Когомологии с компактным носителем - Cohomology with compact support

В математике когомологии с компактным носителем относится к определенным теориям когомологий, обычно с некоторым условием, требующим, чтобы коциклы имели компактный носитель.

Особые когомологии с компактным носителем

Позволять ${\displaystyle X}$ быть топологическим пространством. потом

${\displaystyle \displaystyle H_{c}^{\ast }(X;R):=\varinjlim _{K\subseteq X\,{\text{compact}}}H^{n}(X,X\setminus K;R)}$

Это также естественно изоморфно когомологиям подпрограммы.цепной комплекс ${\displaystyle C_{c}^{\ast }(X;R)}$ состоящий из всех единственных коцепи ${\displaystyle \phi :C_{i}(X;R)\to R}$ которые имеют компактный носитель в том смысле, что существует некоторая компактная ${\displaystyle K\subseteq X}$ такой, что ${\displaystyle \phi }$ исчезает на всех цепях в ${\displaystyle X\setminus K}$.

Функториальное определение

Позволять ${\displaystyle X}$ быть топологическим пространством и ${\displaystyle p:X\to \star }$ карту в точку. С использованием прямое изображение и прямое изображение с компактной опорой функторы ${\displaystyle p_{*},p_{!}:{\text{Sh}}(X)\to {\text{Sh}}(\star )={\text{Ab}}}$, можно определить когомологии и когомологии с компактным носителем пучка абелевых групп ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на ${\displaystyle X}$ в качестве

${\displaystyle \displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\ =\ R^{i}p_{*}{\mathcal {F}},}$

${\displaystyle \displaystyle H_{c}^{i}(X,{\mathcal {F}})\ =\ R^{i}p_{!}{\mathcal {F}}.}$

Принимая за ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ постоянный пучок с коэффициентами в кольце ${\displaystyle R}$ восстанавливает предыдущее определение.

когомологии де Рама с компактным носителем для гладких многообразий

Учитывая многообразие Икс, позволять ${\displaystyle \Omega _{\mathrm {c} }^{k}(X)}$ быть реальное векторное пространство из k-форма на Икс с компактной опорой и d быть стандартом внешняя производная. Тогда группы когомологий де Рама с компактным носителем ${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$ являются гомология из цепной комплекс ${\displaystyle (\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X),d)}$:

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathrm {c} }^{0}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{1}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{2}(X)\to \cdots }$

т.е., ${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$ векторное пространство закрыто q-формы по модулю что точного q-форм.

Несмотря на свое определение как гомологии восходящего комплекса, группы де Рама с компактным носителем демонстрируют ковариантный поведение; например, учитывая отображение включения j для открытого набора U из Икс, расширение форм на U к Икс (определяя их равными 0 на Икс–U) - это карта ${\displaystyle j_{*}:\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(U)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X)}$ создание карты

${\displaystyle j_{*}:H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$.

Они также демонстрируют контравариантное поведение по отношению к правильные карты - то есть такие карты, что прообраз каждого компакта компактен. Позволять ж: Y → Икс будь такой картой; затем откат

${\displaystyle f^{*}:\Omega _{\mathrm {c} }^{q}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{q}(Y)\sum _{I}g_{I}\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{q}}\mapsto \sum _{I}(g_{I}\circ f)\,d(x_{i_{1}}\circ f)\wedge \ldots \wedge d(x_{i_{q}}\circ f)}$

индуцирует карту

${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(Y)}$.

Если Z является подмногообразием Икс и U = Икс–Z - дополнительное открытое множество, существует длинная точная последовательность

${\displaystyle \cdots \to H_{\mathrm {c} }^{q}(U){\overset {j_{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {i^{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(Z){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U)\to \cdots }$

называется длинной точной последовательностью когомологий с компактным носителем. Он имеет множество приложений, таких как Теорема Жордана, которое получается при Икс = р² и Z простая замкнутая кривая в Икс.

Когомологии Де Рама с компактным носителем удовлетворяют ковариантной Последовательность Майера – Виеториса: если U и V открытые наборы, покрывающие Икс, тогда

${\displaystyle \cdots \to H_{\mathrm {c} }^{q}(U\cap V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\oplus H_{\mathrm {c} }^{q}(V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U\cap V)\to \cdots }$

где все отображения индуцированы продолжением нулем, также является точным.

Смотрите также

• Гомологии Бореля – Мура
• Двойственность Пуанкаре
• Конструируемая связка
• Производная категория

Рекомендации

• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-16389-3, МИСТЕР  0842190
• Рауль Ботт и Лоринг В. Ту (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии, Тексты для выпускников по математике, Springer-Verlag
• «Когомологии с опорой и двойственность Пуанкаре». Обмен стеком.