Комплексная группа Ли - Complex Lie group

В геометрия, а комплексная группа Ли это Группа Ли над комплексными числами; т.е. это комплексно-аналитическое многообразие это тоже группа в таком случае ${\displaystyle G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy^{-1}}$ является голоморфный. Основные примеры: ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$, то общие линейные группы над сложные числа. Связная компактная комплексная группа Ли - это в точности комплексный тор (не путать с комплексной группой Ли ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$). Любой конечной группе можно дать структуру комплексной группы Ли. Комплекс полупростая группа Ли это линейная алгебраическая группа.

Алгебра Ли комплексной группы Ли - это комплексная алгебра Ли.

Примеры

Смотрите также: Таблица групп Ли

• Конечномерное векторное пространство над комплексными числами (в частности, комплексная алгебра Ли) очевидным образом является комплексной группой Ли.
• Связная компактная комплексная группа Ли А измерения грамм имеет форму ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$ куда L дискретная подгруппа. В самом деле, ее алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ можно показать как абелев и тогда ${\displaystyle \operatorname {exp} :{\mathfrak {a}}\to A}$ это сюръективный морфизм комплексных групп Ли, показывающих А имеет описанную форму.
• ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{*},z\mapsto e^{z}}$ является примером морфизма комплексных групп Ли, который не происходит из морфизма алгебраических групп. С ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\operatorname {GL} _{1}(\mathbb {C} )}$, это также пример представления комплексной группы Ли, не являющейся алгебраической.
• Позволять Икс - компактное комплексное многообразие. Тогда, как и в реальном случае, ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ комплексная группа Ли, алгебра Ли которой ${\displaystyle \Gamma (X,TX)}$.
• Позволять K быть связанным компактная группа Ли. Тогда существует единственная связная комплексная группа Ли грамм такой, что (я) ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\operatorname {Lie} (K)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$, и (ii) K - максимальная компактная подгруппа в грамм. Это называется комплексирование из K. Например, ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ усложнение унитарная группа. Если K действует на компактном Кэлерово многообразие Икс, то действие K распространяется на грамм.^[1]

Линейная алгебраическая группа, ассоциированная с комплексной полупростой группой Ли

Позволять грамм - комплексная полупростая группа Ли. потом грамм допускает естественную структуру линейной алгебраической группы следующим образом:^[2] позволять ${\displaystyle A}$ кольцо голоморфных функций ж на грамм такой, что ${\displaystyle G\cdot f}$ охватывает конечномерное векторное пространство внутри кольца голоморфных функций на грамм (здесь грамм действует левым переводом: ${\displaystyle g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)}$). потом ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$ является линейной алгебраической группой, которая, если рассматривать ее как комплексное многообразие, является исходной грамм. Более конкретно, выберите верное представление ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ из грамм. потом ${\displaystyle \rho (G)}$ закрыто по Зарискому в ${\displaystyle GL(V)}$.^{[требуется разъяснение ]}

Рекомендации

1. Гийемен, Виктор; Штернберг, Шломо (1982). «Геометрическое квантование и кратности представлений групп». Inventiones Mathematicae. 67 (3): 515–538. Дои:10.1007 / bf01398934.
2. Серр и Ч. VIII. Теорема 10. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFSerreCh._VIII._Theorem_10. (помощь)

• Ли, Дон Хун (2002), Строение комплексных групп Ли (PDF), Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC, ISBN  1-58488-261-1, МИСТЕР  1887930^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Серр, Жан-Пьер (1993), Gèbres^{[постоянная мертвая ссылка ]}