Очки Хофштадтера - Hofstadter points

В треугольник геометрия, а Точка Хофштадтер особая точка, связанная с каждым самолет треугольник. На самом деле с треугольником связано несколько точек Хофштадтера. Все они центры треугольников. Двое из них, Нулевая точка Hofstadter и Хофштадтер одноточечный, особенно интересны.[1] Их двое центры трансцендентного треугольника. Нулевая точка Хофштадтера - это центр, обозначенный как X (360), а точка Хофста после одной точки - это центр, обозначенный как X (359) в Кларк Кимберлинг с Энциклопедия центров треугольников. Нулевая точка Хофштадтера была открыта Дуглас Хофштадтер в 1992 г.[1]

Треугольники Хофштадтера

HofstadterPoint.svg

Позволять ABC быть данным треугольником. Позволять р быть положительной действительной константой.

Повернуть отрезок линии до н.э о B под углом rB к А и разреши Lдо н.э быть линией, содержащей этот сегмент линии. Затем поверните отрезок линии до н.э о C под углом rC к А. Позволять L 'до н.э быть линией, содержащей этот сегмент линии. Пусть линии Lдо н.э и L 'до н.э пересекаться в А(р). Аналогичным образом точки B(р) и C(р) построены. Треугольник с вершинами А(р), B(р), C(р) - Хофштадтер р-треугольник (или р-Треугольник Хофштадтера) треугольника ABC.[2][1]

Особый случай

Трилинейные координаты вершин треугольников Хофштадтера

Трилинейные координаты вершин Хофштадтера р-треугольник приведены ниже:

А(р) = (1, грех rB / грех (1 - р)B грех rC / грех (1 - р)C )
B(р) = (грех rA / грех (1 - р)А , 1, грех rC / грех (1 - р)C )
C(р) = (грех rA / грех (1 - р)А , грех (1 - р)B / грех rB , 1 )

Очки Хофштадтера

Анимация, показывающая различные точки Хофштадтера. ЧАС0 - нулевая точка Хофштадтера. ЧАС1 является одноточечным по Хофштадтеру. Маленькая красная дуга в центре треугольника - это геометрическое место Хофштадтера. р-баллы для 0 < р <1. Этот локус проходит через центр я треугольника.

Для положительной действительной постоянной р > 0, пусть А(р) B(р) C(р) быть Хофштадтером р-треугольник треугольника ABC. Тогда строки AA(р), BB(р), CC(р) являются параллельными.[3] Точка совпадения - Hofstdter р-точка треугольника ABC.

Трехлинейные координаты Хофштадтера р-точка

Трилинейные координаты Хофштадтера р-пункты приведены ниже.

(грех rA / грех ( А − rA), грех rB / грех ( B - rB ), грех rC / грех ( C − rC) )

Hofstadter с нулевой и одной балльной оценкой

Трилинейные координаты этих точек не могут быть получены путем подстановки значений 0 и 1 для р в выражениях для трилинейных координат для Хофстдтера р-точка.

Нулевая точка Hofstadter - это предел Hofstadter р-поинт как р приближается к нулю.
Одна точка Хофштадтера - это предел Хофштадтера р-поинт как р подходит к одному.

Трилинейные координаты нулевой точки Хофштадтера

= lim р → 0 (грех rA / грех ( А − rA), грех rB / грех ( B − rB ), грех rC / грех ( C − rC) )
= lim р → 0 (грех rA / р грех ( А − rA), грех rB / р грех ( B − rB ), грех rC / р грех ( C − rC) )
= lim р → 0 ( А грех rA / rA грех ( А − rA) , B грех rB / rB грех ( B − rB ) , C грех rC / rC грех ( C − rC) )
= ( А / грех А , B / грех B , C / грех C )), так как lim р → 0 грех rA / rA = 1 и т. Д.
= ( А / а, B / б, C / c )

Трехлинейные координаты одной точки Хофштадтера

= lim р → 1 (грех rA / грех ( А − rA), грех rB / грех ( B − rB ), грех rC / грех ( C − rC) )
= lim р → 1 ( ( 1 − р ) грех rA / грех ( А − rA) , ( 1 - р ) грех rB / грех ( B − rB ) , ( 1 − р ) грех rC / грех ( C − rC) )
= lim р → 1 ( ( 1 − р ) А грех rA / А грех ( А − rA) , ( 1 − р ) B грех rB / B грех ( B − rB ) , ( 1 − р ) C грех rC / C грех ( C − rC) )
= (грех А / А грех B / B грех C / C )) как lim р → 1 ( 1 − р ) А / грех ( А − rA ) = 1 и т. Д.
= ( а / А, б / B, c / C )

Рекомендации

  1. ^ а б c Кимберлинг, Кларк. «Очки Хофштадтера». Получено 11 мая 2012.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Треугольник Хофштадтера". MathWorld - веб-ресурс Wolfram. Получено 11 мая 2012.
  3. ^ К. Кимберлинг (1994). «Очки Хофштадтера». Nieuw Archief voor Wiskunde. 12: 109–114.