mathcal {A}}\right))}$ также.
• Каждая симметрическая когерентная алгебра коммутативна, и каждая коммутативная когерентная алгебра однородна.
• Когерентная алгебра коммутативна тогда и только тогда, когда она является Алгебра Бозе – Меснера из (коммутативного) схема ассоциации.^[1]
• Когерентная алгебра образует кольцо главных идеалов под продуктом Schur; более того, коммутативная когерентная алгебра образует кольцо главных идеалов и при обычном матричном умножении.

Смотрите также

• Схема ассоциации
• Алгебра Бозе – Меснера

Рекомендации

1. Годсил, Крис (2010). «Схемы ассоциации» (PDF).
2. Годсил, Крис (26 января 2011). «Периодические графики». Электронный журнал комбинаторики. 18 (1): P23. ISSN  1077-8926.