Консани – Шолтен квинтик - Consani–Scholten quintic

Кусочек квинтики Консани – Шолтена

В математических областях алгебраическая геометрия и арифметическая геометрия, то Консани – Шолтен квинтик является алгебраический гиперповерхность (набор решений единого полиномиальное уравнение во многих переменных), изученный в 2001 г. Катерина Консани и Джаспер Шолтен. Он использовался в качестве тестового примера для Программа Langlands.^[1][2][3]

Определение

Консани и Шолтен определяют свою гиперповерхность из (проецируемый ) множество решений уравнения

${\displaystyle P(x,y)=P(z,w)}$

в четырех комплексных переменных, где

${\displaystyle P(x,y)=x^{5}+y^{5}-(5xy-5)(x^{2}+y^{2}-x-y).}$

В таком виде полученная гиперповерхность имеет вид единственное число: имеет 120 двойные очки. Его Ходжа алмаз является^[1][2][3]

			1
		0		0
	0		141		0
1		1		1		1
	0		141		0
		0		0
			1

Квинтика Консани – Шолтона представляет собой неособую гиперповерхность, полученную методом взрыв эти особенности. Как неособое квинтик тройной, это Многообразие Калаби – Яу.^[1][2][3]

Модульность

Согласно программе Ленглендса, для любого тройного числа Калаби – Яу ${\displaystyle X}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, то Представления Галуа давая действие абсолютная группа Галуа на ${\displaystyle \ell }$-адический этальные когомологии ${\displaystyle H^{3}(X_{\bar {\mathbb {Q} }},\mathbb {Q} _{\ell })}$ (за простые числа ${\displaystyle \ell }$ из хорошее сокращение, что для этой кривой означает, что любое простое число, кроме 2, 3 или 5) должно иметь одинаковый L-серия как автоморфная форма. Это было известно для "жестких" трехмерных многообразий Калаби – Яу, для которых семейство представлений Галуа имеет размерность два, доказательством Гипотеза Серра о модульности. Квинтика Консани – Шолтона представляет собой нежесткий пример, где размерность равна четырем. Консани и Шолтен построили Модульная форма Гильберта и предположил, что его L-серия согласуется с представлениями Галуа для их кривой; это было доказано Dieulefait, Pacetti & Schütt (2012).^[2][3]

Рекомендации

1. Консани, Катерина; Схолтен, Джаспер (2001), "Арифметика на пятой тройке", Международный журнал математики, 12 (8): 943–972, Дои:10.1142 / S0129167X01001118, МИСТЕР  1863287
2. Dieulefait, Луис; Пачетти, Ариэль; Шютт, Маттиас (2012), "Модульность квинтики Консани – Шолтена" (PDF), Documenta Mathematica, 17: 953–987, МИСТЕР  3007681^{[постоянная мертвая ссылка ]}
3. Юи, Норико (2013), «Модульность многообразий Калаби – Яу: 2011 г. и позже», в Раду Лаза, Маттиас Шютт; Юи, Норико (ред.), Арифметика и геометрия поверхностей K3 и трехмерных многообразий Калаби – Яу: Материалы семинара, проведенного в Институте Филдса и Университете Торонто, Торонто, Онтарио, 16–25 августа 2011 г., Коммуникации Института Филдса, 67, Нью-Йорк: Springer, стр. 101–139, arXiv:1212.4308, Дои:10.1007/978-1-4614-6403-7_4, МИСТЕР  3156414 См. В частности п. 121.