Гомотопический копредел - Homotopy colimit

В математика, особенно в алгебраическая топология, то гомотопический предел и копредел варианты понятий предел и копредел. Они обозначаются холим и хоколим соответственно.

Вводные примеры

Гомотопическое выталкивание

Концепция гомотопического копредела является обобщением гомотопические выталкивания, такой как картографический цилиндр используется для определения кофибрация. Это понятие мотивировано следующим наблюдением: (обычное) выталкивание

это пространство, полученное сжатием п-1-сфера (которая является границей п-мерный диск) в одну точку. Это пространство гомеоморфный к п-сфера Sп. С другой стороны, выталкивание

это точка. Следовательно, даже если (стягиваемый ) диск Dп был заменен точкой (которая гомотопически эквивалентна диску), два выталкивателя не гомотопия (или слабо ) эквивалент.

Следовательно, выталкивание не согласуется с принципом теории гомотопии, которая рассматривает слабо эквивалентные пространства как несущие одну и ту же информацию: если одно (или несколько) пространств, используемых для формирования выталкивания, заменяется слабо эквивалентным пространством, pushout не всегда остается слабо эквивалентным. Гомотопический выталкиватель исправляет этот недостаток.

В гомотопическое выталкивание двух карт топологических пространств определяется как

,

т.е. вместо склеивания B в обоих А и C, две копии цилиндр на B склеены и их концы приклеены к А и C. Например, гомотопический копредел диаграммы (карты которой являются проекциями)

это присоединиться .

Можно показать, что гомотопический выталкивание не разделяет недостаток обычного выталкивания: замена А, B и / или C гомотопическим пространством гомотопический выталкиватель будем также быть гомотопным. В этом смысле гомотопические выталкивания рассматривают гомотопические пространства так же, как (обычные) выталкивания - гомеоморфные пространства.

Картографический телескоп

Гомотопический копредел последовательности пространств

это картографический телескоп.[1]

Общее определение

Предел гомотопии

Рассмотрение таких примеров, как картографический телескоп и гомотопическое выталкивание, на равных основаниях может быть достигнуто путем рассмотрения я-схема пространств, где я какая-то "индексация" категория. Это функтор

т.е. каждому объекту я в я, назначается пробел Икся и карты между ними, согласно картам в я. Категория таких диаграмм обозначается Пространствая.

Существует естественный функтор, называемый диагональю,

который отправляет любое пространство Икс к диаграмме, которая состоит из Икс везде (и идентичность Икс как карты между ними). В (обычной) теории категорий правый смежный к этому функтору относится предел. Предел гомотопии определяется изменением этой ситуации: это право, сопряженное с

который отправляет пробел Икс к я-диаграмма на каком-то объекте я дает

Вот я/я это категория срезов (его объекты - стрелки jя, где j любой объект я), N это нерв этой категории и | - | является топологической реализацией этого симплициальный набор.[2]

Гомотопический копредел

Аналогичным образом можно определить копредел как осталось сопряженный с диагональным функтором Δ0 приведено выше. Чтобы определить гомотопический копредел, мы должны изменить Δ0 по-другому. Гомотопический копредел можно определить как левый сопряженный к функтору Δ: ПространстваПространствая где

Δ (Икс)(я) = HomПространства (|N(яop /я)|, Икс),

где яop это противоположная категория из я. Хотя это не то же самое, что функтор Δ выше, он разделяет то свойство, что если геометрическая реализация категории нервов (|N(-)|) заменяется точечным пространством, мы восстанавливаем исходный функтор Δ0.

Отношение к (обычному) копределу и пределу

Всегда есть карта

Обычно эта карта не слабая эквивалентность. Например, гомотопическое выталкивание, встреченное выше, всегда соответствует обычному выталкиванию. Эта карта обычно не является слабой эквивалентностью, например, соединение не является слабо эквивалентным выталкиванию , что является точкой.

Дополнительные примеры и приложения

Так же, как предел используется для полный кольцо, холим используется для завершить спектр.

использованная литература

  1. ^ Алгебраическая топология Хэтчера, 4.G.
  2. ^ Боусфилд и Кан: Пределы гомотопии, пополнения и локализации, Springer, LNM 304. Раздел XI.3.3
  • Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0.

дальнейшее чтение