Раскладной ролик - Developable roller

В геометрия, а раскладывающийся ролик это выпуклый твердый поверхность которого состоит из одного непрерывный развивающийся лицо.[1][2] Пока прокатка на самолет, большинство развертывающихся роликов развивают всю свою поверхность так, чтобы все точки на поверхности касались плоскости катания. Все раскладные ролики имеют линейчатые поверхности. На сегодняшний день описаны четыре семейства развертывающихся роликов: полисфериконы первичного типа,[3] в выпуклые оболочки двух дисковых катков (выпуклые корпуса TDR),[4] в поликоны [5][1] и Платониконы.[2][6]

Строительство

Каждое семейство раскладных роликов основано на различном принципе конструкции. В простые полисфериконы являются подсемейством полисферикон семья.[7] Они основаны на корпусах, изготовленных вращающийся правильные многоугольники вокруг одного из самых длинных диагонали. Эти тела разрезаются пополам в их плоскости симметрии, и две половины воссоединяются после поворота на угол смещения относительно друг друга.[5] Все простые полисфериконы имеют два ребра, состоящих из одной или нескольких дуг окружности, и четырех вершин. Все они, кроме сферикон, имеют поверхности, состоящие из одного вида конический поверхность и одна или несколько конических или цилиндрический усеченный поверхности.[1] Двухдисковые катки состоят из двух конгруэнтный симметричный круговой или же эллиптический сектора. Секторы стыкуются между собой так, что плоскости, в которых они лежат, перпендикулярны друг другу, а их оси симметрии совпадают.[4] Выпуклые оболочки этих структур составляют члены семейства выпуклых корпусов TDR. Все члены этого семейства имеют два ребра (два круглых или эллиптических дуги ). Их может быть 4 вершины, как в сфериконе (который также является членом этого семейства) или ни одного, как в олоид. Как и главные полисфериконы, поликоны основаны на правильных многоугольниках, но состоят из идентичных частей только одного типа конуса без частей усеченного конуса. Конус создается путем вращения двух смежных ребер правильного многоугольника (и в большинстве случаев их продолжений) вокруг оси симметрии многоугольника, проходящей через их общую вершину. Поликон на основе п-gon (многоугольник с n ребрами) имеет п края и п + 2 вершины. Сферикон, который также является членом этого семейства, имеет округлые края. Края гексакона параболический. Края всех остальных поликонов гиперболический.[1] Подобно поликонам, Платониконы выполнены только с одним типом конической поверхности. Их уникальная особенность заключается в том, что каждый из них ограничивает одну из пяти Платоновы тела. В отличие от других семей, эта семья не бесконечна. На сегодняшний день открыто 14 платониконов.[2]

Катящееся движение

В отличие от осесимметричный органы, которые, если их не ограничивают, могут выполнять линейный прокатка движение (как сфера или цилиндр) или круговой (как конус ), раскладные ролики меандрируют при прокатке.[1] Их движение линейно только в среднем. В случае поликонов и платониконов, а также некоторых первичных полисфериконов путь их центр массы состоит из дуг окружности. В случае простых полисфериконов, поверхности которых содержат цилиндрические части, путь представляет собой комбинацию дуг окружности и прямых линий. Общее выражение для формы траектории центра масс выпуклых корпусов TDR еще предстоит получить.[4]Для обеспечения плавного качения центр масс катящегося тела должен поддерживать постоянную высоту. Все простые полисфериконы, поликоны и платониконы, а также некоторые выпуклые оболочки TDR обладают этим свойством.[1][3] Некоторые выпуклые оболочки TDR, например, олоид, не обладают этим свойством. Чтобы выпуклый корпус TDR сохранял постоянную высоту, должны выполняться следующие условия:

Где a и b - половина малой и большой осей эллиптических дуг, соответственно, а c - расстояние между их центрами.[4] Например, в случае, когда каркасная конструкция выпуклой оболочки TDR состоит из двух круговых сегментов радиусом р, чтобы центр масс находился на постоянной высоте, расстояние между центрами секторов должно быть равно р.[8]

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж Хирш, Дэвид. «Поликоны: Сферикон (или Тетракон) нашел свою семью». Журнал математики и искусств. arXiv:1901.10677. Дои:10.1080/17513472.2020.1711651.
  2. ^ а б c Ситон, К.А. "Платониконы: Платоновы тела начинают катиться". Издательство Тесселяции.
  3. ^ а б «Полисферикон». h-its.org. Гейдельбергский институт теоретических исследований.
  4. ^ а б c d Укке, Кристиан. «Двухдисковый каток - сочетание физики, искусства и математики» (PDF). Ucke.de.
  5. ^ а б «Поликонс». h-it.de. Гейдельбергский институт теоретических исследований.
  6. ^ "Платониконы". 2020.bridgesmathart.org. Организация мостов.
  7. ^ Эммер, Микеле (2005). Визуальный разум II. Пресса Массачусетского технологического института. п. 668-669. ISBN  0-262-05076-5.
  8. ^ Стюарт, А. Т. "Два круга-ролик". Американский журнал физики. 34.

внешняя ссылка

*Сферикон серия Список первых членов семейства полисферионов и обсуждение их различных видов.