Невыразимый кардинал - Ineffable cardinal

в математика из трансфинитные числа, невыразимый кардинал это определенный вид большой кардинал число, введенное Дженсен и Кунен (1969). В следующих определениях ${\displaystyle \kappa }$ всегда будет обычный бесчисленный количественное числительное.

А количественное числительное ${\displaystyle \kappa }$ называется почти невыразимый если для каждого ${\displaystyle f:\kappa \to {\mathcal {P}}(\kappa )}$ (куда ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )}$ это powerset из ${\displaystyle \kappa }$) со свойством, что ${\displaystyle f(\delta )}$ это подмножество ${\displaystyle \delta }$ для всех ординалов ${\displaystyle \delta <\kappa }$, есть подмножество ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle \kappa }$ имеющий мощность ${\displaystyle \kappa }$ и однородный за ${\displaystyle f}$, в том смысле, что для любого ${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$ в ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle f(\delta _{1})=f(\delta _{2})\cap \delta _{1}}$.

А количественное числительное ${\displaystyle \kappa }$ называется невыразимый если для каждой двоичной функции ${\displaystyle f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$, Существует стационарное подмножество из ${\displaystyle \kappa }$ на котором ${\displaystyle f}$ является однородный: то есть либо ${\displaystyle f}$ отображает все неупорядоченные пары элементов, взятых из этого подмножества, в ноль или отображает все такие неупорядоченные пары в одну. Эквивалентная формулировка: кардинал ${\displaystyle \kappa }$ невыразимо, если для каждого последовательность ⟨A_α : α ∈ κ⟩ так что каждый А_α ⊆ α, есть А ⊆ κ такой, что {α ∈ κ : А ∩ α = А_α} неподвижен в κ.

В более общем смысле, ${\displaystyle \kappa }$ называется ${\displaystyle n}$невыразительный (для положительного целого числа ${\displaystyle n}$) если для каждого ${\displaystyle f:[\kappa ]^{n}\to \{0,1\}}$ есть стационарное подмножество ${\displaystyle \kappa }$ на котором ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle n}$-однородный (принимает одно и то же значение для всех неупорядоченных ${\displaystyle n}$-наборы, взятые из подмножества). Таким образом, оно невыразимо тогда и только тогда, когда оно 2-невыразимо.

А совершенно невыразимо кардинал - это кардинал, который ${\displaystyle n}$невыразимый для каждого ${\displaystyle 2\leq n<\aleph _{0}}$. Если ${\displaystyle \kappa }$ является ${\displaystyle (n+1)}$невыразимо, то набор ${\displaystyle n}$-несказанные кардиналы ниже ${\displaystyle \kappa }$ является стационарным подмножеством ${\displaystyle \kappa }$.

Каждый пневыразимый кардинал п-почти невыразимый (с набором п-почти невыразимо под ним неподвижно), и каждый п-почти невыразимо п-тонкий (с набором п-тонкая под ней стационарная). В мере п-тонкий кардинал даже не слабо компактный (и, в отличие от невыразимых кардиналов, наименее п-почти невыразимо ${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$-описуемо), но п-1-невыразимые кардиналы неподвижны под каждым п-тонкий кардинал.

Кардинал κ есть совершенно невыразимо если есть непустой ${\displaystyle R\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa )}$ такой, что
- каждый ${\displaystyle A\in R}$ неподвижен
- для каждого ${\displaystyle A\in R}$ и ${\displaystyle f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$, есть ${\displaystyle B\subseteq A}$ однородный для ж с ${\displaystyle B\in R}$.

Используя любые конечные п > 1 вместо 2 приведет к тому же определению, поэтому совершенно невыразимые кардиналы совершенно невыразимы (и имеют большее постоянство прочности ). Совершенно невыразимые кардиналы ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$-неописуемо для каждого п, но свойство быть совершенно невыразимым ${\displaystyle \Delta _{1}^{2}}$.

Сила согласованности полностью невыразимого ниже, чем у 1-итерационных кардиналов, что, в свою очередь, ниже замечательные кардиналы, который, в свою очередь, находится ниже ω-Эрдёш кардиналы. Доступен список больших кардинальных аксиом по силе согласованности. Вот.

Смотрите также

• Список больших кардинальных свойств

Рекомендации

• Фридман, Харви (2001), «Тонкие кардиналы и линейные порядки», Анналы чистой и прикладной логики, 107 (1–3): 1–34, Дои:10.1016 / S0168-0072 (00) 00019-1.
• Дженсен, Рональд; Кунен, Кеннет (1969), Некоторые комбинаторные свойства L и V, Неопубликованная рукопись