Когерентная топология - Coherent topology

В топология, а когерентная топология это топология однозначно определяется семейством подпространства. Грубо говоря, топологическое пространство когерентно с семейством подпространств, если оно топологический союз этих подпространств. Его также иногда называют слабая топология порожденная семейством подпространств, понятие, которое сильно отличается от понятия слабой топологии, порожденной набором отображений.^[1]

Определение

Позволять Икс быть топологическое пространство и разреши C = {C_α : α ∈ А} быть семья подмножеств Икс с топологией подпространства. (обычно C будет крышка из Икс). потом Икс как говорят согласованный с C (или же определяется по C)^[2] если топология Икс восстанавливается как исходящий из окончательная топология вызванный карты включения

{displaystyle i_ {alpha}: C_ {alpha} o Xqquad alpha в A.}

По определению это лучшая топология на (базовый набор) Икс для которых карты включения непрерывный.Если C это прикрытие Икс, тогда Икс согласуется с C если выполняется одно из следующих двух эквивалентных условий:

Подмножество U является открыто в Икс если и только если U ∩ C_α открыт в C_α для каждого α ∈ А.
Подмножество U является закрыто в Икс если и только если U ∩ C_α закрыт в C_α для каждого α ∈ А.

Сказанное выше неверно, если C не покрывает Икс

Учитывая топологическое пространство Икс и любое семейство подпространств C существует уникальная топология на (базовом наборе) Икс что согласуется с C. Эта топология, как правило, будет тоньше чем данная топология на Икс.

Примеры

Топологическое пространство Икс согласуется с каждым открытая крышка из Икс.
Топологическое пространство Икс согласуется с каждым локально конечный закрытая крышка Икс.
А дискретное пространство согласован с каждым семейством подпространств (включая пустая семья ).
Топологическое пространство Икс согласуется с раздел из Икс если и только Икс является гомеоморфный к несвязный союз элементов перегородки.
Конечно порожденные пространства определяются семьей всех конечные подпространства.
Компактно порожденные пространства определяются семьей всех компактные подпространства.
А CW комплекс Икс согласуется со своей семьей п-скелеты Икс_п.

Топологический союз

Позволять ${displaystyle {X_ {alpha}, альфа в A}}$ быть семьей (не обязательно непересекающийся ) топологические пространства такие, что индуцированные топологии согласен по каждому пересечение Икс_α ∩ Икс_β. Предположим далее, что Икс_α ∩ Икс_β закрыт в Икс_α для каждого α, β. Тогда топологический союзИкс это теоретико-множественное объединение

{displaystyle X ^ {set} = igcup _ {альфа в A} X_ {альфа}}

наделенный финальной топологией, порожденной отображениями включения ${displaystyle i_ {alpha}: X_ {alpha} o X ^ {set}}$ . Тогда карты включения будут топологические вложения и Икс будет когерентным с подпространствами {Икс_α}.

Наоборот, если Икс когерентно с семейством подпространств {C_α} эта обложка Икс, тогда Икс является гомеоморфный к топологическому объединению семейства {C_α}.

Можно сформировать топологическое объединение произвольного семейства топологических пространств, как указано выше, но если топологии не согласуются на пересечениях, то включения не обязательно будут вложениями.

Можно также описать топологическое объединение с помощью несвязный союз. В частности, если Икс является топологическим объединением семейства {Икс_α}, тогда Икс гомеоморфен частное несвязного союза семьи {Икс_α} посредством отношение эквивалентности

{displaystyle (x, alpha) sim (y, eta) Leftrightarrow x = y}

для всех α, β в А. То есть,

{displaystyle Xcong coprod _ {alpha in A} X_ {alpha} / sim.}

Если пробелы {Икс_α} все не пересекаются, то топологическое объединение - это просто несвязное объединение.

Предположим теперь, что множество A направленный, совместимым с включением способом: ${displaystyle alpha leq eta}$ в любое время ${displaystyle X_ {alpha} subset X_ {eta}}$ . Тогда есть уникальная карта из ${displaystyle varinjlim X_ {alpha}}$ к Икс, что на самом деле является гомеоморфизмом. Здесь ${displaystyle varinjlim X_ {alpha}}$ это прямой (индуктивный) предел (копредел ) из {Икс_α} в категории Вершина.

Характеристики

Позволять Икс быть когерентным с семейством подпространств {C_α}. Карта ж : Икс → Y является непрерывный тогда и только тогда, когда ограничения

{displaystyle f | _ {C_ {alpha}}: C_ {alpha} o Y,}

непрерывны для каждого α ∈ А. Этот универсальная собственность характеризует когерентные топологии в том смысле, что пространство Икс согласуется с C тогда и только тогда, когда это свойство выполняется для всех пространств Y и все функции ж : Икс → Y.

Позволять Икс определяться крышка C = {C_α}. потом

Если C это уточнение обложки D, тогда Икс определяется D.
Если D это уточнение C и каждый C_α определяется семьей всех D_β содержалась в C_α тогда Икс определяется D.

Позволять Икс определяться {C_α} и разреши Y быть открытым или закрытым подпространство из Икс. потом Y определяется {Y ∩ C_α}.

Позволять Икс определяться {C_α} и разреши ж : Икс → Y быть факторная карта. потом Y определяется как {f (C_α)}.

Позволять ж : Икс → Y быть сюръективная карта и предположим Y определяется {D_α : α ∈ А}. Для каждого α ∈ А позволять

{displaystyle f_ {alpha}: f ^ {- 1} (D_ {alpha}) o D_ {alpha},}

быть ограничением ж к ж⁻¹(D_α). потом

Если ж непрерывно и каждый ж_α факторное отображение, то ж - факторное отображение.
ж это закрытая карта (соотв. открытая карта ) тогда и только тогда, когда каждый ж_α закрыто (соответственно открыто).

Примечания

^ Уиллард, стр. 69
^ Икс также говорят, что слабая топология создано C. Это имя может сбивать с толку, поскольку прилагательные слабый и сильный используются разными авторами в противоположных смыслах. В современном использовании термин слабая топология является синонимом начальная топология и сильная топология является синонимом окончательная топология. Здесь обсуждается окончательная топология.