Поляризация фотона - Photon polarization

Поляризация фотона это квантово-механический описание классический поляризованный синусоидальный самолет электромагнитная волна. Индивидуальный фотон можно описать как имеющую правую или левую круговая поляризация, или суперпозиция из двух. Эквивалентно фотон можно описать как имеющий горизонтальный или вертикальный линейная поляризация, или их суперпозиция.

Описание поляризации фотона содержит многие физические концепции и большую часть математического аппарата более сложных квантовых описаний, таких как квантовая механика электрона в потенциальной яме. Поляризация - это пример кубит степень свободы, которая составляет фундаментальную основу для понимания более сложных квантовых явлений. Большая часть математического аппарата квантовой механики, например векторы состояния, амплитуды вероятности, унитарные операторы, и Эрмитовы операторы, естественно возникают из классических Уравнения Максвелла в описании. Квантовый вектор состояния поляризации для фотона, например, идентичен Вектор Джонса, обычно используется для описания поляризации классического волна. Унитарные операторы возникают из классического требования сохранение энергии классической волны, распространяющейся через среду без потерь, которая изменяет состояние поляризации волны. Затем эрмитовы операторы следуют за инфинитезимальными преобразованиями классического поляризационного состояния.

Многие выводы математического аппарата легко проверяются экспериментально. Фактически, многие эксперименты можно проводить с поляроид линзы солнцезащитных очков.

Связь с квантовой механикой осуществляется путем определения минимального размера пакета, называемого фотон, для энергии в электромагнитном поле. Идентификация основана на теориях Планк и интерпретация этих теорий Эйнштейн. В принцип соответствия затем позволяет идентифицировать импульс и угловой момент (называемый вращение ), а также энергии с фотоном.

Поляризация классических электромагнитных волн

Основная статья: Поляризация (волны)

Состояния поляризации

Линейная поляризация

Основная статья: Линейная поляризация

Влияние поляризатора на отражение от грязевых отмелей. На первом изображении поляризатор повернут, чтобы минимизировать эффект; во втором он поворачивается на 90 ° для максимального увеличения: почти весь отраженный солнечный свет устраняется.

Волна линейно поляризована (или плоско поляризована), когда фазовые углы${displaystyle alpha _{x}^{},alpha _{y}}$ находятся равный,

${displaystyle alpha _{x}=alpha _{y} {stackrel {mathrm {def} }{=}} alpha .}$

Это представляет собой волну с фаза ${displaystyle alpha }$ поляризованный под углом ${displaystyle heta }$ относительно оси x. В этом случае вектор Джонса

${displaystyle |psi angle ={egin{pmatrix}cos heta exp left(ialpha _{x}ight)sin heta exp left(ialpha _{y}ight)end{pmatrix}}}$

можно записать с одной фазой:

${displaystyle |psi angle ={egin{pmatrix}cos heta sin heta end{pmatrix}}exp left(ialpha ight).}$

Векторы состояния для линейной поляризации по x или y являются частными случаями этого вектора состояния.

Если единичные векторы определены так, что

${displaystyle |xangle {stackrel {mathrm {def} }{=}} {egin{pmatrix}1�end{pmatrix}}}$

и

${displaystyle |yangle {stackrel {mathrm {def} }{=}} {egin{pmatrix}01end{pmatrix}}}$

то состояние линейно поляризованной поляризации можно записать в "базисе x-y" как

${displaystyle |psi angle =cos heta exp left(ialpha ight)|xangle +sin heta exp left(ialpha ight)|yangle =psi _{x}|xangle +psi _{y}|yangle .}$

Круговая поляризация

Основная статья: Круговая поляризация

Если фазовые углы ${displaystyle alpha _{x}}$ и ${displaystyle alpha _{y}}$ отличаться точно ${displaystyle pi /2}$ а амплитуда x равна амплитуде y, волна циркулярно поляризованный. Тогда вектор Джонса принимает вид

${displaystyle |psi angle ={frac {1}{sqrt {2}}}{egin{pmatrix}1pm iend{pmatrix}}exp left(ialpha _{x}ight)}$

где знак плюс указывает на правую круговую поляризацию, а знак минус указывает на левую круговую поляризацию. В случае круговой поляризации вектор электрического поля постоянной величины вращается в плоскости x-y.

Если единичные векторы определены так, что

${displaystyle |Rangle {stackrel {mathrm {def} }{=}} {1 over {sqrt {2}}}{egin{pmatrix}1iend{pmatrix}}}$

и

${displaystyle |Langle {stackrel {mathrm {def} }{=}} {1 over {sqrt {2}}}{egin{pmatrix}1-iend{pmatrix}}}$

то произвольное состояние поляризации можно записать в "базисе R-L" как

${displaystyle |psi angle =psi _{R}|Rangle +psi _{L}|Langle }$

куда

${displaystyle psi _{R}=langle R|psi angle ={frac {1}{sqrt {2}}}(cos heta exp(ialpha _{x})-isin heta exp(ialpha _{y}))}$

и

${displaystyle psi _{L}=langle L|psi angle ={frac {1}{sqrt {2}}}(cos heta exp(ialpha _{x})+isin heta exp(ialpha _{y})).}$

Мы видим, что

${displaystyle 1=|psi _{R}|^{2}+|psi _{L}|^{2}.}$

Эллиптическая поляризация

Основная статья: Эллиптическая поляризация

Общий случай, когда электрическое поле вращается в плоскости x-y и имеет переменную величину, называется эллиптическая поляризация. Вектор состояния определяется выражением

${displaystyle |psi angle {stackrel {mathrm {def} }{=}} {egin{pmatrix}psi _{x}psi _{y}end{pmatrix}}={egin{pmatrix}cos heta exp left(ialpha _{x}ight)sin heta exp left(ialpha _{y}ight)end{pmatrix}}.}$

Геометрическая визуализация произвольного состояния поляризации

Чтобы понять, как выглядит состояние поляризации, можно наблюдать орбиту, которая образуется, если состояние поляризации умножается на фазовый коэффициент ${displaystyle e^{iomega t}}$ а затем интерпретировать реальные части его компонентов как координаты x и y соответственно. То есть:

${displaystyle {egin{pmatrix}x(t)y(t)end{pmatrix}}={egin{pmatrix}Re (e^{iomega t}psi _{x})Re (e^{iomega t}psi _{y})end{pmatrix}}=Re left[e^{iomega t}{egin{pmatrix}psi _{x}psi _{y}end{pmatrix}}ight]=Re left(e^{iomega t}|psi angle ight).}$

Если бы только очерченная форма и направление вращения (Икс(т), у(т)) учитывается при интерпретации состояния поляризации, т.е. только

${displaystyle M(|psi angle )=left.left{{Big (}x(t),,y(t){Big )},ight|,forall ,tight}}$

(куда Икс(т) и у(т) определены, как указано выше) и имеет ли он в целом более правую или левую циркулярную поляризацию (т.е. |ψ_р| > |ψ_L| или наоборот), можно видеть, что физическая интерпретация будет такой же, даже если состояние умножить на произвольный фазовый коэффициент, поскольку

${displaystyle M(e^{ialpha }|psi angle )=M(|psi angle ), alpha in mathbb {R} }$

и направление вращения останется прежним. Другими словами, нет физической разницы между двумя состояниями поляризации. ${displaystyle |psi angle }$ и ${displaystyle e^{ialpha }|psi angle }$, между которыми различается только фазовый коэффициент.

Видно, что для линейно поляризованного состояния M будет линией в плоскости xy, длиной 2 и ее серединой в начале координат, а наклон которой равен загар (θ). Для состояния с круговой поляризацией M будет круг с радиусом 1/√2 и с серединой в начале координат.

Энергия, импульс и угловой момент классической электромагнитной волны

Плотность энергии классических электромагнитных волн

Энергия в плоской волне

Основная статья: Плотность энергии

В энергия на единицу объема в классических электромагнитных полях есть (единицы cgs), а также единица Планка

${displaystyle {mathcal {E}}_{c}={frac {1}{8pi }}left[mathbf {E} ^{2}(mathbf {r} ,t)+mathbf {B} ^{2}(mathbf {r} ,t)ight].}$

Для плоской волны это становится

${displaystyle {mathcal {E}}_{c}={frac {mid mathbf {E} mid ^{2}}{8pi }}}$

где энергия была усреднена по длине волны.

Доля энергии в каждом компоненте

Доля энергии в x-компоненте плоской волны равна

${displaystyle f_{x}={frac {mid mathbf {E} mid ^{2}cos ^{2} heta }{mid mathbf {E} mid ^{2}}}=psi _{x}^{*}psi _{x}=cos ^{2} heta }$

с аналогичным выражением для компонента y, что приводит к ${displaystyle f_{y}=sin ^{2} heta }$.

Доля в обоих компонентах равна

${displaystyle psi _{x}^{*}psi _{x}+psi _{y}^{*}psi _{y}=langle psi |psi angle =1.}$

Плотность импульса классических электромагнитных волн

Плотность импульса определяется Вектор Пойнтинга

${displaystyle {oldsymbol {mathcal {P}}}={1 over 4pi c}mathbf {E} (mathbf {r} ,t) imes mathbf {B} (mathbf {r} ,t).}$

Для синусоидальной плоской волны, распространяющейся в направлении z, импульс находится в направлении z и связан с плотностью энергии:

${displaystyle {mathcal {P}}_{z}c={mathcal {E}}_{c}.}$

Плотность импульса была усреднена по длине волны.

Плотность углового момента классических электромагнитных волн

Электромагнитные волны могут иметь как орбитальный и вращение угловой момент.^[1] Полная плотность углового момента равна^{[сомнительный ]}

${displaystyle {oldsymbol {mathcal {L}}}=mathbf {r} imes {oldsymbol {mathcal {P}}}={1 over 4pi c}mathbf {r} imes left[mathbf {E} (mathbf {r} ,t) imes mathbf {B} (mathbf {r} ,t)ight].}$

Для синусоидальной плоской волны, распространяющейся вдоль ${displaystyle z}$ По оси орбитальный угловой момент равен нулю. Плотность спинового углового момента находится в ${displaystyle z}$ направление и дается

${displaystyle {mathcal {L}}={{mid mathbf {E} mid ^{2}} over {8pi omega }}left(mid langle R|psi angle mid ^{2}-mid langle L|psi angle mid ^{2}ight)={1 over omega }{mathcal {E}}_{c}left(mid psi _{R}mid ^{2}-mid psi _{L}mid ^{2}ight)}$

где снова плотность усредняется по длине волны.

Оптические фильтры и кристаллы

Прохождение классической волны через поляроидный фильтр

Линейная поляризация

А линейный фильтр передает одну составляющую плоской волны и поглощает перпендикулярную составляющую. В том случае, если фильтр поляризован в направлении x, доля энергии, проходящей через фильтр, равна

${displaystyle f_{x}=psi _{x}^{*}psi _{x}=cos ^{2} heta .,}$

Пример сохранения энергии: прохождение классической волны через двулучепреломляющий кристалл

Идеальный двулучепреломляющий кристалл преобразует состояние поляризации электромагнитной волны без потери энергии волны. Таким образом, двулучепреломляющие кристаллы представляют собой идеальный испытательный стенд для изучения консервативного преобразования состояний поляризации. Несмотря на то, что это рассмотрение все еще является чисто классическим, естественным образом появляются стандартные квантовые инструменты, такие как унитарные и эрмитовы операторы, которые развивают состояние во времени.

Начальное и конечное состояния

Кристалл с двойным лучепреломлением - это материал, имеющий оптическая ось с тем свойством, что свет имеет другой показатель преломления для света, поляризованного параллельно оси, чем для света, поляризованного перпендикулярно оси. Свет, поляризованный параллельно оси, называют "необыкновенные лучи" или же "необычные фотоны", а свет, поляризованный перпендикулярно оси, называются"обычные лучи" или же "обычные фотоны". Если на кристалл падает линейно поляризованная волна, необычный компонент волны выйдет из кристалла с фазой, отличной от фазы обычного компонента. На математическом языке, если падающая волна линейно поляризована под углом ${displaystyle heta }$ относительно оптической оси вектор падающего состояния можно записать

${displaystyle |psi angle ={egin{pmatrix}cos heta sin heta end{pmatrix}}}$

а вектор состояния возникающей волны можно записать в виде

${displaystyle |psi 'angle ={egin{pmatrix}cos heta exp left(ialpha _{x}ight)sin heta exp left(ialpha _{y}ight)end{pmatrix}}={egin{pmatrix}exp left(ialpha _{x}ight)&0�&exp left(ialpha _{y}ight)end{pmatrix}}{egin{pmatrix}cos heta sin heta end{pmatrix}} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {hat {U}}|psi angle .}$

В то время как начальное состояние было линейно поляризованным, конечное состояние поляризовано эллиптически. Кристалл двойного лучепреломления изменяет характер поляризации.

Дуал конечного состояния

Кристалл кальцита положен на бумагу с несколькими буквами, показывающими двойное лучепреломление.

Начальное состояние поляризации переходит в конечное состояние с оператор U. Дуал конечного состояния дается формулой

${displaystyle langle psi '|=langle psi |{hat {U}}^{dagger }}$

куда ${displaystyle U^{dagger }}$ это прилегающий матрицы U комплексно сопряженное транспонирование матрицы.

Унитарные операторы и сохранение энергии

Доля энергии, которая выходит из кристалла, равна

${displaystyle langle psi '|psi 'angle =langle psi |{hat {U}}^{dagger }{hat {U}}|psi angle =langle psi |psi angle =1.}$

В этом идеальном случае вся энергия, падающая на кристалл, исходит из кристалла. Оператор U со свойством

${displaystyle {hat {U}}^{dagger }{hat {U}}=I,}$

где я оператор идентификации а U называется унитарный оператор. Унитарное имущество необходимо для обеспечения энергосбережение в государственных преобразованиях.

Эрмитовы операторы и сохранение энергии

Дважды преломляющий кальцит из заявления Айсберга, Диксон, Нью-Мексико. Этот кристалл весом 35 фунтов (16 кг), выставленный на выставке Национальный музей естественной истории, является одним из крупнейших монокристаллов в США.

Если кристалл очень тонкий, конечное состояние будет лишь немного отличаться от исходного состояния. Унитарный оператор будет близок к тождественному оператору. Мы можем определить оператор H как

${displaystyle {hat {U}}approx I+i{hat {H}}}$

и присоединенный

${displaystyle {hat {U}}^{dagger }approx I-i{hat {H}}^{dagger }.}$

Тогда для сохранения энергии требуется

${displaystyle I={hat {U}}^{dagger }{hat {U}}approx left(I-i{hat {H}}^{dagger }ight)left(I+i{hat {H}}ight)approx I-i{hat {H}}^{dagger }+i{hat {H}}.}$

Это требует, чтобы

${displaystyle {hat {H}}={hat {H}}^{dagger }.}$

Такие операторы, которые равны своим сопряженным, называются Эрмитский или самосопряженный.

Бесконечно малый переход состояния поляризации есть

${displaystyle |psi 'angle -|psi angle =i{hat {H}}|psi angle .}$

Таким образом, сохранение энергии требует, чтобы бесконечно малые преобразования состояния поляризации происходили под действием эрмитова оператора.

Фотоны: связь с квантовой механикой

Основная статья: Фотон

Энергия, импульс и угловой момент фотонов

Энергия

Лечение до этого момента было классический. Однако это свидетельство общности Уравнения Максвелла для электродинамики, что лечение может быть произведено квантово-механический только с новой интерпретацией классических величин. Переосмысление основано на теориях Макс Планк и интерпретация Альберт Эйнштейн этих теорий и других экспериментов.^{[нужна цитата ]}

Вывод Эйнштейна из ранних экспериментов с фотоэлектрический эффект заключается в том, что электромагнитное излучение состоит из неприводимых пакетов энергии, известных как фотоны. Энергия каждого пакета связана с угловой частотой волны соотношением

${displaystyle epsilon =hbar omega }$

куда ${displaystyle hbar }$ - экспериментально определенная величина, известная как Постоянная планка. Если есть ${displaystyle N}$ фотоны в ящике объема ${displaystyle V}$, энергия в электромагнитном поле равна

${displaystyle Nhbar omega }$

а плотность энергии равна

${displaystyle {Nhbar omega over V}}$

В энергия фотона можно связать с классическими полями через принцип соответствия который утверждает, что для большого числа фотонов квантовая и классическая трактовки должны согласовываться. Таким образом, для очень больших ${displaystyle N}$, плотность квантовой энергии должна быть такой же, как классическая плотность энергии

${displaystyle {Nhbar omega over V}={mathcal {E}}_{c}={frac {mid mathbf {E} mid ^{2}}{8pi }}.}$

Тогда количество фотонов в коробке равно

${displaystyle N={frac {V}{8pi hbar omega }}mid mathbf {E} mid ^{2}.}$

Импульс

Принцип соответствия также определяет импульс и угловой момент фотона. Для импульса

${displaystyle {mathcal {P}}_{z}={Nhbar omega over cV}={Nhbar k_{z} over V}}$

куда ${displaystyle k_{z}}$ - волновое число. Это означает, что импульс фотона равен

${displaystyle p_{z}=hbar k_{z}.,}$

Угловой момент и спин

Аналогично для спинового углового момента

${displaystyle {mathcal {L}}={1 over omega }{mathcal {E}}_{c}left(mid psi _{R}mid ^{2}-mid psi _{L}mid ^{2}ight)={Nhbar over V}left(mid psi _{R}mid ^{2}-mid psi _{L}mid ^{2}ight)}$

где Ec - напряженность поля. Это означает, что спиновый угловой момент фотона равен

${displaystyle l_{z}=hbar left(mid psi _{R}mid ^{2}-mid psi _{L}mid ^{2}ight).}$

квантовая интерпретация этого выражения состоит в том, что фотон имеет вероятность ${displaystyle mid psi _{R}mid ^{2}}$ иметь спиновый угловой момент ${displaystyle hbar }$ и вероятность ${displaystyle mid psi _{L}mid ^{2}}$ иметь спиновый угловой момент ${displaystyle -hbar }$. Следовательно, мы можем думать о спиновом угловом моменте квантованного фотона, а также об энергии. Угловой момент классического света подтвержден.^[2] Линейно поляризованный фотон (плоско поляризованный) находится в суперпозиции равных количеств левого и правого состояний.

Оператор вращения

В вращение фотона определяется как коэффициент ${displaystyle hbar }$ в расчете спинового углового момента. Фотон имеет спин 1, если он находится в ${displaystyle |Rangle }$ состояние и -1, если он находится в ${displaystyle |Langle }$ государственный. Оператор вращения определяется как внешний продукт

${displaystyle {hat {S}} {stackrel {mathrm {def} }{=}} |Rangle langle R|-|Langle langle L|={egin{pmatrix}0&-ii&0end{pmatrix}}.}$

В собственные векторы оператора спина ${displaystyle |Rangle }$ и ${displaystyle |Langle }$ с собственные значения 1 и -1 соответственно.

Ожидаемое значение измерения спина фотона тогда будет

${displaystyle langle psi |{hat {S}}|psi angle =mid psi _{R}mid ^{2}-mid psi _{L}mid ^{2}.}$

Оператор S был связан с наблюдаемой величиной, спиновым угловым моментом. Собственные значения оператора - это допустимые наблюдаемые значения. Это было продемонстрировано для спинового углового момента, но в целом это верно для любой наблюдаемой величины.

Спиновые состояния

Смотрите также: Круговая поляризация § Квантовая механика

Мы можем записать состояния с круговой поляризацией как

${displaystyle |sangle }$

где s = 1 для ${displaystyle |Rangle }$ и s = -1 для ${displaystyle |Langle }$. Произвольное состояние можно записать

${displaystyle |psi angle =sum _{s=-1,1}a_{s}exp left(ialpha _{x}-is heta ight)|sangle }$

куда ${displaystyle alpha _{1}}$ и ${displaystyle alpha _{-1}}$ - фазовые углы, θ - угол поворота системы отсчета, и

${displaystyle sum _{s=-1,1}mid a_{s}mid ^{2}=1.}$

Операторы спина и углового момента в дифференциальной форме

Когда состояние записывается в спиновой записи, оператор спина может быть записан

${displaystyle {hat {S}}_{d}ightarrow i{partial over partial heta }}$

${displaystyle {hat {S}}_{d}^{dagger }ightarrow -i{partial over partial heta }.}$

Собственные векторы дифференциального оператора спина равны

${displaystyle exp left(ialpha _{x}-is heta ight)|sangle .}$

Чтобы увидеть эту заметку

${displaystyle {hat {S}}_{d}exp left(ialpha _{x}-is heta ight)|sangle ightarrow i{partial over partial heta }exp left(ialpha _{x}-is heta ight)|sangle =sleft[exp left(ialpha _{x}-is heta ight)|sangle ight].}$

Оператор спинового углового момента имеет вид

${displaystyle {hat {l}}_{z}=hbar {hat {S}}_{d}.}$

Природа вероятности в квантовой механике

Вероятность одиночного фотона

Есть два способа применить вероятность к поведению фотонов; Вероятность может использоваться для вычисления вероятного числа фотонов в конкретном состоянии, или вероятность может использоваться для расчета вероятности того, что отдельный фотон находится в определенном состоянии. Первая интерпретация нарушает энергосбережение.^{[нужна цитата ]}. Последняя интерпретация является жизнеспособным, хотя и не интуитивным вариантом. Дирак объясняет это в контексте двухщелевой эксперимент:

За некоторое время до открытия квантовой механики люди осознали, что связь между световыми волнами и фотонами должна носить статистический характер. Однако они четко не осознавали, что волновая функция дает информацию о вероятности один фотон находится в определенном месте, а не вероятное количество фотонов в этом месте^{[сомнительный ]}. Важность различия можно пояснить следующим образом. Предположим, у нас есть луч света, состоящий из большого количества фотонов, разделенных на два компонента равной интенсивности. Если предположить, что луч связан с вероятным числом фотонов в нем, мы должны иметь половину общего числа, попадающего в каждый компонент. Если теперь заставить два компонента интерферировать, мы должны потребовать, чтобы фотон в одном компоненте мог интерферировать друг с другом. Иногда эти два фотона должны были бы аннигилировать друг друга, а иногда они должны были бы произвести четыре фотона. Это противоречило бы закону сохранения энергии. Новая теория, которая связывает волновую функцию с вероятностями для одного фотона, преодолевает трудности, заставляя каждый фотон частично входить в каждый из двух компонентов. Тогда каждый фотон мешает только самому себе. Интерференции между двумя разными фотонами никогда не возникает^{[сомнительный ]}.
—Пол Дирак, Принципы квантовой механики, Четвертое издание, глава 1

Амплитуды вероятности

Вероятность того, что фотон находится в определенном состоянии поляризации, зависит от полей, рассчитанных по классическим уравнениям Максвелла. Состояние поляризации фотона пропорционально полю. Сама вероятность квадратична по полям и, следовательно, также квадратична в квантовом состоянии поляризации. Таким образом, в квантовой механике состояние или амплитуда вероятности содержит основную информацию о вероятности. В целом правила объединения амплитуд вероятностей очень похожи на классические правила композиции вероятностей: [следующая цитата из Байма, глава 1]^{[требуется разъяснение ]}

1. Амплитуда вероятностей для двух последовательных вероятностей - это произведение амплитуд индивидуальных возможностей. Например, амплитуда x-поляризованного фотона должна быть правильно циркулярно поляризована и для прохождения фотона с правой круговой поляризацией через y-поляроид ${displaystyle langle R|xangle langle y|Rangle ,}$ произведение индивидуальных амплитуд.
2. Амплитуда процесса, который может происходить в одном из нескольких неотличимый Пути - это сумма амплитуд для каждого отдельного пути. Например, полная амплитуда для x-поляризованного фотона, проходящего через y-поляроид, является суммой амплитуд, чтобы он прошел как фотон с правой круговой поляризацией, ${displaystyle langle y|Rangle langle R|xangle ,}$ плюс амплитуда, чтобы он прошел как левый циркулярно поляризованный фотон, ${displaystyle langle y|Langle langle L|xangle dots }$
3. Полная вероятность возникновения процесса - это квадрат абсолютного значения полной амплитуды, рассчитанной с помощью 1 и 2.

Принцип неопределенности

Основная статья: Принцип неопределенности

Неравенство Коши – Шварца в евклидовом пространстве. ${displaystyle mathbf {V} cdot mathbf {W} =|mathbf {V} ||mathbf {W} |cos a.}$ Из этого следует ${displaystyle mathbf {V} cdot mathbf {W} leq |mathbf {V} ||mathbf {W} |.}$

Математическая подготовка

Для любых юридических^{[требуется разъяснение ]} операторами следующее неравенство, являющееся следствием Неравенство Коши – Шварца, правда.

${displaystyle {frac {1}{4}}|langle ({hat {A}}{hat {B}}-{hat {B}}{hat {A}})x|xangle |^{2}leq |{hat {A}}x|^{2}|{hat {B}}x|^{2}.}$

Если Б А ψ и А Б ψ определены, затем, вычитая средние и снова вставляя в приведенную выше формулу, мы выводим

${displaystyle Delta _{psi }{hat {A}},Delta _{psi }{hat {B}}geq {frac {1}{2}}left|leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}}ight]ightangle _{psi }ight|}$

куда

${displaystyle leftlangle {hat {X}}ightangle _{psi }=leftlangle psi |{hat {X}}|psi ightangle }$

оператор иметь в виду наблюдаемых Икс в состоянии системы ψ и

${displaystyle Delta _{psi }{hat {X}}={sqrt {langle {hat {X}}^{2}angle _{psi }-langle {hat {X}}angle _{psi }^{2}}}.}$

Здесь

${displaystyle left[{hat {A}},{hat {B}}ight] {stackrel {mathrm {def} }{=}} {hat {A}}{hat {B}}-{hat {B}}{hat {A}}}$

называется коммутатор А и Б.

Это чисто математический результат. Никаких ссылок на какие-либо физические величины или принципы не делалось. Он просто утверждает, что неопределенность одного оператора, умноженная на неопределенность другого оператора, имеет нижнюю границу.

Приложение к угловому моменту

Связь с физикой может быть установлена, если мы отождествим операторы с физическими операторами, такими как угловой момент и угол поляризации. У нас тогда

${displaystyle Delta _{psi }{hat {l}}_{z},Delta _{psi }{ heta }geq {frac {hbar }{2}},}$

что означает, что угловой момент и угол поляризации нельзя измерить одновременно с бесконечной точностью. (Угол поляризации можно измерить, проверив, может ли фотон пройти через поляризационный фильтр, ориентированный под определенным углом, или через поляризационный светоделитель. Это приводит к ответу да / нет, который, если фотон был плоско поляризован под каким-либо другим углом, зависит от разницы между двумя углами.)

Состояния, амплитуды вероятностей, унитарные и эрмитовы операторы и собственные векторы

Большая часть математического аппарата квантовой механики появляется в классическом описании поляризованной синусоидальной электромагнитной волны. Например, вектор Джонса для классической волны идентичен вектору состояния квантовой поляризации для фотона. Правую и левую круговые компоненты вектора Джонса можно интерпретировать как амплитуды вероятности спиновых состояний фотона. Сохранение энергии требует, чтобы состояния были преобразованы с помощью унитарной операции. Это означает, что бесконечно малые преобразования преобразуются эрмитовым оператором. Эти выводы являются естественным следствием структуры уравнений Максвелла для классических волн.

Квантовая механика вступает в игру, когда наблюдаемые величины измеряются и оказываются дискретными, а не непрерывными. Допустимые наблюдаемые значения определяются собственными значениями операторов, связанных с наблюдаемым. Например, в случае углового момента допустимые наблюдаемые значения являются собственными значениями оператора спина.

Эти концепции возникли естественным образом из Уравнения Максвелла и теории Планка и Эйнштейна. Было обнаружено, что они верны для многих других физических систем. Фактически, типичная программа состоит в том, чтобы принять концепции этого раздела и затем сделать вывод о неизвестной динамике физической системы. Это было сделано, например, с динамикой электронов. В этом случае, исходя из принципов, изложенных в этом разделе, была выведена квантовая динамика частиц, что привело к Уравнение Шредингера, отход от Ньютоновская механика. Решение этого уравнения для атомов привело к объяснению Серия Бальмера для атомных спектров и, следовательно, легли в основу всей атомной физики и химии.

Это не единственный случай^{[сомнительный ]} в котором уравнения Максвелла вызвали перестройку ньютоновской механики. Уравнения Максвелла релятивистски согласованы. Специальная теория относительности возникла в результате попыток согласовать классическую механику с уравнениями Максвелла (см., например, Проблема с подвижным магнитом и проводником ).

Смотрите также

• Угловой момент света
  • Спиновый угловой момент света
  • Орбитальный угловой момент света
• Квантовая декогеренция
• Эксперимент Штерна-Герлаха
• Дуальность волна-частица
• Двухщелевой эксперимент
• Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера
• Спиновая поляризация

Рекомендации

1. Allen, L .; Beijersbergen, M.W .; Spreeuw, R.J.C .; Woerdman, J.P. (Июнь 1992 г.). «Орбитальный угловой момент света и преобразование лагерро-гауссовых лазерных мод». Физический обзор A. 45 (11): 8186–9. Bibcode:1992ПхРвА..45.8185А. Дои:10.1103 / PhysRevA.45.8185. PMID  9906912.
2. Бет, Р.А. (1935). «Прямое определение углового момента света». Phys. Rev. 48 (5): 471. Bibcode:1935ПхРв ... 48..471Б. Дои:10.1103 / PhysRev.48.471.

дальнейшее чтение

• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. ISBN  0-471-30932-X.
• Байм, Гордон (1969). Лекции по квантовой механике. В. А. Бенджамин. ISBN  0-8053-0667-6.
• Дирак, П.А.М. (1958). Принципы квантовой механики (Четвертое изд.). Оксфорд. ISBN  0-19-851208-2.