Теорема Гильберта-Шпайзера - Hilbert–Speiser theorem

В математика, то Теорема Гильберта-Шпайзера это результат на циклотомические поля, характеризуя людей с нормальный интегральный базис. В более общем смысле это применимо к любому конечному абелево расширение из $Q$ , что по Теорема Кронекера – Вебера. изоморфны подполям круговых полей.

Теорема Гильберта – Шпайзера. Конечное абелево расширение

K / Q

имеет нормальный интегральный базис тогда и только тогда, когда он аккуратно разветвленный над

Q

.

Это условие, что это должно быть подполе из $Q (ζ п)$ куда $п$ это свободный от квадратов нечетное число. Этот результат был введен Гильберта (1897, Сац 132, 1998, теорема 132) в его Zahlbericht и по Speiser (1916, следствие предложения 8.1).

В случаях, когда теорема утверждает, что нормальный интегральный базис действительно существует, такой базис можно построить с помощью Гауссовские периоды. Например, если мы возьмем $п$ простое число $п > 2$ , $Q (ζ п)$ имеет нормальный интегральный базис, состоящий из всех $п$ -го корни единства Кроме как $1$ . Для поля $K$ содержащийся в нем полевой след можно использовать для построения такого базиса в $K$ также (см. статью о Гауссовские периоды ). Тогда в случае $п$ без квадратов и нечетных, $Q (ζ п)$ это композитум подполей этого типа для простых чисел $п$ разделение $п$ (это следует из простого рассуждения о ветвлении). Это разложение можно использовать для обработки любого из его подполей.

Корнелиус Грейтер, Дэниел Р. Реплогл и Карл Рубин и др. (1999 ) доказал обратное к теореме Гильберта – Шпейзера:

Каждый конечный аккуратно разветвленный абелево расширение

K

фиксированного числовое поле

J

имеет относительный нормальный интегральный базис тогда и только тогда, когда

J = Q

.

Теорема Гильберта-Шпайзера - Hilbert–Speiser theorem

Рекомендации