Преобразование Фолди – Ваутуйзена - Foldy–Wouthuysen transformation

В Преобразование Фолди – Ваутуйзена был исторически значимым и был сформулирован Лесли Лоуренс Фолди и Зигфрид Адольф Ваутуйзен в 1949 году, чтобы понять нерелятивистский предел Уравнение Дирака, уравнение для вращение-1/2 частицы.^[1][2][3][4] Подробное общее обсуждение преобразований типа Фолди – Ваутхуйзена в интерпретации релятивистских волновых уравнений с помощью частиц содержится в Acharya and Sudarshan (1960).^[5] Его полезность в физика высоких энергий теперь ограничено из-за того, что основные приложения находятся в ультрарелятивистской области, где поле Дирака рассматривается как квантованное поле.

Каноническое преобразование

Преобразование FW - это унитарное преобразование ортонормированный основа, в которой оба Гамильтониан и государство представлены. В собственные значения не изменяются при таком унитарном преобразовании, то есть физика не изменяется при таком унитарном базисном преобразовании. Следовательно, такое унитарное преобразование всегда можно применить: в частности, можно выбрать унитарное базисное преобразование, которое придаст гамильтониану более приятную форму за счет изменения функции состояния, которая затем представляет что-то еще. См., Например, Преобразование Боголюбова, который является ортогональным базисным преобразованием для той же цели. Предположение, что преобразование FW применимо к состоянию или же гамильтониан, таким образом, неверен.

Фолди и Ваутуйзен использовали каноническое преобразование который теперь стал известен как Преобразование Фолди – Ваутуйзена. Краткое изложение истории трансформации можно найти в некрологах Фолди и Ваутуйсена.^[6][7] и биографические воспоминания Фолди.^[8] До их работы были некоторые трудности с пониманием и сбором всех членов взаимодействия определенного порядка, например, для частицы Дирака, погруженной во внешнее поле. С их процедурой физическая интерпретация терминов была ясной, и стало возможным применять их работу систематическим образом к ряду проблем, которые ранее не решались.^[9][10] Преобразование Фолди – Ваутхойзена было распространено на физически важные случаи спин-0 и спин-1 частицы^[11] и даже обобщены на случай произвольных спины.^[12]

Описание

Преобразование Фолди – Ваутхайзена (ФВ) - это унитарное преобразование на фермион волновая функция формы:

${displaystyle psi o psi '=Upsi }$

(1)

где унитарный оператор - это матрица 4 × 4:

${displaystyle U=e^{eta {oldsymbol {alpha }}cdot {hat {p}} heta }=mathbb {I} _{4}cos heta +eta {oldsymbol {alpha }}cdot {hat {p}}sin heta =e^{{oldsymbol {gamma }}cdot {hat {p}} heta }=mathbb {I} _{4}cos heta +{oldsymbol {gamma }}cdot {hat {p}}sin heta }$

(2)

Над,

${displaystyle {hat {p}}^{i}equiv {frac {p^{i}}{|p|}}}$

- единичный вектор, ориентированный в направлении импульса фермиона. Вышеуказанное относится к Матрицы Дирака к β = γ⁰ и α^я = γ⁰γ^я, с я = 1, 2, 3. Прямое разложение в ряд с применением коммутативность свойств матриц Дирака показывает, что 2 выше верно. Обратное

${displaystyle U^{-1}=e^{-eta {oldsymbol {alpha }}cdot {hat {p}} heta }=cos heta -eta {oldsymbol {alpha }}cdot {hat {p}}sin heta }$

так что ясно, что U⁻¹U = я, куда я представляет собой 4 × 4 единичная матрица.

Преобразование Фолди – Ваутхойзена гамильтониана Дирака для свободного фермиона

Это преобразование представляет особый интерес при применении к свободному фермионному гамильтонову оператору Дирака

${displaystyle {hat {H}}_{0}equiv alpha cdot p+eta m}$

биунитарным образом, в форме:

${displaystyle {egin{aligned}{hat {H}}_{0} o {hat {H}}'_{0}&equiv U{hat {H}}_{0}U^{-1}&=U(alpha cdot p+eta m)U^{-1}&=(cos heta +eta {oldsymbol {alpha }}cdot {hat {p}}sin heta )(alpha cdot p+eta m)(cos heta -eta {oldsymbol {alpha }}cdot {hat {p}}sin heta )end{aligned}}}$

(3)

Используя свойства коммутативности матриц Дирака, это можно преобразовать в выражение для двойных углов:

${displaystyle {egin{aligned}{hat {H}}'_{0}&=(alpha cdot p+eta m)(cos heta -eta {oldsymbol {alpha }}cdot {hat {p}}sin heta )^{2}&=(alpha cdot p+eta m)e^{-2eta {oldsymbol {alpha }}cdot {hat {p}} heta }&=(alpha cdot p+eta m)(cos 2 heta -eta {oldsymbol {alpha }}cdot {hat {p}}sin 2 heta )end{aligned}}}$

(4)

Это влияет на:

${displaystyle {hat {H}}'_{0}=alpha cdot pleft(cos 2 heta -{frac {m}{|p|}}sin 2 heta ight)+eta (mcos 2 heta +|p|sin 2 heta )}$

(5)

Выбор конкретного представления: Ньютон – Вигнер

Ясно, что преобразование ФВ - это непрерывный преобразование, то есть можно использовать любое значение для θ который выбирает. Теперь встает отдельный вопрос о выборе конкретного значения для θ, что сводится к выбору конкретного преобразованного представления.

Одно особенно важное представление - это представление, в котором преобразованный гамильтонов оператор ЧАС′₀ диагонализован. Ясно, что полностью диагонализованное представление можно получить, выбрав θ так что α · п срок в 5 заставлено исчезнуть. Такое представление задается путем определения:

${displaystyle an 2 heta equiv {frac {|p|}{m}}}$

(6)

так что 5 сводится к диагонализованной (это предполагает, что β взят в представлении Дирака – Паули (после Поль Дирак и Вольфганг Паули ), в котором это диагональная матрица):

${displaystyle {hat {H}}'_{0}=eta (mcos 2 heta +|p|sin 2 heta )}$

(7)

С помощью элементарной тригонометрии 6 также подразумевает, что:

${displaystyle sin 2 heta ={frac {|p|}{sqrt {m^{2}+|p|^{2}}}}quad { ext{and}}quad cos 2 heta ={frac {m}{sqrt {m^{2}+|p|^{2}}}}}$

(8)

так что используя 8 в 7 теперь приводит к следующему сокращению до:

${displaystyle {hat {H}}'_{0}=eta {sqrt {m^{2}+|p|^{2}}}}$

(9)

До того, как Foldy и Wouthuysen опубликовали свою трансформацию, было уже известно, что 9 гамильтониан в представлении Ньютона – Вигнера (НВ) (назван в честь Теодор Дадделл Ньютон и Юджин Вигнер ) из Уравнение Дирака. Что 9 таким образом, говорит нам, что путем применения преобразования FW к представлению Дирака – Паули уравнения Дирака и последующего выбора параметра непрерывного преобразования θ чтобы диагонализировать гамильтониан, мы приходим к NW-представлению уравнения Дирака, потому что сам NW уже содержит гамильтониан, указанный в (9). Видеть это связь.

Если принять во внимание массу на оболочке - фермион или что-то еще - заданную формулой м² = п^σп_σ, и использует Метрика Минковского тензор, для которого диаг (η) = (+1, −1, −1, −1), должно быть очевидно, что выражение

${displaystyle p^{0}={sqrt {m^{2}+|p|^{2}}}}$

эквивалентен E ≡ п⁰ компонента вектора энергии-импульса п^μ, так что 9 альтернативно определяется довольно просто ЧАС′₀ = βE.

Соответствие представлений Дирака – Паули и Ньютона – Вигнера для покоящегося фермиона

Теперь рассмотрим покоящийся фермион, который мы можем определить в этом контексте как фермион, для которого |п| = 0. Из 6 или же 8, это означает, что cos 2θ = 1, так что θ = 0, ± π, ± 2π и из 2, что унитарный оператор U = ±я. Следовательно, любой оператор О в представлении Дирака-Паули, над которым мы выполняем биунитарное преобразование, будет дан для покоящегося фермиона следующим образом:

${displaystyle O o O'equiv UOU^{-1}=(pm I)(O)(pm I)=O}$

(10)

В отличие от исходного гамильтонова оператора Дирака – Паули

${displaystyle {hat {H}}_{0}equiv alpha cdot p+eta m}$

с гамильтонианом NW 9, мы действительно находим |п| = 0 "в покое" переписка:

${displaystyle {hat {H}}_{0}={hat {H}}'_{0}=eta m}$

(11)

Оператор скорости в представлении Дирака – Паули

Теперь рассмотрим оператор скорости. Чтобы получить этот оператор, мы должны коммутировать гамильтонов оператор ЧАС′₀ с операторами канонического положения Икс_я, т.е. мы должны вычислить

${displaystyle {hat {v_{i}}}equiv ileft[{hat {H}}_{0},x_{i}ight]}$

Один хороший способ приблизиться к этому вычислению - начать с написания скалярной масса покоя м в качестве

${displaystyle m=gamma ^{0}{hat {H}}_{0}+gamma ^{j}p_{j}}$

а затем потребовать, чтобы скалярная масса покоя коммутировала с Икс_я. Таким образом, мы можем написать:

${displaystyle 0=[m,x_{i}]=left[left(gamma ^{0}{hat {H}}_{0}+gamma ^{j}p_{j}ight),x_{i}ight]=left[gamma ^{0}{hat {H}}_{0},x_{i}ight]+igamma _{i}}$

(12)

где мы использовали каноническое коммутационное соотношение Гейзенберга [Икс_я,п_j] = −iη_ij сократить сроки. Затем, умножая слева на γ⁰ и переставляя сроки, получаем:

${displaystyle {frac {d{hat {x}}_{i}}{dt}}={hat {v_{i}}}equiv ileft[{hat {H}}_{0},x_{i}ight]=alpha _{i}}$

(13)

Потому что канонические отношения

${displaystyle ileft[{hat {H}}_{0},{hat {v}}_{i}ight]eq 0}$

Вышеупомянутое обеспечивает основу для вычисления неотъемлемого ненулевого оператора ускорения, который определяет колебательное движение, известное как zitterbewegung.

Оператор скорости в представлении Ньютона – Вигнера

В представлении Ньютона – Вигнера мы теперь хотим вычислить

${displaystyle {hat {v}}_{i}'equiv ileft[{hat {H}}'_{0},x_{i}ight]}$

Если мы воспользуемся результатом в самом конце раздела 2 выше, ЧАС′₀ = βp₀, тогда это можно записать как:

${displaystyle {hat {v}}_{i}'equiv ileft[{hat {H}}'_{0},x_{i}ight]=ieta left[p_{0},x_{i}ight]}$

(14)

Используя вышеизложенное, нам нужно просто вычислить [п₀,Икс_я], затем умножить на iβ.

Каноническое вычисление происходит аналогично вычислению в разделе 4 выше, но из-за выражения квадратного корня в п⁰ = √м² + |п|², требуется один дополнительный шаг.

Во-первых, чтобы учесть квадратный корень, нам потребуется, чтобы скалярная квадратная масса м² коммутировать с каноническими координатами Икс_я, который мы пишем как:

${displaystyle 0equiv left[m^{2},x_{i}ight]=left[left(p^{0}p_{0}+p^{j}p_{j}ight),x_{i}ight]=left[p^{0}p_{0},x_{i}ight]+2ip_{i}}$

(15)

где мы снова используем каноническое соотношение Гейзенберга [Икс_я,п_j] = −iη_ij. Тогда нам понадобится выражение для [п₀,Икс_я] который удовлетворит 15. Несложно проверить, что:

${displaystyle ileft[p_{0},x_{i}ight]={frac {p_{i}}{p^{0}}}=v_{i}}$

(16)

удовлетворит 15 когда снова нанимаю [Икс_я,п_j] = −я_ij. Теперь мы просто возвращаем iβ фактор через 14, чтобы достичь:

${displaystyle {frac {d{hat {x}}_{i}'}{dt}}={hat {v}}_{i}'equiv ileft[{hat {H}}'_{0},x_{i}ight]=eta {frac {p_{i}}{p^{0}}}=eta v_{i}}$

(17)

Под этим понимается оператор скорости в представлении Ньютона – Вигнера. Потому что:

${displaystyle ileft[{hat {H}}'_{0},{hat {v}}_{i}'ight]=ileft[eta p_{0},eta v_{i}ight]=0}$

(18)

принято считать, что zitterbewegung движение, возникающее из 12 обращается в нуль при преобразовании фермиона в представление Ньютона – Вигнера.

Операторы скорости покоящегося фермиона

Теперь сравним уравнения 13 и 17 для покоящегося фермиона, определенного ранее в разделе 3 как фермион, для которого |п| = 0. Здесь, (13) останки:

${displaystyle {hat {v}}_{i}equiv ileft[{hat {H}}_{0},x_{i}ight]=alpha _{i}}$

(19)

пока 17 становится:

${displaystyle {hat {v}}_{i}'equiv ileft[{hat {H}}'_{0},x_{i}ight]=eta {frac {p_{i}}{p^{0}}}=0}$

(20)

В уравнении 10 мы обнаружили, что для покоящегося фермиона О′ = О для любого оператора. Можно было бы ожидать, что это будет включать:

${displaystyle {hat {v}}_{i}'={hat {v}}_{i}}$

(21)

однако уравнения 19 и 20 для |п| = 0 Фермион противоречит 21.

Другие приложения

Мощный механизм преобразования Фолди – Ваутуйзена, первоначально разработанный для Уравнение Дирака нашел применение во многих ситуациях, таких как акустика, и оптика.

Он нашел применение в самых разных областях, таких как атомные системы.^[13][14] синхротрон радиация^[15] и вывод Уравнение Блоха за поляризованный балки.^[16]

Применение преобразования Фолди – Ваутхайзена в акустике очень естественно; исчерпывающие и математически строгие отчеты.^[17][18][19]

В традиционной схеме целью расширения оптического гамильтониана

${displaystyle {hat {H}}=-left(n^{2}(r)-{hat {p}}_{perp }^{2}ight)^{frac {1}{2}}}$

в серии с использованием

${displaystyle {frac {{hat {p}}_{perp }^{2}}{n_{0}^{2}}}}$

Под параметром расширения понимается распространение квазипараксиального пучка в терминах ряда приближений (параксиальных плюс непараксиальных). Аналогичная ситуация и в случае оптики заряженных частиц. Напомним, что и в релятивистской квантовой механике существует аналогичная проблема понимания релятивистских волновых уравнений как нерелятивистского приближения плюс релятивистские поправочные члены в квазирелятивистском режиме. Для уравнения Дирака (которое имеет первый порядок по времени) это наиболее удобно сделать с помощью преобразования Фолди – Ваутхойзена, ведущего к итерационной технике диагонализации. Основная структура недавно разработанных формализмов оптики (как оптика света, так и оптика заряженных частиц) основана на технике преобразования теории Фолди – Ваутхойзена, которая приводит уравнение Дирака в форму, отображающую различные члены взаимодействия между частицей Дирака и приложенное электромагнитное поле в нерелятивистской и легко интерпретируемой форме.

В теории Фолди – Ваутхойзена уравнение Дирака разделяется посредством канонического преобразования на два двухкомпонентных уравнения: одно сводится к уравнению Уравнение Паули^[20] в нерелятивистском пределе, а другой описывает состояния с отрицательной энергией. Можно написать дираковское матричное представление уравнений Максвелла. В такой матричной форме может применяться метод Фолди – Ваутхуйзена.^{[21][22][23][24][25]}

Существует близкая алгебраическая аналогия между Уравнение Гельмгольца (управляющий скалярной оптикой) и Уравнение Клейна – Гордона; и между матричная форма уравнений Максвелла (управляющая векторная оптика) и Уравнение Дирака. Поэтому для анализа этих систем естественно использовать мощные механизмы стандартной квантовой механики (в частности, преобразование Фолди – Ваутхойзена).

Предложение использовать технику преобразования Фолди – Ваутхойзена в случае уравнения Гельмгольца упоминалось в литературе как замечание.^[26]

Только в недавних работах эта идея была использована для анализа квазипараксиальных приближений для конкретной пучковой оптической системы.^[27] Техника Foldy – Wouthuysen идеально подходит для Алгебраический подход к оптике. Со всеми этими плюсами, мощным и свободным от двусмысленности расширением, преобразование Фолди – Ваутхуйзена все еще мало используется в оптике. Техника преобразования Фолди – Ваутхойзена приводит к так называемым нетрадиционным предписаниям оптики Гельмгольца.^[28] и оптика Максвелла^[29] соответственно. Нетрадиционные подходы приводят к очень интересным зависимым от длины волны модификациям параксиального и аберрационного поведения. Нетрадиционный формализм оптики Максвелла обеспечивает единую основу для оптики светового пучка и поляризации. Нетрадиционные предписания световой оптики во многом аналогичны квантовой теории оптики пучков заряженных частиц.^{[30][31][32][33]} В оптике это позволило увидеть более глубокие связи в режиме зависимости от длины волны между световой оптикой и оптикой заряженных частиц (см. Электронная оптика ).^[34][35]

Смотрите также

• Релятивистская квантовая механика

Примечания

1. Foldy, L. L .; Wouthuysen, S.A. (1950). "О теории спина Дирака¹⁄₂ Частицы и их нерелятивистский предел » (PDF). Физический обзор. 78 (1): 29–36. Bibcode:1950PhRv ... 78 ... 29F. Дои:10.1103 / PhysRev.78.29.
2. Фолди, Л. Л. (1952). «Электромагнитные свойства дираковских частиц». Физический обзор. 87 (5): 688–693. Bibcode:1952ПхРв ... 87..688Ф. Дои:10.1103 / PhysRev.87.688.
3. Прайс, М. Х. Л. (1948). «Центр массы в ограниченной теории относительности и его связь с квантовой теорией элементарных частиц». Труды Лондонского королевского общества A. 195 (1040): 62–81. Bibcode:1948РСПСА.195 ... 62П. Дои:10.1098 / rspa.1948.0103.
4. Тани, С. (1951). "Связь между моделями частиц и теориями поля. I. Случай спина¹⁄₂". Успехи теоретической физики. 6 (3): 267–285. Bibcode:1951ПТХФ ... 6..267Т. Дои:10.1143 / ptp / 6.3.267.
5. Acharya, R .; Сударшан, Э.С.Г. (1960). "Описание фронта в релятивистской квантовой механике". Журнал математической физики. 1 (6): 532–536. Bibcode:1960JMP ..... 1..532A. Дои:10.1063/1.1703689.
6. Brown, R.W .; Krauss, L.M .; Тейлор, П. Л. (2001). "Некролог Лесли Лоуренс Фолди". Физика сегодня. 54 (12): 75. Bibcode:2001ФТ .... 54л..75Б. Дои:10.1063/1.1445566.
7. Леопольд, Х. (1997). "Некролог Зигфрида Ваутуйсена". Физика сегодня. 50 (11): 89. Bibcode:1997ФТ .... 50к..89Ч. Дои:10.1063/1.882018.
8. Фолди, Л. Л. (2006). «Истоки трансформации FW: мемуары». В Фикингере, Уильям (ред.). Физика в исследовательском университете: Кейс Вестерн Резервный университет 1830–1990. С. 347–351.
9. Bjorken, J.D .; Дрелл, С. Д. (1964). Релятивистская квантовая механика. Нью-Йорк, Сан-Франциско: Макгроу-Хилл.
10. Costella, J. P .; Маккеллар, Б. Х. Дж. (1995). «Преобразование Фолди – Ваутуйзена». Американский журнал физики. 63 (12): 1119–1124. arXiv:hep-ph / 9503416. Bibcode:1995AmJPh..63.1119C. Дои:10.1119/1.18017.
11. Кейс, К. М. (1954). «Некоторые обобщения преобразования Фолди – Ваутхуйзена». Физический обзор. 95 (5): 1323–1328. Bibcode:1954PhRv ... 95.1323C. Дои:10.1103 / PhysRev.95.1323.
12. Джаяраман, Дж. (1975). «Заметка о недавних преобразованиях Фолди – Ваутхойзена для частиц произвольного спина». Журнал физики А. 8 (1): L1 – L4. Bibcode:1975JPhA .... 8L ... 1J. Дои:10.1088/0305-4470/8/1/001.
13. Asaga, T .; Fujita, T .; Хирамото, М. (2000). «Оператор EDM, свободный от теоремы Шиффа». Успехи теоретической физики. 106 (6): 1223–1238. arXiv:hep-ph / 0005314. Bibcode:2001ПТХФ.106.1223А. Дои:10.1143 / PTP.106.1223.
14. Пачуки, К. (2004). «Эффективный гамильтониан высшего порядка для легких атомных систем». Физический обзор A. 71 (1): 012503. arXiv:физика / 0411168. Bibcode:2005ПхРвА..71а2503П. Дои:10.1103 / PhysRevA.71.012503.
15. Lippert, M .; Bruckel, Th .; Kohler, Th .; Шнайдер, Дж. Р. (1994). «Массовое магнитное рассеяние высокого разрешения синхротронного излучения высоких энергий». Письма еврофизики. 27 (7): 537–541. Bibcode:1994ЭЛ ..... 27..537Л. Дои:10.1209/0295-5075/27/7/008.
16. Heinemann, K .; Барбер, Д. П. (1999). «Квазиклассическое преобразование Фолди – Ваутхойзена и вывод уравнения Блоха для спиновой¹⁄₂ поляризованные пучки с использованием функций Вигнера ». In Chen, P (ed.). Труды 15-го расширенного семинара ICFA по динамике пучка по квантовым аспектам физики пучка, 4–9 января 1998 г., Монтерей, Калифорния, США. Сингапур: World Scientific. С. физика / 9901044. arXiv:физика / 9901044. Bibcode:1999физика ... 1044H.
17. Фишман, Л. (1992). «Точные и операторно-рациональные приближенные решения уравнения состава Гельмгольца, Вейля в подводной акустике - квадратичный профиль». Журнал математической физики. 33 (5): 1887–1914. Bibcode:1992JMP .... 33.1887F. Дои:10.1063/1.529666.
18. Фишман, Л. (2004). «Моделирование одностороннего волнового уравнения в задачах двустороннего распространения волн». В Nilsson, B .; Фишман, Л. (ред.). Математическое моделирование волновых явлений 2002, Математическое моделирование в физике, инженерии и когнитивных науках. 7. Växjö, Швеция: Växjö University Press. С. 91–111.
19. Вурмсер, Д. (2004). «Параболическое уравнение для проницаемых шероховатых поверхностей: использование преобразования Фолди – Ваутхойзена для скачков плотности буфера». Анналы физики. 311 (1): 53–80. Bibcode:2004AnPhy.311 ... 53 Вт. Дои:10.1016 / j.aop.2003.11.006.
20. Още, Г. Р. (1977). «Уравнение Дирака и Дирака – Паули в представлении Фолди – Ваутхойзена». Физический обзор D. 15 (8): 2181–2185. Bibcode:1977ПхРвД..15.2181О. Дои:10.1103 / PhysRevD.15.2181.
21. Бялыницкий-Бирула, И. (1996). Волновая функция фотона. Прогресс в оптике. 36. С. 245–294. arXiv:Quant-ph / 0508202. Bibcode:2005квант.ч..8202B. Дои:10.1016 / S0079-6638 (08) 70316-0. ISBN  9780444825308.
22. Хан, Самин Ахмед (2005). «Оптика Максвелла: I. Точное матричное представление уравнений Максвелла в среде». Physica Scripta. 71 (5): 440–442. arXiv:физика / 0205083. Bibcode:2005ФИЗЫ ... 71..440K. Дои:10.1238 / Physica.Regular.071a00440.
23. Лапорт, О.; Уленбек, Г.Э. (1931). «Приложения спинорного анализа к уравнениям Максвелла и Дирака». Физический обзор. 37 (11): 1380–1397. Bibcode:1931ПхРв ... 37.1380Л. Дои:10.1103 / PhysRev.37.1380.
24. Майорана, Э. (1974). Неопубликованные заметки, цитируемые в Mignani, R .; Recami, E .; Бальдо, М. (2008). «Об уравнении для фотона типа Дирака, по Этторе Майорана». Lettere al Nuovo Cimento. 11 (12): 568–572. Дои:10.1007 / bf02812391.
25. Моисей, Э. (1959). «Решения уравнений Максвелла в спинорной записи: прямая и обратная задачи». Физический обзор. 113 (6): 1670–1679. Bibcode:1959ПхРв..113.1670М. Дои:10.1103 / PhysRev.113.1670.
26. Фишман, Л .; Маккой, Дж. Дж. (1984). "Вывод и применение теории расширенных параболических волн. Часть I. Факторное уравнение Гельмгольца". Журнал математической физики. 25 (2): 285–296. Bibcode:1984JMP .... 25..285F. Дои:10.1063/1.526149.
27. Хан, Самин Ахмед; Джаганнатан, Рамасвами; Саймон, Раджия (2002). "Преобразование Фолди – Ваутхойзена и схема квазипараксиального приближения для скалярной волновой теории световых пучков": физика / 0209082. arXiv:физика / 0209082. Bibcode:2002физика ... 9082K.
28. Хан, Самин Ахмед (2005). «Зависимые от длины волны модификации в оптике Гельмгольца». Международный журнал теоретической физики. 44 (1): 95–125. arXiv:физика / 0210001. Bibcode:2005IJTP ... 44 ... 95 тыс.. Дои:10.1007 / s10773-005-1488-0.
29. Хан, Самин Ахмед (2006). «Эффекты, зависящие от длины волны в световой оптике». В Красноголовце, Владимир; Колумб, Фрэнк (ред.). Новые темы в исследованиях квантовой физики. Нью-Йорк: Nova Science Publishers. С. 163–204.
30. Jagannathan, R .; Саймон, Р .; Сударшан, Э.; Мукунда, Н. (1989). «Квантовая теория магнитных электронных линз на основе уравнения Дирака» (PDF). Письма о физике A. 134 (8–9): 457–464. Bibcode:1989PhLA..134..457J. Дои:10.1016/0375-9601(89)90685-3.
31. Джаганнатан Р. (1990). «Квантовая теория электронных линз на основе уравнения Дирака». Физический обзор A. 42 (11): 6674–6689. Bibcode:1990PhRvA..42.6674J. Дои:10.1103 / PhysRevA.42.6674. PMID  9903968.
32. Хан, С. А. (1996). Квантовая теория оптики заряженных частиц. Достижения в области визуализации и электронной физики. 97. С. 257–358. Дои:10.1016 / S1076-5670 (08) 70096-X. ISBN  9780120147397.
33. Conte, M .; Jagannathan, R .; Хан, С. А .; Пустерла М. (1996). «Лучевая оптика дираковской частицы с аномальным магнитным моментом». Ускорители частиц. 56: 99–126.
34. Хан, Самин Ахмед (2006). «Техника преобразования Фолди – Ваутхайзена в оптике». Международный журнал оптики света и электронной оптики. 117 (10): 481–488. Bibcode:2006 Оптик.117..481К. Дои:10.1016 / j.ijleo.2005.11.010.
35. Хан, Самин Ахмед (2008). Техника преобразования Фолди – Ваутхайзена в оптике.. Достижения в области визуализации и электронной физики. 152. С. 49–78. Дои:10.1016 / S1076-5670 (08) 00602-2. ISBN  9780123742193.