Порядок приближения - Order of approximation - Wikipedia

В наука, инженерное дело, и другие количественные дисциплины, порядок приближения относится к формальным или неформальным выражениям того, насколько точно приближение является.

Использование в науке и технике

В формальных выражениях порядковый номер используется перед словом порядок относится к производная высшего порядка в расширение серии используется в приближение. Выражения: a нулевой порядок приближение, а первый заказ приближение, а второго порядка приближение, и т. д. используются как фиксированные фразы. Выражение a приближение нулевого порядка также обычное дело. Кардинальные числа иногда используются в таких выражениях, как нулевой порядок приближения, заказать одно приближение, так далее.

Пропуск слова порядок приводит к фразы которые имеют менее формальное значение. Фразы вроде первое приближение или же в первом приближении может относиться к примерно приблизительное значение количества.^[1]^[2] Фраза в нулевом приближении указывает дикая догадка.^[3] Выражение порядок приближения иногда неофициально используется для обозначения количества значимые фигуры, в порядке возрастания точности, или до порядок величины. Однако это может сбивать с толку, поскольку эти формальные выражения не относятся напрямую к порядку производных.

Выбор расширения серии зависит от научный метод используется для расследования явление. Выражение порядок приближения как ожидается, укажет на все более точные приближения функция в указанном интервал. Выбор порядка аппроксимации зависит от цель исследования. При желании можно упростить известное аналитическое выражение разработать новое приложение или, наоборот, попытаться подгонять кривую к точкам данных. Более высокий порядок приближения не всегда более полезен, чем более низкий. Например, если величина постоянна во всем интервале, аппроксимируя ее величиной второго порядка Серия Тейлор не повысит точность.

В случае гладкая функция, то пприближение-го порядка - это многочлен из степень п, которая получается усечением ряда Тейлора до этой степени. Формальное использование порядок приближения соответствует пропуску некоторых терминов серии используется в расширение (обычно более высокие сроки). Это влияет точность. Ошибка обычно колеблется в пределах интервала. Таким образом, числа нулевой, первый, второй и т. д., формально используемые в вышеуказанном значении, не дают напрямую информации процентная ошибка или же значимые фигуры.

Нулевой порядок

Приближение нулевого порядка это термин ученые используйте для первого грубого ответа. Много упрощающие предположения сделаны, а когда необходимо число, ответ по порядку величины (или ноль значимые фигуры ) часто дается. Например, вы можете сказать "в городе есть несколько тысяч жителей ", когда в действительности в нем проживает 3914 человек. Это также иногда называют порядок величины приближение. Ноль «нулевого порядка» представляет собой тот факт, что даже единственное заданное число, «несколько», само по себе определяется слабо.

Аппроксимация нулевого порядка функция (то есть, математически определение формула вместить несколько точки данных ) будет постоянный, или квартира линия без склон: многочлен степени 0. Например,

{ Displaystyle х = [0,1,2] ,}

{ Displaystyle у = [3,3,5] ,}

{ Displaystyle у сим е (х) = 3,67 ,}

может быть - если была указана точность точек данных - приблизительным соответствием данным, полученным путем простого усреднения значений x и значений y. Однако точки данных представляют результаты измерений и они отличаются от точки в евклидовой геометрии. Таким образом, цитирование среднего значения, содержащего три значащих цифры на выходе, с одной значащей цифрой во входных данных, может быть распознано как пример ложная точность. При предполагаемой точности точек данных ± 0,5 приближение нулевого порядка могло бы в лучшем случае дать результат для y, равный ~ 3,7 ± 2,0 в интервале x от -0,5 до 2,5, с учетом стандартное отклонение.

Если точки данных представлены как

{ Displaystyle х = [0,00,1,00,2,00] ,}

{ displaystyle y = [3.00,3.00,5.00] ,}

нулевое приближение приводит к

{ Displaystyle у сим е (х) = 3,67 ,}

Точность результата оправдывает попытку вывести мультипликативную функцию для этого среднего, например,

{ Displaystyle у сим х + 2,67}

Однако следует быть осторожным, потому что мультипликативная функция будет определена для всего интервала. Если доступны только три точки данных, никто не знает об остальных интервал, который может составлять большую его часть. Это означает, что у может иметь другой компонент, равный 0 на концах и в середине интервала. Известен ряд функций, обладающих этим свойством, например у = грех πИкс. Серия Тейлор полезно и помогает предсказать аналитическое решение но само по себе приближение не дает убедительных доказательств.

Первый заказ

^[3]Приближение первого порядка - термин, который ученые используют для лучшего ответа. Делаются некоторые упрощающие допущения, и когда требуется число, часто дается ответ только с одной значащей цифрой («в городе есть 4×10³ или же четыре тысячи жителей "). В случае приближения первого порядка, по крайней мере, одно указанное число является точным. В приведенном выше примере нулевого порядка было дано количество" несколько ", но в примере первого порядка число" 4 "равно данный.

Аппроксимация функции первого порядка (то есть математическое определение формулы для соответствия нескольким точкам данных) будет линейной аппроксимацией, прямой линией с наклоном: полиномом степени 1. Например,

{ Displaystyle х = [0,00,1,00,2,00] ,}

{ displaystyle y = [3.00,3.00,5.00] ,}

{ Displaystyle у сим е (х) = х + 2,67 ,}

является приблизительным соответствием данным. В этом примере есть приближение нулевого порядка, которое такое же, как и первое, но метод получения отличается; то есть дикий удар в темноте в отношениях оказался столь же хорошим, как и «обоснованное предположение».

Второго порядка

Приближение второго порядка это термин, который ученые используют для получения качественного ответа. Делается несколько упрощающих предположений, и когда требуется число, ответ состоит из двух или более значащих цифр ("в городе есть 3.9×10³ или же тридцать девятьсот резидентов »). математические финансы, приближения второго порядка известны как поправки на выпуклость. Как и в приведенных выше примерах, термин «2-й порядок» относится к количеству точных цифр, указанных для неточного количества. В этом случае «3» и «9» даны как два последовательных уровня точности, а не просто «4» из первого порядка или «несколько» из нулевого порядка, как в приведенных выше примерах.

Приближение второго порядка функции (то есть математическое определение формулы, подходящей для нескольких точек данных) будет квадратичный многочлен, геометрически a парабола: многочлен степени 2. Например,

{ Displaystyle х = [0,00,1,00,2,00] ,}

{ displaystyle y = [3.00,3.00,5.00] ,}

{ Displaystyle у сим е (х) = х ^ {2} -x + 3 ,}

приблизительно соответствует данным. В этом случае, имея только три точки данных, парабола является точным соответствием на основе предоставленных данных. Однако точки данных для большей части интервала недоступны, что требует осторожности (см. "нулевой порядок").

Более высокого порядка

Хотя приближения более высокого порядка существуют и имеют решающее значение для лучшего понимания и описания реальности, они обычно не называются числами.

Продолжая вышесказанное, потребуется приближение третьего порядка для точного соответствия четырем точкам данных и так далее. Видеть полиномиальная интерполяция.

Разговорное использование

Эти термины также используются в просторечии учеными и инженерами для описания явлений, которыми можно пренебречь как незначительными (например, «Конечно, вращение Земли влияет на наш эксперимент, но это эффект такого высокого порядка, что мы не сможем его измерить» или «При эти скорости, относительность - это эффект четвертого порядка, о котором мы беспокоимся только при ежегодной калибровке. ") В этом случае порядковый номер приближения не является точным, но используется, чтобы подчеркнуть его незначительность; чем выше использованное число, тем менее важен эффект. Терминология в этом контексте представляет собой высокий уровень точности, необходимый для учета эффекта, который считается очень небольшим по сравнению с общим предметом изучения. Чем выше порядок, тем больше требуется точности для измерения эффекта и, следовательно, малости эффекта по сравнению с общим измерением.