Онтологическое доказательство Гёдельса - Gödels ontological proof - Wikipedia

Онтологическое доказательство Гёделя формальный аргумент математика Курт Гёдель (1906–1978) для существование Бога. Аргумент находится в линии развития, восходящей к Ансельм Кентерберийский (1033–1109). Святого Ансельма онтологический аргумент в наиболее сжатой форме звучит так: «Бог по определению - это то, для чего нельзя вообразить ничего большего. Бог существует в разумении. Если Бог существует в разумении, мы могли бы представить Его более великим, существуя в реальность. Следовательно, Бог должен существовать ». Более подробная версия была дана Готфрид Лейбниц (1646–1716); это версия, которую изучал Гёдель и пытался прояснить с помощью своего онтологического аргумента.

Гедель оставил в своих статьях изложение своих философских взглядов из четырнадцати пунктов.^[1] Пункты, относящиеся к онтологическому доказательству, включают:

4. Есть другие миры и разумные существа иного, более высокого типа.

5. Мир, в котором мы живем, - не единственный, в котором мы будем жить или жили.

13. Существует научная (точная) философия и теология, которая занимается понятиями высшей абстрактности; и это тоже очень полезно для науки.

14. Религии по большей части плохи, но религия - нет.

История

Первая версия онтологического доказательства в статьях Гёделя датируется «примерно 1941 годом». Известно, что Гедель никому не рассказывал о своей работе над доказательством до 1970 года, когда он подумал, что умирает. В феврале разрешил Дана Скотт скопировать версию доказательства, которая распространяется частным образом. В августе 1970 года Гёдель сказал Оскар Моргенштерн что он был «удовлетворен» доказательством, но Моргенштерн записал в своем дневнике от 29 августа 1970 г., что Гёдель не публиковал, потому что боялся, что другие могут подумать, «что он на самом деле верит в Бога, в то время как он занят только логическое исследование (то есть показать, что такое доказательство с классическими предположениями (полнота и т. д.), соответственно аксиоматизированными, возможно) ».^[2] Гедель умер 14 января 1978 года. Другая версия, немного отличная от версии Скотта, была обнаружена в его бумагах. Наконец, он был опубликован вместе с версией Скотта в 1987 году.^[3]

Дневник Моргенштерна - важный и обычно надежный источник для более поздних лет Гёделя, но значение записи в дневнике августа 1970 года - о том, что Гёдель не верил в Бога - не согласуется с другими доказательствами. В письмах к матери, которая не была прихожанкой и воспитывала Курта и его брата как вольнодумцы,^[4] Гёдель подробно отстаивал свою веру в загробную жизнь.^[5] Он сделал то же самое в интервью скептически настроенному Хао Ван, который сказал: «Я выразил свои сомнения, когда G говорил [...] Гёдель улыбнулся, отвечая на мои вопросы, очевидно понимая, что его ответы меня не убеждают».^[6] Ван сообщает, что жена Гёделя, Адель, через два дня после смерти Гёделя, сказала Вангу, что «Гёдель, хотя и не ходил в церковь, был религиозным и читал Библию в постели каждое воскресное утро».^[7] В неотправленном ответе на анкету Гёдель описал свою религию как «крещеный лютеранин (но не член какой-либо религиозной общины). теистический, нет пантеистический, следующий Лейбниц скорее, чем Спиноза."^{[примечание 1]}

Контур

Доказательство использует модальная логика, который различает необходимо правда и условный правда. В наиболее распространенной семантике модальной логики многие "возможные миры "считаются. A правда является необходимо если это правда во всех возможных мирах. Напротив, если утверждение верно в нашем мире, но ложно в другом мире, тогда оно условный правда. Утверждение, которое истинно в каком-то мире (не обязательно в нашем собственном), называется возможный правда.

Кроме того, доказательство использует более высокого порядка (модальная) логика, потому что определение Бога использует явную количественную оценку свойств.^[8]

Во-первых, Гёдель аксиоматизирует понятие «положительного свойства»:^{[заметка 2]} для каждой собственности φ, либо φ или его отрицание ¬φ должно быть положительным, но не одновременно (аксиома 2). Если положительное свойство φ подразумевает свойство ψ в каждом возможном мире, тогда ψ тоже положительно (аксиома 1).^{[заметка 3]} Затем Гёдель утверждает, что каждое положительное свойство «возможно является примером», т.е. применимо по крайней мере к некоторому объекту в некотором мире (теорема 1). Определение объекта как богоподобного, если он имеет все положительные свойства (определение 1), и требование, чтобы само свойство было положительным (аксиома 3),^{[примечание 4]} Гёдель показывает, что в немного Возможный мир Богоподобный объект существует (теорема 2), далее именуемый «Богом».^{[примечание 5]} Гёдель продолжает доказывать, что божественный объект существует в каждый возможный мир.

С этой целью он определяет эссенции: если Икс это объект в каком-то мире, то свойство φ считается сутью Икс если φ(Икс) верно в этом мире, и если φ обязательно влечет за собой все другие свойства, которые Икс имеет в этом мире (определение 2). Требуя, чтобы положительные свойства были положительными во всех возможных мирах (аксиома 4), Гёдель может показать, что богоподобие является сущностью богоподобного объекта (теорема 3). Сейчас же, Икс говорят существовать обязательно если для каждой сущности φ из Икс, есть элемент у с собственностью φ во всевозможном мире (определение 3). Аксиома 5 требует, чтобы необходимое существование было положительным свойством.

Следовательно, это должно вытекать из богоподобия. Более того, богоподобие - это сущность Бога, поскольку оно влечет за собой все положительные свойства, а любое неположительное свойство является отрицанием некоторого положительного свойства, поэтому Бог не может иметь никаких неположительных свойств. Поскольку необходимое существование также является положительным свойством (аксиома 5), оно должно быть свойством каждого богоподобного объекта, поскольку каждый богоподобный объект обладает всеми положительными свойствами (определение 1). Поскольку любой богоподобный объект обязательно существует, отсюда следует, что любой богоподобный объект в одном мире является богоподобным объектом во всех мирах по определению необходимого существования. Учитывая существование богоподобного объекта в одном мире, доказанное выше, мы можем заключить, что богоподобный объект есть в каждом возможном мире, как и требуется (теорема 4). Помимо аксиом 1-5 и определения 1-3, еще несколько аксиом модальной логики.^{[требуется разъяснение ]} негласно использовались в доказательстве.

Из этих гипотез также можно доказать, что существует только один Бог в каждом мире по закону Лейбница, идентичность неразличимых: два или более объекта идентичны (одинаковы), если у них есть все общие свойства, и поэтому в каждом мире будет только один объект, обладающий свойством. Однако Г. Гёдель не пытался это сделать, поскольку он намеренно ограничил его доказательство к проблеме существования, а не уникальности.

Символическое обозначение

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\text{Ax. 1.}}&\left(P(\varphi )\;\wedge \;\Box \;\forall x(\varphi (x)\Rightarrow \psi (x))\right)\;\Rightarrow \;P(\psi )\\{\text{Ax. 2.}}&P(\neg \varphi )\;\Leftrightarrow \;\neg P(\varphi )\\{\text{Th. 1.}}&P(\varphi )\;\Rightarrow \;\Diamond \;\exists x\;\varphi (x)\\{\text{Df. 1.}}&G(x)\;\Leftrightarrow \;\forall \varphi (P(\varphi )\Rightarrow \varphi (x))\\{\text{Ax. 3.}}&P(G)\\{\text{Th. 2.}}&\Diamond \;\exists x\;G(x)\\{\text{Df. 2.}}&\varphi {\text{ ess }}x\;\Leftrightarrow \;\varphi (x)\wedge \forall \psi \left(\psi (x)\Rightarrow \Box \;\forall y(\varphi (y)\Rightarrow \psi (y))\right)\\{\text{Ax. 4.}}&P(\varphi )\;\Rightarrow \;\Box \;P(\varphi )\\{\text{Th. 3.}}&G(x)\;\Rightarrow \;G{\text{ ess }}x\\{\text{Df. 3.}}&E(x)\;\Leftrightarrow \;\forall \varphi (\varphi {\text{ ess }}x\Rightarrow \Box \;\exists y\;\varphi (y))\\{\text{Ax. 5.}}&P(E)\\{\text{Th. 4.}}&\Box \;\exists x\;G(x)\end{array}}}$

Критика

Большая часть критики доказательства Гёделя направлена ​​на его аксиомы: как и в случае любого доказательства в любой логической системе, если аксиомы, от которых зависит доказательство, подвергаются сомнению, то выводы могут быть подвергнуты сомнению. Это особенно применимо к доказательству Гёделя, потому что оно опирается на пять аксиом, некоторые из которых сомнительны. Доказательство не требует, чтобы вывод был правильным, а скорее, чтобы заключение следовало логически, принимая аксиомы.

Многие философы ставили эти аксиомы под сомнение. Первый уровень критики состоит в том, что не приводится аргументов, объясняющих, почему аксиомы верны. Второй уровень состоит в том, что именно эти аксиомы приводят к нежелательным выводам. Эту мысль аргументировали Джордан Ховард Собел,^[9] показывая, что если аксиомы приняты, они приводят к «модальному коллапсу», когда каждое истинное утверждение обязательно истинно, то есть все наборы необходимых, случайных и возможных истин совпадают (при условии, что доступный миры вообще).^{[примечание 6]} В соответствии с Роберт Кунс,^[10]:9 Собел предложил в документе конференции 2005 г.^{[нужна цитата ]} что Гёдель, возможно, приветствовал модальный коллапс.^[11]

Предлагаются поправки к доказательству, представленное К. Энтони Андерсон,^[12] но его опровергают Андерсон и Майкл Геттингс.^[13] Доказательство модального коллапса Собела было подвергнуто сомнению Кунсом,^{[10][примечание 7]} но была дана контрзащита Собеля.^{[нужна цитата ]}

Доказательство Гёделя также было подвергнуто сомнению Грэм Оппи,^[14] спрашивая, будут ли многие другие почти боги также «доказаны» аксиомами Гёделя. Этот контраргумент был подвергнут сомнению в Gettings,^[15] кто согласен с тем, что аксиомы могут быть подвергнуты сомнению, но не согласен с тем, что конкретный контрпример Оппи можно показать с помощью аксиом Гёделя.

Религиовед Пт. Роберт Дж. Спитцер принял доказательство Гёделя, назвав его «улучшением ансельмовского онтологического аргумента (который не работает)».^[16]

Однако есть еще много критических замечаний, большинство из которых сосредоточены на философски интересном вопросе о том, являются ли эти аксиомы должен быть отклоненным, чтобы избежать странных выводов. Более широкая критика заключается в том, что даже если нельзя доказать, что аксиомы ложны, это не означает, что они верны. Гильберта знаменитого замечание о взаимозаменяемости имен примитивов относится к аксиомам онтологии Гёделя («позитивный», «богоподобный», «сущность»), а также к аксиомам геометрии Гильберта («точка», «линия», «плоскость» ). В соответствии с Андре Фурманн (2005) осталось показать, что великолепное понятие, предписываемое традициями и часто считающееся по существу загадочным, удовлетворяет аксиомам Гёделя. Это не математическая, а просто теологическая задача.^{[17]:364–366} Именно эта задача решает, существование бога какой религии доказано.

Проверенные компьютером версии

Кристоф Бенцмюллер и Бруно Вольценлогель-Палео формализовали доказательство Гёделя до уровня, подходящего для автоматическое доказательство теорем или хотя бы компьютерная проверка через помощники доказательства.^[18] Об этой попытке заговорили в немецких газетах. По словам авторов этой работы, они были вдохновлены Мелвин Фиттинг книга.^[19]

В 2014 году они проверили на компьютере доказательство Гёделя (в над версия).^{[20]:97[примечание 8]}Они также доказали, что аксиомы этой версии непротиворечивы,^{[примечание 9]}но подразумевают модальный коллапс,^{[примечание 10]} таким образом подтверждая аргумент Собеля 1987 года.

В той же статье они заподозрили исходную версию аксиом Гёделя.^{[примечание 11]} быть непоследовательными, поскольку они не смогли доказать свою непротиворечивость.^{[примечание 12]}В 2016 году они предоставили компьютерное доказательство того, что эта версия подразумевает ${\displaystyle \Diamond \Box \bot }$, т.е. несовместимо в любой модальной логике с рефлексивным или симметричным отношение доступности.^{[22]:940 лф}Более того, они аргументировали это тем, что эта версия вообще несовместима с любой логикой,^{[примечание 13]} но не удалось воспроизвести его автоматическими пруверами.^{[примечание 14]} В той же статье они предположили, что модальный коллапс не обязательно является недостатком.^{[сомнительный ]}

В литературе

Юмористический вариант онтологического доказательства Гёделя упоминается в романе Квентина Кантереля. Веселый коронер.^{[23][страница нужна ]}Доказательство также упоминается в сериале. Рука Господа.^{[уточнить ]}

Смотрите также

• Существование Бога
• Философия религии
• Теизм
• Онтологический аргумент

Примечания

1. Ответ Гёделя на специальный вопросник, отправленный ему социологом Бёрком Гранджином. Этот ответ прямо цитируется у Wang 1987, p. 18, и косвенно в Wang 1996, p. 112. Это также прямо цитируется у Доусона 1997, с. 6, который цитирует Ванга 1987 г. Опросник Гранжана, пожалуй, самый обширный автобиографический элемент в работах Гёделя. Гедель заполнил его карандашом и написал сопроводительное письмо, но так и не вернул его. Слово «теистический» выделено курсивом как у Ванга 1987, так и у Ванга 1996 года. Возможно, это курсив Ванга, а не Гёделя. Цитата следует за Вангом 1987 года с двумя исправлениями, взятыми из Ванга 1996 года. Ван 1987 читает «баптистский лютеранин», где Ван 1996 года имеет "крещеные лютеране". «Баптистский лютеранец» не имеет смысла, особенно в контексте, и, по-видимому, был опечаткой или неправильным написанием. Wang 1987 имеет "rel. Cong.", Которое в Wang 1996 расширено до "религиозной конгрегации".
2. Предполагается, что можно выделить положительный свойства из числа всех свойств. Гёдель комментирует: «Позитивное означает положительное в моральный эстетический смысл (независимо от случайного устройства мира) ... Это также может означать чистый атрибуция в отличие от лишение (или содержащие лишения) »(Gödel 1995), см. также рукопись в (Gawlick 2012).
3. В качестве нечестивого примера: если свойство быть зеленым положительно, то свойство не быть красным тоже (по аксиоме 1), следовательно, свойство быть красным отрицательно (по аксиоме 2).
4. Если учесть частичный заказ ${\displaystyle \preceq }$ определяется ${\displaystyle \varphi \preceq \psi }$ если только ${\displaystyle \square \forall y(\varphi (y)\to \psi (y))}$, то аксиомы 1-3 можно резюмировать, сказав, что положительные свойства образуют ультрафильтр по этому заказу. Определение 1 и аксиома 4 необходимы для установления Богоподобный свойство как основной элемент ультрафильтра.
5. Удалив все модальные операторы из аксиом, определений, доказательств и теорем, получается модифицированная версия теоремы 2, в которой говорится: «∃Икс грамм(Икс) ", то есть" существует объект, который имеет все положительные, но не отрицательные свойства ". Для получения этого результата нужно учитывать не что иное, как аксиомы 1-3, определение 1 и теоремы 1-2.
6. Формально, ${\displaystyle p\Rightarrow \Box p}$ для всех п подразумевает ${\displaystyle \Diamond p\Rightarrow p}$ для всех п к косвенное доказательство, и ${\displaystyle \Box p\Rightarrow \Diamond p}$ относится ко всем п всякий раз, когда есть доступные миры.
7. Поскольку в доказательстве модального коллапса Собеля используется лямбда-абстракция, но доказательство Гёделя этого не делает, Кунс предлагает запретить эту операцию построения свойств как «самую консервативную» меру, прежде чем «отвергать или исправлять ... аксиомы (как это делает Андерсон)».
8. Строки «Т3» на рис.2 и пункт 3 в разделе 4 («Основные выводы»). Их теорема «T3» соответствует показанной «Th.4». над.
9. Строка «СО» на рис.2 и пункт 1 в разделе 4 (стр.97).
10. Линия «MC» на рис.2 и позиция 6 в разделе 4 (стр.97).
11. Показанная версия здесь автор: Дана Скотт.^[21] Он отличается от оригинала Гёделя отсутствием первого конъюнктива, ${\displaystyle \varphi (x)}$, в Df.2.
12. Строки «CO '» на рис.2 и пункт 5 в разделе 4 (стр.97).
13. Пункт 8 раздела 4.1 «Неформальный аргумент» (с.940).
14. См. Подробное обсуждение в разделе 4 «Аргумент интуитивной несогласованности» (стр.939-941).

Рекомендации

1. В: Ван, Хао. Логическое путешествие: от Гёделя к философии. Книга Брэдфорда, 1997. Печать. стр.316.
2. Цитируется по Gödel 1995, p. 388. Немецкий оригинал цитируется в Dawson 1997, p. 307. Вложенные круглые скобки находятся в оригинальной дневниковой записи Моргенштерна, цитируемой Доусоном.
3. История публикации доказательства в этом абзаце взята из Gödel 1995, p. 388
4. Доусон 1997, стр. 6.
5. Доусон 1997, стр. 210–212.
6. Ван 1996, стр. 317. Многоточие принадлежит Википедии.
7. Ван 1996, стр. 51.
8. Фитинг, 2002, с. 139
9. Джордан Ховард Собел (Ноябрь 1987 г.). «Онтологическое доказательство Гёделя». В Джудит Джарвис Томсон (ред.). О бытии и высказывании: очерки Ричарда Картрайта. Кембридж / Массачусетс и Лондон, Англия: MIT Press. стр.241–261. ISBN  978-0262200639.
10. Роберт К. Кунс (Июль 2005 г.). Собель об онтологическом доказательстве Гёделя (PDF) (Неопубликованная статья). Техасский университет в Остине. Архивировано из оригинал (PDF) на 2020-08-02.
11. Курт Гёдель (март 1995 г.). «Тексты, относящиеся к онтологическому доказательству (Приложение B)». У Соломона Фефермана; Джон У. Доусон младший; Уоррен Гольдфарб; Чарльз Парсонс; Роберт М. Соловей (ред.). Неопубликованные очерки и лекции (PDF). Собрание сочинений. III (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С. 429–437. ISBN  0-19-507255-3. Здесь: с.435; вероятно, Собель сослался на примечание 4 Гёделя: "... Если ${\displaystyle \varphi (x)\Rightarrow \Box \varphi (x)}$ предполагается [как следует из сущности ${\displaystyle x}$], ... но это низший путь. Скорее, ${\displaystyle \varphi (x)\Rightarrow \Box \varphi (x)}$ следует прежде всего из существования Бога ». Заметка может указывать на то, что Гёдель знал о своих аксиомах, подразумевающих модальный коллапс.
12. Кертис Энтони Андерсон (Июль 1990 г.). «Некоторые поправки к онтологическому доказательству Гёделя» (PDF). Вера и философия. 7 (3): 291–303. Дои:10,5840 / верфил19907325.
13. Кертис Энтони Андерсон и Майкл Геттингс (август 1996 г.). «Пересмотр онтологического доказательства Гёделя». В Петр Гайек (ред.). Proc. Гёдель '96: Логические основы математики, информатики и физики - наследие Курта Гёделя. Конспект лекций по логике. 6. Springer. С. 167–172.
14. Грэм Оппи (Октябрь 1996 г.). «Онтологические аргументы Годеля». Анализ. 54 (4): 226–230. Дои:10.1093 / анализ / 56.4.226. — Расширенная версия (2005 г.)
15. Геттингс Майкл (1999). «Онтологический аргумент Гёделя: ответ Оппи». Анализ. 59 (264): 309–313. Дои:10.1111/1467-8284.00184.
16. «Теорема Гёделя и существование Бога». Магис Центр. 2017-04-26. Получено 2018-05-23.
17. Андре Фурманн (2005). "Existenz und Notwendigkeit - Kurt Gödels axiomatische Theologie" [Существование и необходимость - Аксиоматическая теология Курта Гёделя] (PDF). В W. Spohn (ред.). Логика в философии [Логика в философии] (на немецком). Гейдельберг: Синхрон. С. 349–374.
18. https://github.com/FormalTheology/GoedelGod
19. Найт, Дэвид (23 октября 2013 г.). «Ученые используют компьютер для математического доказательства теоремы Гёделя о Боге». Der Spiegel. Получено 28 октября 2013.
20. Кристоф Бенцмюллер и Бруно Вольценлогель-Палео (2014). "Автоматизация онтологического доказательства существования Бога Гёделя с помощью автоматизированных средств доказательства теорем более высокого порядка" (PDF). Proc. Европейская конференция по искусственному интеллекту. Границы в области искусственного интеллекта и приложений. 263. IOS Press. С. 93–98.
21. Д. Скотт (2004). «Приложение B: Примечания в руке Даны Скотт [1972]». В J.H. Собель (ред.). Логика и теизм: аргументы за и против веры в Бога. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 145–146. ISBN  978-0511497988.
22. Кристоф Бенцмюллер и Бруно Вольценлогель-Палео (июль 2016 г.). «Непоследовательность в онтологическом аргументе Гёделя: - история успеха ИИ в метафизике» (PDF). В Суббарао Камбхампати (ред.). Proc. 25-я международная совместная конференция по искусственному интеллекту. AAAI Press. С. 936–942.
23. Квентин Кантерель (2015). Веселый коронер: роман в стиле Пикаре. Acorn Independent Press.

дальнейшее чтение

• Фроде Альфсон Бьёрдал, «Понимание онтологического аргумента Гёделя», в Т. Чайлдерсе (ред.), Ежегодник Logica 1998, Прага 1999, 214-217.
• Фроде Альфсон Бьордал, «Все свойства божественны, или Бог существует», в Logic and Logical Philosophy, Vol. 27 № 3, 2018, с. 329–350.
• Броман, Иоахим. "Gödels ontologischer Beweis und andere modallogische Gottesbeweise", в J. Bromand und G. Kreis (Hg.), Gottesbeweise von Anselm bis Gödel, Берлин 2011, 381-491.
• Джон В. Доусон младший (1997). Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя. Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, Ltd. ISBN  1-56881-025-3.
• Мелвин Фиттинг, "Типы, таблицы и бог Годеля" Издательство: Dordrecht Kluwer Academic, 2002, ISBN  1-4020-0604-7, ISBN  978-1-4020-0604-3
• Курт Гёдель (март 1995 г.). Соломон Феферман; Джон У. Доусон младший; Уоррен Голдфарб; Чарльз Парсонс; Роберт М. Соловей (ред.). Неопубликованные очерки и лекции (PDF). Собрание сочинений. III (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-507255-3. - См. Главу «Онтологическое доказательство», стр. 403–404, и Приложение B «Тексты, относящиеся к онтологическому доказательству», стр. 429–437.
• Гольдман, Рэндольф Р. «Онтологический аргумент Гёделя», доктор философии, Калифорнийский университет, Беркли, 2000.
• Хазен, А. П. «Онтологическое доказательство Гёделя», Австралазийский журнал философии, Vol. 76, № 3, стр. 361–377, сентябрь 1998 г.
• Маленький, Кристофер. «Размышления об онтологическом аргументе Гёделя» (PDF). Университет Ватерлоо. Архивировано из оригинал (PDF) на 2009-12-22. Получено 2010-08-31.
• Ван, Хао (1987). Размышления о Курте Гёделе. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN  0-262-23127-1.
• Ван, Хао (1996). Логическое путешествие: от Гёделя к философии. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN  0-262-23189-1.

внешняя ссылка

• Оппи, Грэм. «Онтологические аргументы». В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
• Аннотированная библиография исследований онтологического аргумента Гёделя
• Томас Гавлик, Was sind und was sollen Mathematische Gottesbeweise?, Январь 2012 г. - показывает оригинальную рукопись корректуры Гёделя на стр. 2-3
• Доказательство божественной непротиворечивости математики - Представленная работа Харви Фридман показывая, что если Бог существует (в смысле Гёделя), то математика, формализованная обычным Аксиомы ZFC, согласуется.