Матричное представление уравнений Максвелла - Matrix representation of Maxwells equations - Wikipedia

В электромагнетизм, филиал фундаментальных физика, то матричные представления Уравнения Максвелла площадь формулировка уравнений Максвелла с помощью матрицы, сложные числа, и векторное исчисление. Эти представления предназначены для однородная среда, приближение в неоднородная среда. Матричное представление неоднородной среды было представлено с помощью пары матричных уравнений.^[1] Одно уравнение с использованием матриц 4 × 4 необходимо и достаточно для любой однородной среды. Для неоднородной среды это обязательно требует матриц 8 × 8.^[2]

Вступление

Уравнения Максвелла в стандартном формализме векторного исчисления в неоднородной среде с источниками:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {D} }\left({\mathbf {r} },t\right)=\rho \,\\&{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {H} }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {D} }\left({\mathbf {r} },t\right)={\mathbf {J} }\,\\&{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)=0\,\\&{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)=0\,.\end{aligned}}}$

Предполагается, что СМИ линейный, то есть

${\displaystyle {\mathbf {D} }=\varepsilon \mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$,

где скаляр ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)}$ это диэлектрическая проницаемость среды и скаляр ${\displaystyle \mu =\mu (\mathbf {r} ,t)}$ то проницаемость среды (видеть конститутивное уравнение ). Для однородной среды ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle \mu }$ являются константами. скорость света в среде дается

${\displaystyle v({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon ({\mathbf {r} },t)\,\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}}$.

В вакууме, ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\,}$8.85 × 10⁻¹² C²· N⁻¹· М⁻² и ${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \,}$× 10⁻⁷ H · м⁻¹

Один из возможных способов получить требуемое матричное представление - использовать Вектор Римана-Зильберштейна^[4][5] данный

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {F} }^{+}\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}\left[{\sqrt {\varepsilon ({\mathbf {r} },t)\,}}\,{\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right)+{\rm {i}}\,{\frac {1}{\sqrt {\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)\right]\\{\mathbf {F} }^{-}\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}\left[{\sqrt {\epsilon ({\mathbf {r} },t)\,}}\,{\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\rm {i}}\,{\frac {1}{\sqrt {\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)\right]\,.\end{aligned}}}$

Если для определенной среды ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)}$ и ${\displaystyle \mu =\mu (\mathbf {r} ,t)}$ являются скалярными константами (или могут рассматриваться как местный скалярные константы при определенных приближениях), то векторы ${\displaystyle {\mathbf {F} }^{\pm }(\mathbf {r} ,t)}$ удовлетворить

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {i}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\right)&=\pm v\,{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\frac {1}{\sqrt {2\epsilon \,}}}({\rm {i}}\,{\mathbf {J} })\\{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\varepsilon \,}}}(\rho )\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, используя вектор Римана-Зильберштейна, можно повторно выразить уравнения Максвелла для среды с постоянной ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)}$ и ${\displaystyle \mu =\mu (\mathbf {r} ,t)}$ как пара основных уравнений.

Однородная среда

Чтобы получить одно матричное уравнение вместо пары, следующие новые функции строятся с использованием компонентов вектора Римана-Зильберштейна^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi ^{+}({\mathbf {r} },t)&=\left[{\begin{array}{c}-F_{x}^{+}+{\rm {i}}F_{y}^{+}\\F_{z}^{+}\\F_{z}^{+}\\F_{x}^{+}+{\rm {i}}F_{y}^{+}\end{array}}\right]\,\quad \Psi ^{-}({\mathbf {r} },t)=\left[{\begin{array}{c}-F_{x}^{-}-{\rm {i}}F_{y}^{-}\\F_{z}^{-}\\F_{z}^{-}\\F_{x}^{-}-{\rm {i}}F_{y}^{-}\end{array}}\right]\,.\end{aligned}}}$

Векторы для источников:

${\displaystyle {\begin{aligned}W^{+}&=\left({\frac {1}{\sqrt {2\epsilon }}}\right)\left[{\begin{array}{c}-J_{x}+{\rm {i}}J_{y}\\J_{z}-v\rho \\J_{z}+v\rho \\J_{x}+{\rm {i}}J_{y}\end{array}}\right]\,\quad W^{-}=\left({\frac {1}{\sqrt {2\epsilon }}}\right)\left[{\begin{array}{c}-J_{x}-{\rm {i}}J_{y}\\J_{z}-v\rho \\J_{z}+v\rho \\J_{x}-{\rm {i}}J_{y}\end{array}}\right]\,.\end{aligned}}}$

Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ^{+}&=-v\left\{{\mathbf {M} }\cdot {\mathbf {\nabla } }\right\}\Psi ^{+}-W^{+}\,\\{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ^{-}&=-v\left\{{\mathbf {M} }^{*}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right\}\Psi ^{-}-W^{-}\,\end{aligned}}}$

где * обозначает комплексное сопряжение и тройка, M = [M_Икс, M_у, M_z] вектор, составляющими элементами которого являются абстрактные матрицы 4 × 4, заданные формулой

${\displaystyle M_{x}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle M_{y}={\rm {i}}{\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\+1&0&0&0\\0&+1&0&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle M_{z}={\begin{bmatrix}+1&0&0&0\\0&+1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\,.}$

Компонент M-матрицы могут быть сформированы с использованием:

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\mathbf {0} }&-{\mathbf {I} _{2}}\\{\mathbf {I} _{2}}&{\mathbf {0} }\end{bmatrix}}\,\qquad \beta ={\begin{bmatrix}{\mathbf {I} _{2}}&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&-{\mathbf {I} _{2}}\end{bmatrix}}\,,}$

куда ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,,}$

откуда получаем:

${\displaystyle M_{x}=-\beta \Omega ,\qquad M_{y}={\rm {i}}\Omega ,\qquad M_{z}=\beta \,.}$

В качестве альтернативы можно использовать матрицу ${\displaystyle J=-\Omega \,.}$ Которые отличаются только знаком. Для наших целей можно использовать либо Ω, либо J. Однако они имеют другое значение: J является контравариантный и Ω есть ковариантный. Матрице Ω соответствует Скобки Лагранжа из классическая механика и J соответствует Скобки Пуассона.

Обратите внимание на важное соотношение ${\displaystyle \Omega =J^{-1}\,.}$

Каждое из четырех уравнений Максвелла получается из матричного представления. Это делается путем взятия сумм и разностей строки I с строкой IV и строки II с строкой III соответственно. Первые три дают у, Икс, и z компоненты завиток а последний дает расхождение условия.

В матрицы M все неособый и все Эрмитский. Более того, они удовлетворяют обычным (кватернион -подобная) алгебра Матрицы Дирака, включая,

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{x}M_{z}=-M_{z}M_{x}\,\\M_{y}M_{z}=-M_{z}M_{y}\,\\\\M_{x}^{2}=M_{y}^{2}=M_{z}^{2}=I\,\\\\M_{x}M_{y}=-M_{y}M_{x}={\rm {i}}M_{z}\,\\M_{y}M_{z}=-M_{z}M_{y}={\rm {i}}M_{x}\,\\M_{z}M_{x}=-M_{x}M_{z}={\rm {i}}M_{y}\,.\end{aligned}}}$

(Ψ^±, M) находятся нет уникальный. Различные варианты Ψ^± приведет к разным M, такие что тройка M продолжает удовлетворять алгебре матриц Дирака. Ψ^± через вектор Римана-Зильберштейна имеет определенные преимущества перед другими возможными вариантами.^[7] Вектор Римана-Зильберштейна хорошо известен в классическая электродинамика и имеет определенные интересные свойства и возможности использования.^[7]

При выводе вышеупомянутого матричного представления 4 × 4 уравнений Максвелла пространственные и временные производные ε (р, т) и μ (р, т) в первых двух уравнениях Максвелла не учитывались. Ε и μ рассматривались как местный константы.

Неоднородная среда

В неоднородной среде пространственные и временные вариации ε = ε (р, т) и μ = μ (р, т) не равны нулю. То есть их больше нет местный постоянный. Вместо использования ε = ε (р, т) и μ = μ (р, т) выгодно использовать два производных лабораторные функции а именно функция сопротивления и функция скорости

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ Velocity function:}}\,v({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{\sqrt {\epsilon ({\mathbf {r} },t)\mu ({\mathbf {r} },t)}}}\\{\text{Resistance function:}}\,h({\mathbf {r} },t)&={\sqrt {\frac {\mu ({\mathbf {r} },t)}{\epsilon ({\mathbf {r} },t)}}}\,.\end{aligned}}}$

Что касается этих функций:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{vh}}\,,\quad \mu ={\frac {h}{v}}}$.

Эти функции входят в матричное представление через свои логарифмические производные;

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {u} }({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{2v({\mathbf {r} },t)}}{\mathbf {\nabla } }v({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln v({\mathbf {r} },t)\right\}=-{\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln n({\mathbf {r} },t)\right\}\\{\mathbf {w} }({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{2h({\mathbf {r} },t)}}{\mathbf {\nabla } }h({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln h({\mathbf {r} },t)\right\}\,\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle n({\mathbf {r} },t)={\frac {c}{v({\mathbf {r} },t)}}}$

это показатель преломления среды.

Следующие матрицы естественным образом возникают в точном матричном представлении уравнения Максвелла в среде

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {\Sigma } }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {\sigma } }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {\sigma } }\end{array}}\right]\,\qquad {\mathbf {\alpha } }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {0} }&{\mathbf {\sigma } }\\{\mathbf {\sigma } }&{\mathbf {0} }\end{array}}\right]\,\qquad {\mathbf {I} }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {1} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {1} }\end{array}}\right]\,\end{aligned}}}$

куда Σ являются Матрицы спина Дирака и α матрицы, используемые в Уравнение Дирака, и σ это тройка Матрицы Паули

${\displaystyle {\mathbf {\sigma } }=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})=\left[{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-{\rm {i}}\\{\rm {i}}&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right]}$

Наконец, матричное представление

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]-{\frac {{\dot {v}}({\mathbf {r} },t)}{2v({\mathbf {r} },t)}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]+{\frac {{\dot {h}}({\mathbf {r} },t)}{2h({\mathbf {r} },t)}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {0} }&{\rm {i}}\beta \alpha _{y}\\{\rm {i}}\beta \alpha _{y}&{\mathbf {0} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]\\&=-v({\mathbf {r} },t)\left[{\begin{array}{ccc}\left\{{\mathbf {M} }\cdot {\mathbf {\nabla } }+{\mathbf {\Sigma } }\cdot {\mathbf {u} }\right\}&&-{\rm {i}}\beta \left({\mathbf {\Sigma } }\cdot {\mathbf {w} }\right)\alpha _{y}\\-{\rm {i}}\beta \left({\mathbf {\Sigma } }^{*}\cdot {\mathbf {w} }\right)\alpha _{y}&\left\{{\mathbf {M} }^{*}\cdot {\mathbf {\nabla } }+{\mathbf {\Sigma } }^{*}\cdot {\mathbf {u} }\right\}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]-\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}W^{+}\\W^{-}\end{array}}\right]\,\end{aligned}}}$

Вышеупомянутое представление содержит тринадцать матриц 8 × 8. Десять из них Эрмитский. Исключительные - это те, которые содержат три компонента ш(р, т), логарифмический градиент функции сопротивления. Эти три матрицы для функции сопротивления: антиэрмитский.

Уравнения Максвелла представлены в матричной форме для среды с переменной диэлектрической проницаемостью ε = ε (р, т) и проницаемости μ = μ (р, т), при наличии источников. Это представление использует одно матричное уравнение вместо пара матричных уравнений. В этом представлении с использованием матриц 8 × 8 удалось разделить зависимость связи между верхними компонентами (Ψ⁺) и нижние компоненты (Ψ⁻) через две лабораторные функции. Более того, точное матричное представление имеет алгебраическую структуру, очень похожую на уравнение Дирака.^[8] Уравнения Максвелла могут быть получены из Принцип Ферма из геометрическая оптика методом "завивки"^{[требуется разъяснение ]} аналогично квантование из классическая механика.^[9]

Приложения

Одним из первых применений матричных форм уравнений Максвелла было изучение определенных симметрий и сходства с уравнением Дирака.

Матричная форма уравнений Максвелла используется в качестве кандидата в Волновая функция фотона.^[10]

Исторически сложилось так, что геометрическая оптика основан на Принцип наименьшего времени Ферма. Геометрическая оптика может быть полностью выведена из уравнений Максвелла. Традиционно это делается с помощью Уравнение Гельмгольца. Вывод уравнения Гельмгольца из Уравнения Максвелла является приближением, поскольку не учитываются пространственные и временные производные диэлектрической проницаемости и проницаемости среды. Был разработан новый формализм оптики светового пучка, начиная с уравнений Максвелла в матричной форме: единый объект, содержащий все четыре уравнения Максвелла. Такой рецепт, несомненно, обеспечит более глубокое понимание оптики пучка и поляризация единым образом.^[11]Оптический гамильтониан пучка, полученный из этого матричного представления, имеет алгебраическую структуру, очень похожую на Уравнение Дирака, делая его поддающимся Техника Foldy-Wouthuysen.^[12] Этот подход очень похож на подход, разработанный в квантовой теории оптики пучков заряженных частиц.^[13]

Рекомендации

Примечания

1. (Бялыницкий-Бирула, 1994, 1996a, 1996b)
2. (Хан, 2002, 2005)
3. (Джексон, 1998; Панофски и Филлипс, 1962)
4. Зильберштейн (1907a, 1907b)
5. Бялыницкий-Бирула (1996b)
6. Хан (2002, 2005)
7. Бялыницкий-Бирула (1996b)
8. (Хан, 2002, 2005)
9. (Прадхан, 1987)
10. (Бялыницкий-Бирула, 1996b)
11. (Хан, 2006b, 2010)
12. (Хан, 2006а, 2008)
13. (Джаганнатан и др., 1989, Джаганнатан, 1990, Джаганнатан и Хан 1996, Хан, 1997)

Другие

• Бялыницкий-Бирула, И. (1994). О волновой функции фотона. Acta Physica Polonica A, 86, 97-116.
• Бялыницкий-Бирула, И. (1996a). Волновая функция фотона. В Когерентность и квантовая оптика VII.. Эберли, Дж. Х., Мандель, Л. и Эмиль Вольф (ред.), Plenum Press, Нью-Йорк, 313.
• Bialynicki-Birula, I. (1996b). Волновая функция фотона. в Прогресс в оптике, Vol. XXXVI, Эмиль Вольф. (ред.), Эльзевир, Амстердам, 245-294.
• Джексон, Дж. Д. (1998). Классическая электродинамика, Третье издание, John Wiley & Sons.
• Джаганнатан, Р., (1990). Квантовая теория электронных линз на основе уравнения Дирака. Физический обзор A, 42, 6674-6689.
• Джаганнатан, Р. и Хан, С.А. (1996). Квантовая теория оптики заряженных частиц. В Хоуксе Питере, W. (ред.), Достижения в области визуализации и электронной физики, Vol. 97, Academic Press, Сан-Диего, стр. 257–358.
• Джаганнатан, Р., Саймон, Р., Сударшан, Э. и Мукунда, Н. (1989). Квантовая теория магнитных электронных линз на основе уравнения Дирака. Письма о физике A 134, 457-464.
• Хан, С.А. (1997). Квантовая теория оптики пучков заряженных частиц, Кандидатская диссертация, Мадрасский университет, Ченнаи, Индия. (полная диссертация доступна по адресу Dspace библиотеки IMSc, Институт математических наук, где выполнялась докторская работа).
• Самин Ахмед Хан. (2002). Maxwell Optics: I. Точное матричное представление уравнений Максвелла в среде.. Электронная печать: https://arxiv.org/abs/physics/0205083/.
• Самин Ахмед Хан. (2005). Точное матричное представление уравнений Максвелла. Physica Scripta, 71(5), 440-442.
• Самин Ахмед Хан. (2006a). Техника преобразования Фолди-Ваутхайзена в оптике. Оптик-Международный журнал световой и электронной оптики. 117(10), стр. 481–488. http://www.elsevier-deutschland.de/ijleo/.
• Самин Ахмед Хан. (2006b). Эффекты, зависящие от длины волны в световой оптике. в Новые темы в исследованиях квантовой физики, Редакторы: Владимир Красноголовец и Франк Колумб, Издательство Nova Science, Нью-Йорк, стр. 163–204. (ISBN  1600210287 и ISBN  978-1600210280).
• Самин Ахмед Хан. (2008). Техника преобразования Фолди-Ваутхайзена в оптике, В Хоукс Питер, W. (ред.), Достижения в области визуализации и электронной физики, Vol. 152, Эльзевир, Амстердам, стр. 49–78. (ISBN  0123742196 и ISBN  978-0-12-374219-3).
• Самин Ахмед Хан. (2010). Максвелловская оптика квазипараксиальных пучков., Оптик-Международный журнал световой и электронной оптики, 121(5), 408-416. (http://www.elsevier-deutschland.de/ijleo/ ).
• Лапорт, О., и Уленбек, Г.Э. (1931). Приложения спинорного анализа к уравнениям Максвелла и Дирака. Физический обзор, 37, 1380-1397.
• Майорана, Э. (1974). (неопубликованные примечания), цитируется по Миньяни Р., Реками Э. и Бальдо М. Об уравнении для фотона, подобном Дираку, по Этторе Майорана. Lettere al Nuovo Cimento, 11, 568-572.
• Моисей Э. (1959). Решения уравнений Максвелла в терминах спинорной записи: прямая и обратная задачи. Физический обзор, 113(6), 1670-1679.
• Панофски, В.К., и Филлипс, М. (1962). Классическое электричество и магнетизм, Addison-Wesley Publishing Company, Рединг, Массачусетс, США.
• Прадхан, Т.. (1987). Уравнения Максвелла из геометрической оптики. IP / BBSR / 87-15; Письма о физике A 122(8), 397-398.
• Людвиг Зильберштейн. (1907а). Elektromagnetische Grundgleichungen in bivektorieller Behandlung, Анна. Phys. (Лейпциг), 22, 579-586.
• Людвиг Зильберштейн. (1907b). Nachtrag zur Abhandlung ber Elektromagnetische Grundgleichungen in bivektorieller Behandlung. Анна. Phys. (Лейпциг), 24, 783-784.

внешняя ссылка