Коэффициент GIT - GIT quotient

В алгебраическая геометрия, аффинное Фактор GIT, или аффинно фактор геометрической теории инвариантов, аффинной схемы ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ с действие по групповая схема грамм аффинная схема ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$, то простой спектр из кольцо инвариантов из А, и обозначается ${\displaystyle X/\!/G}$. Фактор GIT - это категориальный фактор: любой инвариантный морфизм однозначно влияет на него.

Принимая Проект (из градуированное кольцо ) вместо ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$, получается проективный фактор GIT (который является частным множества полустабильные точки.)

Фактор GIT - это категорный фактор множества полустабильных точек; то есть «фактор» полустабильного локуса. Поскольку категориальный фактор уникален, если существует геометрический фактор, то два понятия совпадают: например, одно имеет

${\displaystyle G/H=G/\!/H=\operatorname {Spec} \!{\big (}k[G]^{H}{\big )}}$

для алгебраическая группа грамм над полем k и замкнутая подгруппа ЧАС.

Если Икс это сложный гладкий проективное разнообразие и если грамм редуктивный комплексная группа Ли, то коэффициент GIT от Икс к грамм гомеоморфен симплектический фактор из Икс по максимальная компактная подгруппа из грамм (Теорема Кемпфа – Несса ).

Построение частного GIT

Позволять грамм быть восстановительная группа действуя по квазипроективной схеме Икс над полем и L а линейный пучок с обильными линиями на Икс. Позволять

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,L^{\otimes n})}$

быть секционным кольцом. По определению полустабильный локус ${\displaystyle X^{ss}}$ является дополнением нулевого множества ${\displaystyle V(R_{+}^{G})}$ в Икс; другими словами, это объединение всех открытых подмножеств ${\displaystyle U_{s}=\{s\neq 0\}}$ для глобальных разделов s из ${\displaystyle (L^{\otimes n})^{G}}$, п большой. По полноте каждый ${\displaystyle U_{s}}$ аффинно; сказать ${\displaystyle U_{s}=\operatorname {Spec} (A_{s})}$ и поэтому мы можем сформировать аффинное отношение GIT

${\displaystyle \pi _{s}\colon U_{s}\to U_{s}/\!/G=\operatorname {Spec} (A_{s}^{G})}$.

Обратите внимание, что ${\displaystyle U_{s}/\!/G}$ имеет конечный тип по Теорема Гильберта о кольце инвариантов. По универсальному свойству категориальные коэффициенты, эти аффинные частные склеивают и приводят к

${\displaystyle \pi \colon X^{ss}\to X/\!/_{L}G}$,

что является коэффициентом GIT от Икс относительно L. Обратите внимание, что если Икс проективен; т.е. это проект р, то частное ${\displaystyle X/\!/_{L}G}$ дается просто как Проект кольцо инвариантов ${\displaystyle R^{G}}$.

Самый интересный случай - когда стабильный локус^[1] ${\displaystyle X^{s}}$ непусто; ${\displaystyle X^{s}}$ - открытое множество полустабильных точек с конечными стабилизаторами и замкнутыми в ${\displaystyle X^{ss}}$. В таком случае коэффициент GIT ограничивается

${\displaystyle \pi ^{s}\colon X^{s}\to X^{s}/\!/G}$,

который обладает свойством: каждое волокно является орбитой. То есть, ${\displaystyle \pi ^{s}}$ является истинным частным (т. е. геометрический фактор ) и один пишет ${\displaystyle X^{s}/G=X^{s}/\!/G}$. Из-за этого, когда ${\displaystyle X^{s}}$ непусто, фактор GIT ${\displaystyle \pi }$ часто упоминается как "компактификация" геометрического частного открытого подмножества Икс.

Сложный и, казалось бы, открытый вопрос: какой геометрический фактор возникает в приведенной выше моде GIT? Вопрос представляет большой интерес, поскольку подход GIT дает явный частное, в отличие от абстрактного частного, которое трудно вычислить. Один известный частичный ответ на этот вопрос следующий:^[2] позволять ${\displaystyle X}$ быть локально факториал алгебраическое многообразие (например, гладкое многообразие) с действием ${\displaystyle G}$. Предположим, что есть открытое подмножество ${\displaystyle U\subset X}$ а также геометрический фактор ${\displaystyle \pi \colon U\to U/G}$ такой, что (1) ${\displaystyle \pi }$ является аффинный морфизм и (2) ${\displaystyle U/G}$ квазипроективен. потом ${\displaystyle U\subset X^{s}(L)}$ для некоторого линеаризованного линейного пучка L на Икс. (Аналогичный вопрос состоит в том, чтобы каким-либо образом определить, какое подкольцо является кольцом инвариантов.)

Примеры

Конечное групповое действие ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

Простой пример частного GIT дается ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-действие на ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ отправка

${\displaystyle {\begin{aligned}x\mapsto -x&&y\mapsto -y\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что одночлены ${\displaystyle x^{2},xy,y^{2}}$ создать кольцо ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2}}$. Следовательно, мы можем записать кольцо инвариантов в виде

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2}=\mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]={\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

Схему теоретически получаем морфизм

${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}\to {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}\right)=:\mathbb {A} ^{2}/(\mathbb {Z} /2)}$

которое является особенным подмногообразием в ${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$ с изолированной особенностью на ${\displaystyle (0,0,0)}$. Это можно проверить с помощью дифференциалов, которые

${\displaystyle df={\begin{bmatrix}c&-2b&a\end{bmatrix}}}$

следовательно, единственная точка, где дифференциал и многочлен ${\displaystyle f}$ оба исчезают в начале координат. Полученное частное - это коническая поверхность с обычная двойная точка в происхождении.

Действие тора на плоскости

Рассмотрим действие тора ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ на ${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{2}}$ к ${\displaystyle t\cdot (x,y)=(tx,t^{-1}y)}$. Обратите внимание, что у этого действия есть несколько орбит: начало ${\displaystyle (0,0)}$, проколотые топоры, ${\displaystyle \{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}}$, а аффинные коники ${\displaystyle xy=a}$ для некоторых ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{*}}$. Тогда фактор GIT ${\displaystyle X//\mathbb {G} _{m}}$ имеет структурную связку ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbb {A} ^{2})^{\mathbb {G} _{m}}}$ которое является подкольцом многочленов ${\displaystyle \mathbb {C} [xy]}$, следовательно, он изоморфен ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$. Это дает коэффициент GIT

${\displaystyle \pi \colon \mathbb {A} ^{2}\to \mathbb {A} ^{2}//\mathbb {G} _{m}}$

Обратите внимание на обратное изображение точки ${\displaystyle (0)}$ задается орбитами ${\displaystyle (0,0),\{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}}$, показывая, что коэффициент GIT не обязательно является пространством орбиты. Если бы это было так, было бы три начала, неразделенное пространство.^[3]

Смотрите также

• стек частных
• разнообразие персонажей
• Коэффициент Чоу

Примечания

1. NB: В (МФК ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFMFK (помощь), его назвали набором собственно устойчивых точек
2. МФК, Конверс 1.13. NB: несмотря на то, что результат сформулирован для гладкого многообразия, доказательство справедливо для локально факториального. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMFK (помощь)
3. Томас, Ричард П. (2006). «Заметки о GIT и симплектической редукции для расслоений и многообразий». Обзоры в дифференциальной геометрии. Международная пресса Бостона. 10 (1): 221–273. arXiv:математика / 0512411. Дои:10.4310 / sdg.2005.v10.n1.a7. ISSN  1052-9233. МИСТЕР  2408226. S2CID  16294331.

Рекомендации

Педагогический

• Мукаи, Сигэру (2002). Введение в инварианты и модули. Кембриджские исследования в области высшей математики. 81. ISBN  978-0-521-80906-1.
• Брион, Мишель. «Введение в действия алгебраических групп» (PDF).
• Лаза, Раду (15 марта 2012 г.). «ЖКТ и модули с изюминкой». arXiv:1111.3032 [math.AG ].
• Томас, Ричард П. (2006). «Заметки о GIT и симплектической редукции для расслоений и многообразий». Дань памяти профессору С.-С. Черн. Обзоры по дифференциальной геометрии. 10. С. 221–273. arXiv:математика / 0512411. Дои:10.4310 / SDG.2005.v10.n1.a7. МИСТЕР  2408226. S2CID  16294331.

Рекомендации

• Альпер, Джарод (2008-04-14). «Хорошие пространства модулей для стеков Артина». arXiv:0804.2242 [math.AG ].
• Доран, Брент; Кирван, Фрэнсис (2007). «К нередуктивной геометрической теории инвариантов». Чистая и прикладная математика Ежеквартально. 3 (1, Специальный выпуск: В честь Роберта Д. Макферсона. Часть 3): 61–105. arXiv:математика / 0703131. Bibcode:2007математика ...... 3131D. Дои:10.4310 / PAMQ.2007.v3.n1.a3. МИСТЕР  2330155. S2CID  3190064.
• Хоскинс, Виктория. «Факторы в алгебраической и симплектической геометрии».
• Кирван, Фрэнсис К. (1984). Когомологии факторных в комплексной и алгебраической геометрии. Математические заметки. 31. Принстон Н. Дж .: Princeton University Press.
• Мамфорд, Дэвид; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)]. 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-56963-3. МИСТЕР  1304906.