Копланарность - Coplanarity

В геометрия, множество точек в пространстве копланарный если существует геометрический самолет который содержит их все. Например, три точки всегда копланарны, и если точки различны и неколлинеарный, самолет, который они определяют, уникален. Однако набор из четырех или более различных точек, как правило, не будет лежать в одной плоскости.

Два линии в трехмерном пространстве копланарны, если есть плоскость, которая включает их обоих. Это происходит, если строки параллельно, или если они пересекаться друг друга. Две линии, не лежащие в одной плоскости, называются косые линии.

Геометрия расстояния предоставляет метод решения проблемы определения того, является ли набор точек компланарным, зная только расстояния между ними.

Недвижимость в трех измерениях

В трехмерном пространстве два линейно независимый векторы с той же начальной точкой определяют плоскость, проходящую через эту точку. Их перекрестное произведение это нормальный вектор к этой плоскости, и любой вектор ортогональный к этому поперечному произведению через начальную точку будет лежать в плоскости.^[1] Это приводит к следующему тесту компланарности с использованием скалярное тройное произведение:

Четыре различных точки, $Икс 1, Икс 2, Икс 3$ и $Икс 4$ компланарны тогда и только тогда, когда,

{ displaystyle [(x_ {2} -x_ {1}) times (x_ {4} -x_ {1})] cdot (x_ {3} -x_ {1}) = 0.}

что также эквивалентно

{ displaystyle (x_ {2} -x_ {1}) cdot [(x_ {4} -x_ {1}) times (x_ {3} -x_ {1})] = 0.}

Если три вектора $а, б$ и $c$ компланарны, то если $а \cdot б = 0$ (т.е. $а$ и $б$ ортогональны), то

{ displaystyle ( mathbf {c} cdot mathbf { hat {a}}) mathbf { hat {a}} + ( mathbf {c} cdot mathbf { hat {b}}) mathbf { hat {b}} = mathbf {c},}

куда ${ displaystyle mathbf { hat {a}}}$ обозначает единичный вектор в направлении $а$ . Это векторные проекции из $c$ на $а$ и $c$ на $б$ добавить, чтобы получить оригинал $c$ .

Копланарность точек в п размеры, координаты которых даны

Поскольку три или меньше точек всегда компланарны, проблема определения того, когда набор точек компланарен, обычно представляет интерес только тогда, когда задействовано по крайней мере четыре точки. В случае, если имеется ровно четыре точки, можно использовать несколько специальных методов, но общий метод, который работает для любого количества точек, использует векторные методы и свойство, что плоскость определяется двумя линейно независимые векторы.

В $п$ -мерное пространство ( $п \geq 3$ ), набор $k$ точки, ${п 0, п 1, ..., п k - 1}$ компланарны тогда и только тогда, когда матрица их относительных разностей, то есть матрица, столбцы (или строки) которой являются векторами ${ displaystyle { overrightarrow {p_ {0} p_ {1}}}, { overrightarrow {p_ {0} p_ {2}}}, ldots, { overrightarrow {p_ {0} p_ {k-1}) }}}$ имеет классифицировать 2 или меньше.

Например, учитывая четыре балла, $Икс = (Икс 1, Икс 2, ... , Икс п), Y = (у 1, у 2, ... , у п), Z = (z 1, z 2, ... , z п)$ , и $W = (ш 1, ш 2, ... , ш п)$ , если матрица

{ displaystyle { begin {bmatrix} x_ {1} -w_ {1} & x_ {2} -w_ {2} & dots & x_ {n} -w_ {n} y_ {1} -w_ {1} & y_ {2} -w_ {2} & dots & y_ {n} -w_ {n} z_ {1} -w_ {1} & z_ {2} -w_ {2} & dots & z_ {n} -w_ {п} конец {bmatrix}}}

имеет ранг 2 или меньше, четыре точки копланарны.

В частном случае плоскости, которая содержит начало координат, свойство можно упростить следующим образом: Набор $k$ точки и начало координат копланарны тогда и только тогда, когда матрица координат $k$ очков имеет ранг 2 или меньше.

Геометрические фигуры

А наклонный многоугольник это многоугольник чей вершины не компланарны. Такой многоугольник должен иметь не менее четырех вершин; косых треугольников нет.

А многогранник это положительный объем не все вершины компланарны.

Смотрите также

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. "Копланарный". MathWorld.

[1] Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (Альтернативное издание), Prindle, Weber & Schmidt, p.647, ISBN 0-87150-341-7

[1]