Подгонка кривой - Curve fitting

Аппроксимация зашумленной кривой моделью асимметричного пика с итерационным процессом (Алгоритм Гаусса – Ньютона с переменным коэффициентом демпфирования α).
Вверху: исходные данные и модель.
Внизу: эволюция нормированной суммы квадратов ошибок.

Подгонка кривой^[1]^[2] это процесс построения изгиб, или же математическая функция, который лучше всего подходит для серии точки данных,^[3] возможно при наличии ограничений.^[4]^[5] Подгонка кривой может включать либо интерполяция,^[6]^[7] где требуется точное соответствие данным, или сглаживание,^[8]^[9] в котором построена "гладкая" функция, которая приблизительно соответствует данным. Связанная тема регрессивный анализ,^[10]^[11] который больше фокусируется на вопросах статистические выводы например, сколько неопределенности присутствует в кривой, которая соответствует данным, наблюдаемым со случайными ошибками. Подгонянные кривые можно использовать как вспомогательные средства для визуализации данных,^[12]^[13] чтобы вывести значения функции при отсутствии данных,^[14] и суммировать взаимосвязи между двумя или более переменными.^[15] Экстраполяция относится к использованию подобранной кривой за пределами классифицировать наблюдаемых данных,^[16] и подлежит степень неопределенности^[17] поскольку он может отражать метод, использованный для построения кривой, в той же степени, в какой он отражает наблюдаемые данные.

Типы

Подгонка функций к точкам данных

Чаще всего подходит функция вида $у = ж (Икс)$ .

Подгонка линий и полиномиальных функций к точкам данных

Точки аппроксимации полиномиальных кривых, созданные с помощью синусоидальной функции. Черная пунктирная линия - "истинные" данные, красная линия - многочлен первой степени, зеленая линия вторая степень, оранжевая линия третья степень а синяя линия четвертая степень.

Первая степень многочлен уравнение

{ Displaystyle у = топор + Ь ;}

это линия с склон а. Линия соединит любые две точки, поэтому полиномиальное уравнение первой степени точно соответствует любым двум точкам с различными координатами x.

Если порядок уравнения увеличить до полинома второй степени, получатся следующие результаты:

{ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c ;.}

Это точно соответствует простой кривой по трем точкам.

Если порядок уравнения увеличить до полинома третьей степени, получится следующее:

{ displaystyle y = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d ;.}

Этого точно хватит на четыре точки.

Более общее утверждение было бы сказать, что он подойдет точно для четырех ограничения. Каждое ограничение может быть точкой, угол, или же кривизна (который является обратным радиусу соприкасающийся круг ). Ограничения по углу и кривизне чаще всего добавляются к концам кривой и в таких случаях называются конечные условия. Идентичные конечные условия часто используются для обеспечения плавного перехода между полиномиальными кривыми, содержащимися в одном сплайн. Также могут быть добавлены ограничения более высокого порядка, такие как «изменение скорости кривизны». Это, например, будет полезно на шоссе клевер дизайн, чтобы понять скорость изменения сил, приложенных к автомобилю (см. придурок ), следуя за клеверным листом, и соответственно установить разумные ограничения скорости.

Полиномиальное уравнение первой степени также может точно соответствовать одной точке и углу, в то время как полиномиальное уравнение третьей степени также может точно соответствовать двум точкам, угловому ограничению и ограничению кривизны. Для них и для полиномиальных уравнений более высокого порядка возможны многие другие комбинации ограничений.

Если их больше, чем п + 1 ограничение (п степень полинома), кривая полинома все еще может проходить через эти ограничения. Точное соответствие всем ограничениям неизвестно (но может произойти, например, в случае полинома первой степени, точно подходящего трем коллинеарные точки ). В общем, однако, для оценки каждого приближения необходим некоторый метод. В наименьших квадратов метод является одним из способов сравнения отклонений.

Есть несколько причин получить приблизительное соответствие, когда можно просто увеличить степень полиномиального уравнения и получить точное соответствие:

Даже если существует точное совпадение, это не обязательно означает, что его можно легко обнаружить. В зависимости от используемого алгоритма могут быть разные случаи, когда невозможно вычислить точное соответствие, или для поиска решения может потребоваться слишком много компьютерного времени. Эта ситуация может потребовать приблизительного решения.
Может быть желательным эффект усреднения сомнительных точек данных в выборке, а не искажения кривой, чтобы она точно соответствовала им.
Феномен Рунге: полиномы высокого порядка могут быть очень колебательными. Если кривая проходит через две точки А и B, можно было бы ожидать, что кривая будет проходить несколько ближе к середине А и B, также. Этого может не случиться с полиномиальными кривыми высокого порядка; они могут даже иметь очень большие положительные или отрицательные значения величина. С полиномами низкого порядка кривая с большей вероятностью упадет около средней точки (она даже гарантированно точно пройдет через среднюю точку на полиноме первой степени).
Полиномы низкого порядка имеют тенденцию быть гладкими, а полиномиальные кривые высокого порядка имеют тенденцию быть "неровными". Чтобы определить это более точно, максимальное количество точки перегиба возможно в полиномиальной кривой п-2, куда п - порядок полиномиального уравнения. Точка перегиба - это место на кривой, где он переключается с положительного радиуса на отрицательный. Мы также можем сказать, что здесь он переходит от «удерживания воды» к «проливанию воды». Обратите внимание, что полиномы высокого порядка могут быть неуклюжими только «возможно»; они также могут быть гладкими, но это не гарантирует этого, в отличие от полиномиальных кривых низкого порядка. Многочлен пятнадцатой степени может иметь не более тринадцати точек перегиба, но также может иметь двенадцать, одиннадцать или любое число вплоть до нуля.

Степень полиномиальной кривой выше, чем требуется для точной подгонки, нежелательна по всем причинам, перечисленным ранее для полиномов высокого порядка, но также приводит к случаю, когда существует бесконечное количество решений. Например, многочлен первой степени (линия), ограниченный только одной точкой вместо обычных двух, даст бесконечное количество решений. Это поднимает проблему, как сравнить и выбрать только одно решение, что может быть проблемой как для программного обеспечения, так и для людей. По этой причине обычно лучше выбирать как можно более низкую степень для точного соответствия по всем ограничениям и, возможно, даже более низкую степень, если приблизительное соответствие приемлемо.

Связь между урожаем пшеницы и засолением почвы^[18]

Подгонка других функций к точкам данных

Другие типы кривых, например тригонометрические функции (например, синус и косинус), также могут использоваться в некоторых случаях.

В спектроскопии данные могут быть дополнены Гауссовский, Лоренциан, Voigt и связанные функции.

В сельское хозяйство перевернутая логистика сигмовидная функция (S-кривая) используется для описания связи между урожайностью сельскохозяйственных культур и факторами роста. Синяя фигура получена путем сигмовидной регрессии данных, измеренных на сельскохозяйственных угодьях. Видно, что вначале, то есть при низкой засоленности почвы, урожайность сельскохозяйственных культур медленно снижается при увеличении засоления почвы, а после этого уменьшение прогрессирует быстрее.

Алгебраическая подгонка против геометрической подгонки для кривых

Для алгебраического анализа данных «подгонка» обычно означает попытку найти кривую, которая минимизирует вертикальную (у-ось) смещение точки от кривой (например, обыкновенный метод наименьших квадратов ). Однако для графических приложений и приложений с изображениями геометрическая аппроксимация стремится обеспечить наилучшее визуальное соответствие; что обычно означает попытку минимизировать ортогональное расстояние до кривой (например, Всего наименьших квадратов ) или иным образом включить обе оси смещения точки от кривой. Геометрические посадки не популярны, потому что они обычно требуют нелинейных и / или итерационных вычислений, хотя они имеют преимущество в виде более эстетичного и геометрически точного результата.^[19]^[20]^[21]

Подгонка плоских кривых к точкам данных

Если функция вида ${ Displaystyle у = е (х)}$ невозможно постулировать, можно попытаться подогнать плоская кривая.

Другие типы кривых, например конические секции (круговые, эллиптические, параболические и гиперболические дуги) или тригонометрические функции (например, синус и косинус), также могут использоваться в некоторых случаях. Например, траектории объектов под действием силы тяжести следуют параболическому пути, когда сопротивление воздуха не учитывается. Следовательно, сопоставление точек данных траектории с параболической кривой имело бы смысл. Приливы следуют синусоидальным моделям, поэтому точки данных приливов должны быть сопоставлены с синусоидальной волной или суммой двух синусоидальных волн разных периодов, если учитываются эффекты Луны и Солнца.

Для параметрическая кривая, эффективно подгонять каждую из его координат как отдельную функцию от длина дуги; предполагая, что точки данных можно упорядочить, хордовое расстояние может быть использовано.^[22]

Подгонка круга геометрической подгонкой

Подгонка окружности по методу Купа, точки, описывающие дугу окружности, центр (1; 1), радиус 4.

различные модели эллиптических фитингов

Подгонка эллипса к минимуму алгебраического расстояния (метод Фитцгиббона).

Купе^[23] подходит к проблеме поиска наилучшего визуального соответствия круга набору 2D точек данных. Этот метод элегантно преобразует обычно нелинейную задачу в линейную задачу, которую можно решить без использования итерационных численных методов, и, следовательно, он намного быстрее, чем предыдущие методы.

Подгонка эллипса геометрической подгонкой

Вышеупомянутый метод распространяется на общие эллипсы.^[24] путем добавления нелинейного шага, что приводит к быстрому методу, который позволяет находить визуально приятные эллипсы произвольной ориентации и смещения.

Нанесение на поверхности

Обратите внимание, что хотя это обсуждение касалось 2D-кривых, большая часть этой логики также распространяется на 3D-поверхности, каждый участок которых определяется сеткой кривых в двух параметрических направлениях, обычно называемых ты и v. Поверхность может состоять из одного или нескольких участков поверхности в каждом направлении.

Программного обеспечения

Много статистические пакеты Такие как р и числовое программное обеспечение такой как гнуплот, Научная библиотека GNU, MLAB, Клен, MATLAB, Mathematica, GNU Octave, и SciPy включить команды для подбора кривой в различных сценариях. Также существуют программы, специально написанные для подбора кривой; их можно найти в списки статистических и программы численного анализа а также в Категория: ПО для регрессии и построения кривых.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Н. Чернов (2010), Круговая и линейная регрессия: аппроксимация окружностей и линий методом наименьших квадратов, Chapman & Hall / CRC, Монографии по статистике и прикладной теории вероятностей, том 117 (256 стр.). [2]

[1] Сандра Лах Арлингхаус, PHB Практическое руководство по аппроксимации кривой. CRC Press, 1994.

[2] Уильям М. Колб. Подгонка кривой для программируемых калькуляторов. Syntec, Incorporated, 1984 г.

[3] С.С. Халли, К.В. Рао. 1992. Передовые методы анализа населения. ISBN 0306439972 Стр.165 (ср. ... функции выполняются, если у нас есть хорошее или умеренное соответствие наблюдаемым данным.)

[4] Сигнал и шум: Почему так много прогнозов не оправдываются, а некоторые - нет. Автор Нейт Сильвер

[5] Подготовка данных для интеллектуального анализа данных: Текст. Автор Дориан Пайл.

[6] Численные методы в инженерии с MATLAB®. К Яан Киусалаас. Стр.24.

[7] Численные методы в разработке с Python 3. Автор Яан Киусалаас. Стр.21.

[8] Численные методы аппроксимации кривой. Авторы: П. Г. Гест, Филипп Джордж Гест. Стр. 349.

[9] Смотрите также: Успокаивающий

[10] Подбор моделей к биологическим данным с помощью линейной и нелинейной регрессии. Харви Мотульски, Артур Христопулос.

[11] Регрессивный анализ Авторы: Рудольф Дж. Фройнд, Уильям Дж. Уилсон, Ping Sa. Стр. 269.

[12] Визуальная информатика. Под редакцией Халимы Бадиоз Заман, Питера Робинсона, Марии Петру, Патрика Оливье, Хайко Шредера. Стр.689.

[13] Численные методы для нелинейных инженерных моделей. Джон Р. Хаузер. Стр. 227.

[14] Методы экспериментальной физики: спектроскопия, том 13, часть 1. Клэр Мартон. Стр.150.

[15] Энциклопедия дизайна исследования, том 1. Под редакцией Нила Дж. Салкинда. Стр. 266.

[16] Методы анализа и планирования сообщества. Ричард Э. Клостерман. Страница 1.

[17] Введение в риск и неопределенность в оценке экологических инвестиций. Издательство ДИАНА. Стр. 69

[18] Калькулятор сигмовидной регрессии

[19] Ан, Сон Джун (декабрь 2008 г.), «Геометрическая аппроксимация параметрических кривых и поверхностей» (PDF), Журнал систем обработки информации, 4 (4): 153–158, Дои:10.3745 / JIPS.2008.4.4.153, заархивировано из оригинал (PDF) на 2014-03-13

[20] Чернов, Н .; Ма, Х. (2011), "Аппроксимация квадратичных кривых и поверхностей методом наименьших квадратов", в Yoshida, Sota R. (ed.), Компьютерное зрение, Nova Science Publishers, стр. 285–302, ISBN 9781612093994

[21] Лю, Ян; Ван, Вэньпин (2008), «Повторное рассмотрение ортогональной аппроксимации методом наименьших квадратов параметрических кривых и поверхностей», в Chen, F .; Juttler, B. (ред.), Достижения в области геометрического моделирования и обработки, Конспект лекций по информатике, 4975, стр. 384–397, CiteSeerX 10.1.1.306.6085, Дои:10.1007/978-3-540-79246-8_29, ISBN 978-3-540-79245-1

[22] стр.51 в Ahlberg & Nilson (1967) Теория сплайнов и их приложения, Academic Press, 1967. [1]

[23] Купе, И. (1993). «Аппроксимация окружности методом линейных и нелинейных наименьших квадратов». Журнал теории оптимизации и приложений. 76 (2): 381–388. Дои:10.1007 / BF00939613. HDL:10092/11104.

[24] Пол Шир, Программный помощник для ручной стереофотометрологии, M.Sc. дипломная работа, 1997 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]