Энергетическое пространство - Energetic space

В математика, точнее в функциональный анализ, энергетическое пространство интуитивно является подпространством данного настоящий Гильбертово пространство оснащен новым «энергетиком» внутренний продукт. Мотивация названия происходит от физика, как и во многих физических проблемах, энергия системы можно выразить в терминах энергетического внутреннего продукта. Пример этого будет дан далее в статье.

Энергетическое пространство

Формально рассмотрим реальное гильбертово пространство ${displaystyle X}$ с внутренний продукт ${displaystyle (cdot |cdot )}$ и норма ${displaystyle |cdot |}$. Позволять ${displaystyle Y}$ - линейное подпространство в ${displaystyle X}$ и ${displaystyle B:Y o X}$ быть сильно монотонный симметричный линейный оператор, то есть линейный оператор, удовлетворяющий

• ${displaystyle (Bu|v)=(u|Bv),}$ для всех ${displaystyle u,v}$ в ${displaystyle Y}$
• ${displaystyle (Bu|u)geq c|u|^{2}}$ для некоторой постоянной ${displaystyle c>0}$ и все ${displaystyle u}$ в ${displaystyle Y.}$

В энергичный внутренний продукт определяется как

${displaystyle (u|v)_{E}=(Bu|v),}$ для всех ${displaystyle u,v}$ в ${displaystyle Y}$

и энергетическая норма является

${displaystyle |u|_{E}=(u|u)_{E}^{frac {1}{2}},}$ для всех ${displaystyle u}$ в ${displaystyle Y.}$

Набор ${displaystyle Y}$ вместе с энергичным внутренним продуктом является предгильбертово пространство. В энергетическое пространство ${displaystyle X_{E}}$ определяется как завершение из ${displaystyle Y}$ в энергетической норме. ${displaystyle X_{E}}$ можно рассматривать как подмножество исходного гильбертова пространства ${displaystyle X,}$ так как любой Последовательность Коши в энергетической норме также Коши в норме ${displaystyle X}$ (это следует из свойства сильной монотонности ${displaystyle B}$).

Энергетический внутренний продукт простирается от ${displaystyle Y}$ к ${displaystyle X_{E}}$ к

${displaystyle (u|v)_{E}=lim _{n o infty }(u_{n}|v_{n})_{E}}$

куда ${displaystyle (u_{n})}$ и ${displaystyle (v_{n})}$ последовательности в Y которые сходятся к точкам в ${displaystyle X_{E}}$ в энергетической норме.

Энергетическое расширение

Оператор ${displaystyle B}$ признает энергетическое расширение ${displaystyle B_{E}}$

${displaystyle B_{E}:X_{E} o X_{E}^{*}}$

определено на ${displaystyle X_{E}}$ со значениями в двойное пространство ${displaystyle X_{E}^{*}}$ что дается формулой

${displaystyle langle B_{E}u|vangle _{E}=(u|v)_{E}}$ для всех ${displaystyle u,v}$ в ${displaystyle X_{E}.}$

Здесь, ${displaystyle langle cdot |cdot angle _{E}}$ обозначает скобку двойственности между ${displaystyle X_{E}^{*}}$ и ${displaystyle X_{E},}$ так ${displaystyle langle B_{E}u|vangle _{E}}$ на самом деле означает ${displaystyle (B_{E}u)(v).}$

Если ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ элементы в исходном подпространстве ${displaystyle Y,}$ тогда

${displaystyle langle B_{E}u|vangle _{E}=(u|v)_{E}=(Bu|v)=langle u|B|vangle }$

по определению энергетического внутреннего продукта. Если посмотреть ${displaystyle Bu,}$ который является элементом в ${displaystyle X,}$ как элемент дуального ${displaystyle X^{*}}$ через Теорема Рисса о представлении, тогда ${displaystyle Bu}$ также будет в двойном ${displaystyle X_{E}^{*}}$ (в силу свойства сильной монотонности ${displaystyle B}$). Посредством этих отождествлений из приведенной выше формулы следует, что ${displaystyle B_{E}u=Bu.}$ Другими словами, исходный оператор ${displaystyle B:Y o X}$ можно рассматривать как оператора ${displaystyle B:Y o X_{E}^{*},}$ а потом ${displaystyle B_{E}:X_{E} o X_{E}^{*}}$ просто расширение функции ${displaystyle B}$ из ${displaystyle Y}$ к ${displaystyle X_{E}.}$

Пример из физики

Струна с фиксированными концами под действием силы, направленной вниз.

Рассмотрим нить чьи концы закреплены в двух точках ${displaystyle a<b}$ на реальной линии (здесь рассматривается как горизонтальная линия). Пусть вертикальный внешний плотность силы в каждой точке ${displaystyle x}$ ${displaystyle (aleq xleq b)}$ на веревке быть ${displaystyle f(x)mathbf {e} }$, куда ${displaystyle mathbf {e} }$ это единичный вектор указывая вертикально и ${displaystyle f:[a,b] o mathbb {R} .}$ Позволять ${displaystyle u(x)}$ быть отклонение строки в точке ${displaystyle x}$ под действием силы. Предполагая, что прогиб невелик, упругая энергия строки

${displaystyle {frac {1}{2}}int _{a}^{b}!u'(x)^{2},dx}$

и общая потенциальная энергия строки

${displaystyle F(u)={frac {1}{2}}int _{a}^{b}!u'(x)^{2},dx-int _{a}^{b}!u(x)f(x),dx.}$

Прогиб ${displaystyle u(x)}$ минимизация потенциальной энергии удовлетворит дифференциальное уравнение

${displaystyle -u''=f,}$

с граничные условия

${displaystyle u(a)=u(b)=0.,}$

Чтобы изучить это уравнение, рассмотрим пространство ${displaystyle X=L^{2}(a,b),}$ это Lp пространство из всех квадратично интегрируемые функции ${displaystyle u:[a,b] o mathbb {R} }$ в отношении Мера Лебега. Это пространство гильбертово относительно скалярного произведения

${displaystyle (u|v)=int _{a}^{b}!u(x)v(x),dx,}$

с нормой, задаваемой

${displaystyle |u|={sqrt {(u|u)}}.}$

Позволять ${displaystyle Y}$ быть набором всех дважды непрерывно дифференцируемые функции ${displaystyle u:[a,b] o mathbb {R} }$ с граничные условия ${displaystyle u(a)=u(b)=0.}$ потом ${displaystyle Y}$ является линейным подпространством в ${displaystyle X.}$

Рассмотрим оператора ${displaystyle B:Y o X}$ задается формулой

${displaystyle Bu=-u'',,}$

поэтому прогиб удовлетворяет уравнению ${displaystyle Bu=f.}$ С помощью интеграция по частям и граничных условий, можно видеть, что

${displaystyle (Bu|v)=-int _{a}^{b}!u''(x)v(x),dx=int _{a}^{b}u'(x)v'(x)=(u|Bv)}$

для любого ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ в ${displaystyle Y.}$ Следовательно, ${displaystyle B}$ является симметричным линейным оператором.

${displaystyle B}$ также сильно монотонна, так как по Неравенство Фридрихса

${displaystyle |u|^{2}=int _{a}^{b}u^{2}(x),dxleq Cint _{a}^{b}u'(x)^{2},dx=C,(Bu|u)}$

для некоторых ${displaystyle C>0.}$

Энергетическое пространство по отношению к оператору ${displaystyle B}$ тогда Соболевское пространство ${displaystyle H_{0}^{1}(a,b).}$ Мы видим, что упругая энергия струны, которая мотивировала это исследование, равна

${displaystyle {frac {1}{2}}int _{a}^{b}!u'(x)^{2},dx={frac {1}{2}}(u|u)_{E},}$

так что это половина энергетического внутреннего продукта ${displaystyle u}$ с собой.

Для расчета прогиба ${displaystyle u}$ минимизация полной потенциальной энергии ${displaystyle F(u)}$ строки, можно записать эту задачу в виде

${displaystyle (u|v)_{E}=(f|v),}$ для всех ${displaystyle v}$ в ${displaystyle X_{E}}$.

Далее обычно приблизительно ${displaystyle u}$ некоторыми ${displaystyle u_{h}}$, функция в конечномерном подпространстве истинного пространства решений. Например, можно позволить ${displaystyle u_{h}}$ быть непрерывным кусочно-линейная функция в энергетическом пространстве, что дает метод конечных элементов. Приближение ${displaystyle u_{h}}$ можно вычислить, решив система линейных уравнений.

Энергетическая норма оказывается естественной нормой для измерения ошибки между ${displaystyle u}$ и ${displaystyle u_{h}}$, видеть Лемма Сеа.

Смотрите также

• Внутреннее пространство продукта
• Положительно определенное ядро

Рекомендации

• Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: приложения к математической физике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94442-7.

• Джонсон, Клас (1987). Численное решение уравнений в частных производных методом конечных элементов. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-34514-6.