Инверсионное преобразование - Inversion transformation

В математической физике инверсионные преобразования являются естественным продолжением Преобразования Пуанкаре включить все конформный один к одному преобразования по координате пространство-время.^[1][2] Они менее изучены в физике, потому что в отличие от вращений и трансляций симметрии Пуанкаре объект не может быть физически преобразован с помощью инверсионной симметрии. Некоторые физические теории инвариантны относительно этой симметрии, в этих случаях это так называемая «скрытая симметрия». Другие скрытые симметрии физики включают: калибровочная симметрия и общая ковариация.

Раннее использование

В 1831 году математик Людвиг Иммануил Магнус начали публиковать преобразования плоскости, порожденной инверсией, в круг радиуса р. Его работа положила начало большому количеству публикаций, которые теперь называются инверсивная геометрия. Математик с самым выдающимся именем стал Август Фердинанд Мёбиус как только он сократил планарные преобразования до комплексное число арифметика. В компании физиков, впервые применивших инверсионное преобразование, Лорд Кельвин, и ассоциация с ним заставляет его называть Преобразование Кельвина.

Преобразование по координатам

В дальнейшем мы будем использовать мнимое время (${displaystyle t'=it}$), так что пространство-время евклидово, а уравнения проще. Преобразования Пуанкаре задаются преобразованием координат в пространстве-времени, параметризованном 4-векторамиV

${displaystyle V_{mu }^{prime }=O_{mu }^{u }V_{u }+P_{mu },}$

куда ${displaystyle O}$ является ортогональная матрица и ${displaystyle P}$ является 4-вектором. Применяя это преобразование дважды к 4-вектор дает третье преобразование той же формы. Основным инвариантом этого преобразования является длина пространства-времени, определяемая расстоянием между двумя пространство-время точки, заданные 4-векторами Икс иу:

${displaystyle r=|x-y|.,}$

Эти преобразования являются подгруппами общих 1-1 конформных преобразований пространства-времени. Эти преобразования можно расширить, чтобы включить все конформные преобразования 1-1 на пространство-время

${displaystyle V_{mu }^{prime }=left(A_{ au }^{u }V_{u }+B_{ au }ight)left(C_{ au mu }^{u }V_{u }+D_{ au mu }ight)^{-1}.}$

У нас также должно быть условие, эквивалентное условию ортогональности преобразований Пуанкаре:

${displaystyle AA^{T}+BC=DD^{T}+CB,}$

Потому что можно разделить верх и низ преобразования на ${displaystyle D,}$ мы не теряем общности, устанавливая ${displaystyle D}$ к единичной матрице. В итоге мы получаем

${displaystyle V_{mu }^{prime }=left(O_{mu }^{u }V_{u }+P_{ au }ight)left(delta _{ au mu }+Q_{ au mu }^{u }V_{u }ight)^{-1}.,}$

Применение этого преобразования дважды к 4-вектору дает преобразование той же формы. Новая симметрия «инверсии» дается 3-тензором ${displaystyle Q.}$ Эта симметрия становится симметрией Пуанкаре, если мы положим ${displaystyle Q=0.}$ Когда ${displaystyle Q=0}$ второе условие требует, чтобы ${displaystyle O}$ является ортогональной матрицей. Это преобразование 1-1 означает, что каждая точка отображается в уникальную точку, только если мы теоретически включаем точки на бесконечности.

Инварианты

Инварианты этой симметрии в четырех измерениях неизвестны, однако известно, что инвариант требует как минимум 4 точек пространства-времени. В одном измерении инвариант - это хорошо известный перекрестное соотношение из Преобразования Мебиуса:

${displaystyle {frac {(x-X)(y-Y)}{(x-Y)(y-X)}}.}$

Поскольку единственные инварианты при этой симметрии включают минимум 4 точки, эта симметрия не может быть симметрией теории точечных частиц. Теория точечных частиц основывается на знании длины пути частиц в пространстве-времени (например, от ${displaystyle x}$ к ${displaystyle y}$). Симметрия может быть симметрией теория струн в котором строки однозначно определяются своими конечными точками. В пропагатор для этой теории для струны, начинающейся на концах ${displaystyle (x,X)}$ и заканчивая на конечных точках ${displaystyle (y,Y)}$ является конформной функцией 4-мерного инварианта. Строковое поле в теории конечных точек - это функция над конечными точками.

${displaystyle phi (x,X).,}$

Вещественное доказательство

Хотя естественно обобщить преобразования Пуанкаре, чтобы найти скрытые симметрии в физике и, таким образом, сузить число возможных теорий физика высоких энергий, экспериментально исследовать эту симметрию сложно, поскольку невозможно преобразовать объект в соответствии с этой симметрией. Косвенным доказательством этой симметрии является то, насколько точно предсказывают фундаментальные теории физики, которые инвариантны относительно этой симметрии. Другое косвенное свидетельство состоит в том, приводят ли теории, инвариантные относительно этой симметрии, к противоречиям, например, к получению вероятностей больше 1. До сих пор не было прямых доказательств того, что фундаментальные составляющие Вселенной являются струнами. Симметрия также может быть нарушенная симметрия Это означает, что, хотя это физическая симметрия, Вселенная «заморозилась» в одном определенном направлении, поэтому эта симметрия больше не очевидна.

Смотрите также

• Группа вращения SO (3)
• Координатные вращения и отражения
• Симметрии пространства-времени
• Симметрия CPT
• Поле (физика)
• суперструны

Рекомендации

1. "Глава 5 Инверсия" (PDF).
2. "ДИСКОВАЯ МОДЕЛЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ" (PDF).