Конечная мера - Finite measure

В теория меры, филиал математика, а конечная мера или вполне конечная мера^[1] это особенный мера который всегда принимает конечные значения. Среди конечных мер есть вероятностные меры. С конечными мерами часто легче работать, чем с более общими мерами, и они демонстрируют множество различных свойств в зависимости от наборы они определены на.

Определение

А мера ${displaystyle mu }$ на измеримое пространство ${displaystyle (X,{mathcal {A}})}$ называется конечной мерой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет

${displaystyle mu (X)<infty .}$

По монотонности мер отсюда следует

${displaystyle mu (A)<infty { ext{ for all }}Ain {mathcal {A}}.}$

Если ${displaystyle mu }$ конечная мера, измерить пространство ${displaystyle (X,{mathcal {A}},mu )}$ называется пространство конечной меры или пространство с вполне конечной мерой.^[1]

Свойства

Общий случай

Для любого измеримого пространства конечные меры образуют выпуклый конус в Банахово пространство из подписанные меры с полное изменение норма. Важными подмножествами конечных мер являются суб-вероятностные меры, которые образуют выпуклое подмножество, и вероятностные меры, являющиеся пересечением единичная сфера в нормированном пространстве подписанных мер и конечных мер.

Топологические пространства

Если ${displaystyle X}$ это Пространство Хаусдорфа и ${displaystyle {mathcal {A}}}$ содержит Борель ${displaystyle sigma }$-алгебра тогда каждая конечная мера также является локально конечный Мера Бореля.

Метрические пространства

Если ${displaystyle X}$ это метрическое пространство и ${displaystyle {mathcal {A}}}$ снова Борель ${displaystyle sigma }$-алгебра, слабая сходимость мер можно определить. Соответствующая топология называется слабой топологией и является начальная топология всех ограниченных непрерывных функций на ${displaystyle X}$. Слабая топология соответствует слабая * топология в функциональном анализе. Если ${displaystyle X}$ это также отделяемый, слабая сходимость метризуется Метрика Леви – Прохорова.^[2]

Польские просторы

Если ${displaystyle X}$ это Польское пространство и ${displaystyle {mathcal {A}}}$ борель ${displaystyle sigma }$-алгебра, то всякая конечная мера является обычная мера и поэтому Радоновая мера.^[3]Если ${displaystyle X}$ польский, то множество всех конечных мер со слабой топологией тоже польское.^[4]

использованная литература

1. Аносов, Д. (2001) [1994], «Измерьте пространство», Энциклопедия математики, EMS Press
2. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.252. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
3. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.248. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
4. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Спрингер. п. 112. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.