Расширение (морфология) - Dilation (morphology)

Расширение (обычно представлен ⊕) - одна из основных операций в математическая морфология. Первоначально разработан для двоичные изображения, сначала он был расширен до оттенки серого изображения, а затем полные решетки. В операции расширения обычно используется структурирующий элемент для исследования и расширения форм, содержащихся во входном изображении.

Бинарное расширение

Расширение темно-синего квадрата диском, в результате получается голубой квадрат с закругленными углами.

В бинарной морфологии дилатация инвариантна относительно сдвига (инвариант перевода ) оператор, эквивалентный Минковский сложение.

Бинарное изображение рассматривается в математической морфологии как подмножество из Евклидово пространство р^d или целочисленная сетка Z^d, для некоторого измерения d. Позволять E быть евклидовым пространством или целочисленной сеткой, А двоичное изображение в E, и B элемент структурирования, рассматриваемый как подмножество р^d.

Расширение А от B определяется

${\displaystyle A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b},}$

где А_б это перевод А от б.

Расширение коммутативно, также задается ${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}}$.

Если B имеет центр в начале координат, то расширение А от B можно понимать как геометрическое место точек, покрытых B когда центр B движется внутрь А. Расширение квадрата размера 10 с центром в начале координат диском радиуса 2, также центрированным в начале координат, представляет собой квадрат со стороной 14 и закругленными углами с центром в начале координат. Радиус закругленных углов - 2.

Расширение также можно получить с помощью ${\displaystyle A\oplus B=\{z\in E\mid (B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}}$, где B^s обозначает симметричный из B, это, ${\displaystyle B^{s}=\{x\in E\mid -x\in B\}}$.

пример

Предположим, что A - это следующая матрица 11 x 11, а B - следующая матрица 3 x 3:

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0    0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0       0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0      0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0              1 1 1    0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0              1 1 1    0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0              1 1 1    0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0           0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0       0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Для каждого пикселя в A, имеющего значение 1, накладывать B, при этом центр B выровнен с соответствующим пикселем в A.

Каждый пиксель каждого наложенного B включен в расширение A на B.

Расширение A на B задается этой матрицей 11 x 11.

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1           1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0       1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

Свойства бинарной дилатации

Вот некоторые свойства бинарного оператора растяжения

• это инвариант перевода.
• это увеличение, то есть если ${\displaystyle A\subseteq C}$, тогда ${\displaystyle A\oplus B\subseteq C\oplus B}$.
• это коммутативный.
• Если происхождение E принадлежит к элементу структурирования B, то это обширный, т.е. ${\displaystyle A\subseteq A\oplus B}$.
• это ассоциативный, т.е. ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)}$.
• это распределительный над установить союз

Расширение оттенков серого

В оттенки серого морфология, изображения функции отображение Евклидово пространство или сетка E в ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$, где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ это набор реалы, ${\displaystyle \infty }$ является элементом больше любого действительного числа, и ${\displaystyle -\infty }$ это элемент меньше любого действительного числа.

Структурирующие элементы в градациях серого также являются функциями того же формата, называемыми «функциями структурирования».

Обозначение изображения ж(Икс) и структурирующей функцией б(Икс), расширение оттенков серого ж от б дан кем-то

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(x-y)],}$

где "sup" обозначает супремум.

Функции плоского структурирования

Пример расширения изображения в градациях серого с использованием плоского структурирующего элемента 5x5. На верхнем рисунке показано применение окна структурирующего элемента к отдельным пикселям исходного изображения. На нижнем рисунке показано полученное расширенное изображение.

Плоские структурирующие элементы часто используются в морфологических приложениях. Функции плоского структурирования - это функции б(Икс) в виде

${\displaystyle b(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&x\in B,\\-\infty ,&{\text{otherwise}},\end{array}}\right.}$

где ${\displaystyle B\subseteq E}$.

В этом случае расширение значительно упрощается и определяется выражением

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(x-y)]=\sup _{z\in E}[f(x-z)+b(z)]=\sup _{z\in B}[f(x-z)].}$

(Предположим Икс = (px, qx), z = (pz, qz), тогда Икс − z = (px − pz, qx − qz).)

В ограниченном дискретном случае (E это сетка и B ограничен), супремум оператор можно заменить на максимум. Таким образом, дилатация - это частный случай статистика заказов фильтры, возвращающие максимальное значение в движущемся окне (симметричный элемент поддержки функции структурирования B).

Расширение на полных решетках

Полные решетки находятся частично упорядоченные наборы, где каждое подмножество имеет инфимум и супремум. В частности, он содержит наименьший элемент и величайший элемент (также обозначается «вселенная»).

Позволять ${\displaystyle (L,\leq )}$ - полная решетка, нижняя и верхняя грань которой символизируются ${\displaystyle \wedge }$ и ${\displaystyle \vee }$соответственно. Его вселенная и наименьший элемент символизируются U и ${\displaystyle \varnothing }$соответственно. Кроме того, пусть ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ быть набором элементов из L.

Расширение - это любой оператор ${\displaystyle \delta :L\rightarrow L}$ который распределяется по супремуму и сохраняет наименьший элемент. То есть верно следующее:

• ${\displaystyle \bigvee _{i}\delta (X_{i})=\delta \left(\bigvee _{i}X_{i}\right),}$
• ${\displaystyle \delta (\varnothing )=\varnothing .}$

Смотрите также

• Буфер (ГИС)
• Закрытие (морфология)
• Эрозия (морфология)
• Математическая морфология
• Открытие (морфология)
• Минковский сложение

Список используемой литературы

• Анализ изображений и математическая морфология Жан Серра, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Анализ изображений и математическая морфология, Том 2: Теоретические достижения Жан Серра, ISBN  0-12-637241-1 (1988)
• Введение в морфологическую обработку изображений Эдвард Р. Догерти, ISBN  0-8194-0845-X (1992)