GCD домен - GCD domain - Wikipedia

В математике GCD домен является область целостности р со свойством, что любые два элемента имеют наибольший общий делитель (НОД); т.е. существует единственная минимальная главный идеал содержащий идеал, порожденный двумя данными элементами. Эквивалентно, любые два элемента р есть наименьший общий множитель (НОК).^[1]

Область GCD обобщает уникальная область факторизации (UFD) не-Нётерян установка в следующем смысле: область целостности является UFD тогда и только тогда, когда она является областью GCD, удовлетворяющей условие возрастающей цепи на главных идеалах (и в частности, если это Нётерян ).

Домены GCD входят в следующую цепочку классные включения:

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ целостные области ⊃ целозамкнутые области ⊃ GCD домены ⊃ уникальные домены факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ Евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Характеристики

Каждый неприводимый элемент области НОД прост. Домен GCD - это целиком закрытый, и каждый ненулевой элемент равен первобытный.^[2] Другими словами, каждый домен GCD является Шрайер домен.

Для каждой пары элементов Икс, у домена GCD р, НОД d из Икс и у и LCM м из Икс и у можно выбрать так, чтобы дм = ху, или указано иначе, если Икс и у ненулевые элементы и d любой НОД d из Икс и у, тогда ху/d является НОК Икс и у, наоборот. Это следует что операции НОД и НОК производят частное р/ ~ в распределительная решетка, где "~" обозначает отношение эквивалентности бытия ассоциировать элементы. Эквивалентность между существованием НОД и существованием НОК не является следствием аналогичного результата о полные решетки, как частное р/ ~ не обязательно должна быть полной решеткой для области НОД р.^{[нужна цитата ]}

Если р является областью НОД, то кольцо многочленов р[Икс₁,...,Икс_п] также является доменом GCD.^[3]

R является областью НОД тогда и только тогда, когда конечные пересечения ее главные идеалы являются основными. Особенно, ${\displaystyle (a)\cap (b)=(c)}$, куда ${\displaystyle c}$ это НОК ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

Для полинома от Икс над областью НОД можно определить его содержимое как НОД всех его коэффициентов. Тогда содержание произведения многочленов является произведением их содержания, как выражается Лемма Гаусса, что действительно для доменов GCD.

Примеры

• А уникальная область факторизации является доменом GCD. Среди доменов GCD уникальными доменами факторизации являются именно те, которые также являются атомные домены (что означает, что существует хотя бы одна факторизация на неприводимые элементы для любой ненулевой неединицы).
• А Безу домен (т.е.область целостности, где каждый конечно порожденный идеал является главным) является областью НОД. В отличие от области главных идеалов (куда каждый идеал является главным), область Безу не обязательно должна быть уникальной областью факторизации; например кольцо целые функции является неатомарной областью Безу, и есть много других примеров. Область целостности - это Прюфер Домен GCD тогда и только тогда, когда это домен Безу.^[4]
• Если р является неатомарным доменом НОД, то р[Икс] является примером домена GCD, который не является ни уникальной областью факторизации (поскольку он не атомарен), ни областью Безу (поскольку Икс и необратимый и ненулевой элемент а из р порождают идеал, не содержащий 1, но тем не менее 1 является НОД Икс и а); вообще любое кольцо р[Икс₁,...,Икс_п] обладает этими свойствами.
• А коммутативный моноидное кольцо ${\displaystyle R[X;S]}$ является доменом GCD тогда и только тогда, когда ${\displaystyle R}$ является доменом GCD и ${\displaystyle S}$ это без кручения отменяющий НОД-полугруппа. НОД-полугруппа - это полугруппа с дополнительным свойством, что для любого ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ в полугруппе ${\displaystyle S}$, существует ${\displaystyle c}$ такой, что ${\displaystyle (a+S)\cap (b+S)=c+S}$. В частности, если ${\displaystyle G}$ является абелева группа, тогда ${\displaystyle R[X;G]}$ является доменом GCD тогда и только тогда, когда ${\displaystyle R}$ является доменом GCD и ${\displaystyle G}$ без кручения.^[5]
• Кольцо ${\displaystyle {\mathbb {Z}}[{\sqrt {-d}}]}$ за ${\displaystyle d\geq 3}$ не является доменом GCD.^[6]

Рекомендации

1. Скотт Т. Чепмен, Сара Глаз (ред.) (2000). Ненётерова теория коммутативных колец. Математика и ее приложения. Springer. п.479. ISBN  0-7923-6492-9.
2. доказательство того, что область НОД интегрально замкнута, PlanetMath.org
3. Роберт В. Гилмер, Коммутативные полугрупповые кольца, University of Chicago Press, 1984, стр. 172.
4. Али, Маджид М .; Смит, Дэвид Дж. (2003), «Обобщенные кольца НОД. II», Beiträge zur Algebra und Geometrie, 44 (1): 75–98, МИСТЕР  1990985. Стр. 84: «Легко видеть, что домен целостности является Prüfer GCD-доменом тогда и только тогда, когда он является Bezoutdomain, и что Prüfer domain не обязательно должен быть GCD-доменом».
5. Гилмер, Роберт; Паркер, Том (1973), «Свойства делимости в кольцах полугруппы», Мичиганский математический журнал, 22 (1): 65–86, МИСТЕР  0342635.
6. Михет, Дорел (2010), «Примечание о неуникальных доменах факторизации (UFD)», Резонанс, 15 (8): 737–739.