Бабочка Хофштадтерса - Hofstadters butterfly - Wikipedia

Рендеринг бабочки Хофштадтера

В физика конденсированного состояния, Бабочка Хофштадтера описывает спектральные свойства невзаимодействующих двумерных электронов в магнитное поле в решетка. Фрактал, самоподобный природа спектра была открыта в 1976 г. работа Дуглас Хофштадтер^[1] и является одним из первых примеров компьютерной графики. Название отражает визуальное сходство фигуры справа с роем бабочки полет в бесконечность.^{[нужна цитата ]}

Бабочка Хофштадтера играет важную роль в теории целых чисел. квантовый эффект холла и теория топологические квантовые числа.

История

Первое математическое описание электронов на двумерной решетке, на которые действует однородное магнитное поле, было изучено А. Рудольф Пайерлс и его ученик Р. Дж. Харпер в 1950-х гг.^[2][3]

Хофштадтер описал структуру в 1976 году в статье о уровни энергии из Блоховские электроны в магнитных полях.^[1] Он дает графическое представление спектра уравнения Харпера на разных частотах. Сложная математическая структура этого спектра была независимо обнаружена советским физиком. Марк Азбель в 1964 г. (модель Азбеля-Хофштадтера),^[4] но Азбель изобразил структуру не как геометрический объект.

Написано, когда Хофштадтер был в Орегонский университет, его статья оказала влияние на направление дальнейших исследований. Он предсказал на теоретической основе, что допустимые значения уровней энергии электрона в двумерном квадратная решетка, как функция магнитного поля, приложенного к системе, формирует то, что теперь известно как фрактальный набор. То есть распределение уровней энергии для мелкомасштабных изменений приложенного магнитного поля рекурсивно повторение узоры видно в крупномасштабной конструкции.^[1] "Gplot", как Хофштадтер назвал фигуру, был описан как рекурсивная структура в своей статье 1976 г. Физический обзор B,^[1] написано до Бенуа Мандельброт Новое слово «фрактал» было введено в английский текст. Хофштадтер также обсуждает эту цифру в своей книге 1979 года. Гедель, Эшер, Бах. Строение стало широко известно как «бабочка Хофштадтера».

Дэвид Дж. Таулесс и его команда обнаружили, что крылья бабочки характеризуются Целые числа Черна, которые позволяют вычислить Проводимость зала в модели Хофштадтера.^[5]

Подтверждение

Моделирование электронов с помощью сверхпроводящих кубитов приводит к бабочке Хофштадтера.

В 1997 году бабочка Хофштадтера была воспроизведена в экспериментах с микроволновым волноводом, оснащенным набором рассеивателей.^[6] Сходство математического описания микроволнового волновода с рассеивателями и волн Блоха в магнитном поле позволило воспроизвести бабочку Хофштадтера для периодических последовательностей рассеивателей.

В 2001 году Кристиан Альбрехт, Клаус фон Клитцинг и коллеги реализовали экспериментальную установку для тестирования Thouless и другие.предсказания о бабочке Хофштадтера с двумерный электронный газ в потенциале сверхрешетки.^[7][2]

В 2013 году три отдельные группы исследователей независимо друг от друга сообщили о доказательствах наличия спектра бабочек Хофштадтера у графен устройства, изготовленные на шестиугольной нитрид бора субстраты.^[8][9][10] В этом случае спектр бабочки является результатом взаимодействия между приложенным магнитным полем и крупномасштабным муаровый узор это развивается, когда решетка графена ориентирована с почти нулевым углом рассогласования по отношению к нитриду бора.

В сентябре 2017 года группа Джона Мартиниса в Google в сотрудничестве с группой Angelakis в CQT Singapore, опубликовал результаты моделирования 2D-электронов в магнитном поле с использованием взаимодействующих фотонов в 9 сверхпроводящих кубиты. Как и ожидалось, симуляция восстановила бабочку Хофштадтера.^[11]

Теоретическая модель

Бабочка Хофштадтера - это графическое решение уравнения Харпера, в котором соотношение энергии ${\displaystyle \epsilon }$ график как функция магнитного потока ${\displaystyle 2\pi \alpha }$.

В своей оригинальной статье Хофштадтер рассматривает следующий вывод:^[1] заряженная квантовая частица в двумерной квадратной решетке с шагом решетки ${\displaystyle a}$, описывается периодическим Уравнение Шредингера в статическом однородном магнитном поле, ограниченном одной блоховской полосой. Для двумерной квадратной решетки плотный переплет энергия соотношение дисперсии является

${\displaystyle W(\mathbf {k} )=E_{0}(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a)={\frac {E_{0}}{2}}(e^{ik_{x}a}+e^{-ik_{x}a}+e^{ik_{y}a}+e^{-ik_{y}a})}$,

куда ${\displaystyle W(\mathbf {k} )}$ - функция энергии, ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y})}$ это импульс кристалла, и ${\displaystyle E_{0}}$ - эмпирический параметр. Магнитное поле ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$, куда ${\displaystyle \mathbf {A} }$ то магнитный векторный потенциал, можно учесть, используя Замена Пайерлса, заменяя импульс кристалла каноническим импульсом ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} \to \mathbf {p} -q\mathbf {A} }$, куда ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{x},p_{y})}$ это частица оператор импульса и ${\displaystyle q}$ - заряд частицы (${\displaystyle q=-e}$ для электрона, ${\displaystyle e}$ это элементарный заряд ). Для удобства выбираем калибр ${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$.

Используя это ${\displaystyle e^{ip_{j}a}}$ это оператор перевода, так что ${\displaystyle e^{ip_{j}a}\psi (x,y)=\psi (x+a,y)}$, куда ${\displaystyle j=x,y,z}$ и ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi (x,y)}$ - двумерная волновая функция. Можно использовать ${\displaystyle W(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )}$ как эффективный Гамильтониан чтобы получить следующее не зависящее от времени уравнение Шредингера:

${\displaystyle E\psi (x,y)={\frac {E_{0}}{2}}\left[\psi (x+a,y)+\psi (x-a,y)+\psi (x,y+a)e^{-iqBxa/\hbar }+\psi (x,y-a)e^{+iqBxa/\hbar }\right].}$

Учитывая, что частица может прыгать только между точками решетки, запишем ${\displaystyle x=na,y=ma}$, куда ${\displaystyle n,m}$ целые числа. Хофштадтер делает следующее анзац: ${\displaystyle \psi (x,y)=g_{n}e^{i\nu m}}$, куда ${\displaystyle \nu }$ зависит от энергии, чтобы получить уравнение Харпера (также известное как оператор почти Матьё за ${\displaystyle \lambda =1}$):

${\displaystyle g_{n+1}+g_{n-1}+2\cos(2\pi n\alpha -\nu )g_{n}=\epsilon g_{n},}$

куда ${\displaystyle \epsilon =2E/E_{0}}$ и ${\displaystyle \alpha =\phi (B)/\phi _{0}}$, ${\displaystyle \phi (B)=Ba^{2}}$ пропорциональна магнитному потоку через ячейку решетки и ${\displaystyle \phi _{0}=2\pi \hbar /q}$ это квант магнитного потока. Коэффициент потока ${\displaystyle \alpha }$ можно также выразить через магнитную длину ${\textstyle l_{\rm {m}}={\sqrt {\hbar /eB}}}$, так что ${\textstyle \alpha =(2\pi )^{-1}(a/l_{\rm {m}})^{2}}$.^[1]

Бабочка Хофштадтера - результат сюжета ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }}$ как функция магнитного потока ${\displaystyle \alpha }$, куда ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }}$ это набор всех возможных ${\displaystyle \epsilon }$ которые являются решением уравнения Харпера.

Решения уравнения Харпера и метод Ванье

Фазовая диаграмма бабочки Хофштадтера при нулевой температуре. Горизонтальная ось указывает плотность электронов, начиная с отсутствия электронов слева. Вертикальная ось показывает силу магнитного потока, начиная с нуля внизу, картина периодически повторяется для более высоких полей. Цвета представляют собой числа Черна промежутков в спектре, также известные как целые числа TKNN (Thouless, Kohmoto, Nightingale и Nijs). Голубовато-холодные цвета обозначают отрицательные числа Черна, теплые красные цвета обозначают положительные числа Черна, белый - ноль.^[2]

Благодаря свойствам функции косинуса, шаблон периодичен на ${\displaystyle \alpha }$ с периодом 1 (повторяется для каждого квантового потока на элементарную ячейку). График в районе ${\displaystyle \alpha }$ между 0 и 1 имеет симметрия отражения в строках ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ и ${\displaystyle \epsilon =0}$.^[1] Обратите внимание, что ${\displaystyle \epsilon }$ обязательно ограничено от -4 до 4.^[1]

Уравнение Харпера обладает тем особенным свойством, что решения зависят от рациональности ${\displaystyle \alpha }$. Путем наложения периодичности на ${\displaystyle n}$, можно показать, что если ${\displaystyle \alpha =P/Q}$ (а Рациональное число ), куда ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ отличны простые числа, есть ровно ${\displaystyle Q}$ энергетические полосы.^[1] Для больших ${\displaystyle Q\gg P}$, энергетические зоны сходятся в тонкие энергетические зоны, соответствующие Уровни Ландау.

Грегори Ванье показал, что с учетом плотность состояний, можно получить Диофантово уравнение который описывает систему,^[12] в качестве

${\displaystyle {\frac {n}{n_{0}}}=S+T\alpha }$

куда

${\displaystyle n=\int _{-4}^{\epsilon _{\rm {F}}}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon \;;\;n_{0}=\int _{-4}^{4}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon }$

куда ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ целые числа, и ${\displaystyle \rho (\epsilon )}$ плотность состояний при заданном ${\displaystyle \alpha }$. Здесь ${\displaystyle n}$ подсчитывает количество состояний до Энергия Ферми, и ${\displaystyle n_{0}}$ соответствует уровням полностью заполненной полосы (от ${\displaystyle \epsilon =-4}$ к ${\displaystyle \epsilon =4}$). Это уравнение характеризует все решения уравнения Харпера. Самое главное, что можно вывести, когда ${\displaystyle \alpha }$ является иррациональный номер, существует бесконечно много решений для ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }}$.

Союз всех ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }}$ образует самоподобный фрактал, который разрывает рациональные и иррациональные значения ${\displaystyle \alpha }$. Этот разрыв нефизичен, и непрерывность восстанавливается при конечной неопределенности в ${\displaystyle B}$^[1] или для решеток конечного размера.^[13] Масштаб, в котором бабочка может быть разрешена в реальном эксперименте, зависит от конкретных условий системы.^[2]

Фазовая диаграмма, проводимость и топология

В фазовая диаграмма электронов в двумерной квадратной решетке как функция магнитного поля, химический потенциал и температура, имеет бесконечно много фаз. Таулесс и его коллеги показали, что каждая фаза характеризуется интегральной проводимостью Холла, где допустимы все целые значения. Эти целые числа известны как Числа Черна.^[2]

Рекомендации

1. Хофштадтер, Дуглас Р. (1976). «Уровни энергии и волновые функции блоховских электронов в рациональных и иррациональных магнитных полях». Физический обзор B. 14 (6): 2239–2249. Bibcode:1976PhRvB..14.2239H. Дои:10.1103 / PhysRevB.14.2239.
2. Аврон Дж., Осадчий Д., Зайлер Р. (2003). «Топологический взгляд на квантовый эффект Холла». Физика сегодня. 53: 38. Дои:10.1063/1.1611351.
3. Харпер, П. (1955). «Масштабный анализ квазипериодических систем: обобщенная модель Харпера». Труды физического общества. 68: 874.
4. Азбель, Марк Я. (1964). «Энергетический спектр электрона проводимости в магнитном поле». Журнал экспериментальной и теоретической физики. 19 (3): 634–645.
5. Таулесс Д., Кохмото М., Найтнгейл и М. ден-Ниджс (1982). «Квантованная холловская проводимость в двумерном периодическом потенциале». Письма с физическими проверками. 49 (6): 405–408. Bibcode:1982ПхРвЛ..49..405Т. Дои:10.1103 / PhysRevLett.49.405.
6. Kuhl, U .; Штёкманн, Х.-Й. (13 апреля 1998 г.). «Микроволновая реализация бабочки Хофштадтера». Письма с физическими проверками. 80 (15): 3232–3235. Bibcode:1998ПхРвЛ..80.3232К. Дои:10.1103 / PhysRevLett.80.3232.
7. Albrecht, C .; Smet, J. H .; von Klitzing, K .; Weiss, D .; Уманский, В .; Швейцер, Х. (01.01.2001). "Доказательства фрактального энергетического спектра Хофштадтера в квантованной проводимости Холла". Письма с физическими проверками. 86 (1): 147–150. Дои:10.1103 / PhysRevLett.86.147. ISSN  0031-9007.
8. Dean, C. R .; Wang, L .; Maher, P .; Forsythe, C .; Ghahari, F .; Gao, Y .; Katoch, J .; Ishigami, M .; Moon, P .; Кошино, М .; Taniguchi, T .; Watanabe, K .; Shepard, K. L .; Hone, J .; Ким, П. (30 мая 2013 г.). «Бабочка Хофштадтера и фрактальный квантовый эффект Холла в муаровых сверхрешетках». Природа. 497 (7451): 598–602. arXiv:1212.4783. Bibcode:2013Натура.497..598D. Дои:10.1038 / природа12186. PMID  23676673.
9. Пономаренко, Л. А .; Горбачев, Р. В .; Ю., Г. Л .; Elias, D.C .; Jalil, R .; Patel, A. A .; Мищенко, А .; Майоров, А. С .; Woods, C. R .; Wallbank, J. R .; Муха-Кручинский, М .; Piot, B.A .; Потемский, М .; Григорьева, И. В .; Новоселов, К. С .; Гвинея, Ф .; Фалько, В. И .; Гейм, А.К. (30 мая 2013 г.). «Клонирование фермионов Дирака в сверхрешетках графена». Природа. 497 (7451): 594–597. arXiv:1212.5012. Bibcode:2013Натура.497..594П. Дои:10.1038 / природа12187. HDL:10261/93894. PMID  23676678.
10. Хант, Б .; Sanchez-Yamagishi, J.D .; Янг, А. Ф .; Янковиц, М .; LeRoy, B.J .; Watanabe, K .; Taniguchi, T .; Moon, P .; Кошино, М .; Jarillo-Herrero, P .; Ашури, Р. К. (2013). «Массивные фермионы Дирака и бабочка Хофштадтера в гетероструктуре Ван-дер-Ваальса». Наука. 340 (6139): 1427–1430. arXiv:1303.6942. Bibcode:2013Наука ... 340.1427H. Дои:10.1126 / science.1237240. PMID  23686343.
11. Roushan, P .; Neill, C .; Tangpanitanon, J .; Bastidas, V.M .; Megrant, A .; Barends, R .; Chen, Y .; Chen, Z .; Chiaro, B .; Dunsworth, A .; Fowler, A .; Foxen, B .; Джустина, М .; Джеффри, Э .; Келли, Дж .; Lucero, E .; Mutus, J .; Neeley, M .; Кинтана, С .; Санк, Д .; Вайнсенчер, А .; Wenner, J .; Белый, Т .; Neven, H .; Angelakis, D.G .; Мартинис, Дж. (2017-12-01) [2017-09-20]. «Спектроскопические признаки локализации взаимодействующих фотонов в сверхпроводящих кубитах» [Спектральные признаки локализации многих тел при взаимодействии фотонов]. Наука. 358 (6367): 1175–1179. arXiv:1709.07108. Дои:10.1126 / science.aao1401. ISSN  0036-8075. PMID  29191906.
12. Ванье, Г. Х. (1978-08-01). «Результат, не зависящий от рациональности для блоховских электронов в магнитном поле». Physica Status Solidi (б). 88 (2): 757–765. Дои:10.1002 / pssb.2220880243.
13. Аналитис, Джеймс Дж .; Blundell, Стивен Дж .; Ардаван, Аржанг (май 2004 г.). «Уровни Ландау, молекулярные орбитали и бабочка Хофштадтера в конечных системах». Американский журнал физики. 72 (5): 613–618. Дои:10.1119/1.1615568. ISSN  0002-9505.