КК-теория - KK-theory

Эта статья о KK-теории в математике. Для эпистемологической концепции см. KK-принцип. О теории электромагнетизма и гравитации Калуцы-Клейна см. Теория Калуцы – Клейна.

В математика, KK-теория является общим обобщением обоих K-гомологии и K-теория как добавка двувариантный функтор на отделяемый C * -алгебры. Это понятие ввел русский математик. Геннадий Каспаров^[1] в 1980 г.

На это повлияла концепция Атья Фредгольмовые модули для Теорема Атьи – Зингера об индексе, а классификация расширения из C * -алгебры к Лоуренс Г. Браун, Рональд Дж. Дуглас и Питер Артур Филлмор в 1977 году.^[2] В свою очередь, он добился большого успеха в операторном алгебраическом формализме в отношении теории индекса и классификации ядерные C * -алгебры, поскольку это было ключом к решению многих проблем операторной K-теории, таких как, например, простое вычисление K-группы. Кроме того, это было важно в развитии Гипотеза Баума – Конна и играет решающую роль в некоммутативная топология.

KK-теории последовала серия аналогичных бифункторных конструкций, таких как E-теория и двувариантная периодическая циклическая теория, у большинства из них больше теоретико-категориальный вкусов, или относительно другого класса алгебр, а не сепарабельных C* -алгебры, или включающие групповые действия.

Определение

Следующее определение очень близко к тому, что было первоначально дано Каспаровым. Это форма, в которой большинство KK-элементов возникает в приложениях.

Позволять А и B быть отделимым C* -алгебры, где B также считается σ-унитальным. Множество циклов - это множество троек (ЧАС, ρ, F), куда ЧАС это счетно генерируемый оцениваемый Модуль Гильберта над B, ρ - * -представление А на ЧАС как даже ограниченные операторы, коммутирующие с B, и F является ограниченным оператором на ЧАС степени 1, которая снова коммутирует с B. От них требуется выполнение условия, что

${displaystyle [F,ho (a)],(F^{2}-1)ho (a),(F-F^{*})ho (a)}$

за а в А все B-компактные операторы. Цикл называется вырожденным, если все три выражения равны 0 для всех а.

Два цикла называются гомологичными или гомотопными, если существует цикл между А и IB, куда IB обозначает C* -алгебра непрерывных функций от [0,1] до B, такой, что существует четный унитарный оператор от 0-конца гомотопии до первого цикла и унитарный оператор от 1-конца гомотопии до второго цикла.

В KK-группа KK (A, B) между A и B тогда определяется как множество циклов по модулю гомотопии. Она становится абелевой группой при операции прямого суммирования бимодулей в качестве сложения и класса вырожденных модулей в качестве ее нейтрального элемента.

Существуют различные, но эквивалентные определения теории КК, в частности, определение, данное Иоахим Кунц^[3] что исключает бимодуль и «фредгольмов» оператор F из рисунка и полностью ставит акцент на гомоморфизм ρ. Точнее, его можно определить как множество гомотопических классов

${displaystyle KK(A,B)=[qA,K(H)otimes B]}$,

* -гомоморфизмов классифицирующей алгебры qA квазигомоморфизмов в C* -алгебра компактных операторов бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства с тензором B. Здесь, qA определяется как ядро ​​карты из C* -алгебраический продукт А*А из А с собой, чтобы А определяется идентичностью по обоим факторам.

Характеристики

Когда кто-то берет C*-алгебра C комплексных чисел как первый аргумент KK как в KK(C, B) эта аддитивная группа естественно изоморфна группе K₀-группа K₀(B) второго аргумента B. С точки зрения Кунца, K₀-класс B есть не что иное, как гомотопический класс * -гомоморфизмов от комплексных чисел к стабилизации B. Аналогично, если взять алгебру C₀(р) непрерывных функций на убывающей на бесконечности вещественной прямой в качестве первого аргумента полученная группа KK(C₀(р), B) естественно изоморфный к K₁(B).

Важное свойство KK-теория так называемая Продукт Каспарова, или состав продукта,

${displaystyle KK(A,B) imes KK(B,C) o KK(A,C)}$,

которая является билинейной относительно аддитивных групповых структур. В частности, каждый элемент KK(А, B) дает гомоморфизм K_*(А) → K_*(B) и еще один гомоморфизм K*(B) → K*(А).

На картинке Cuntz продукт гораздо проще определить, учитывая, что есть естественные карты из QA к А, и из B к K(ЧАС) ⊗ B которые побуждают KK-эквивалентности.

Состав продукта дает новый категория ${displaystyle {mathsf {KK}}}$, объекты которого задаются разделимыми C* -алгебры, а морфизмы между ними задаются элементами соответствующих KK-групп. Более того, любой * -гомоморфизм А в B вызывает элемент KK(А, B) и это соответствие дает функтор из исходной категории сепарабельной C* -алгебры в ${displaystyle {mathsf {KK}}}$. Приблизительно внутренние автоморфизмы алгебр становятся тождественными морфизмами в ${displaystyle {mathsf {KK}}}$.

Этот функтор ${displaystyle {mathsf {C^{*}!-!alg}} o {mathsf {KK}}}$ универсален среди точный, гомотопически инвариантные и стабильные аддитивные функторы на категории сепарабельных C* -алгебры. Любая такая теория удовлетворяет Периодичность Ботта в соответствующем смысле, поскольку ${displaystyle {mathsf {KK}}}$ делает.

Далее продукт Каспарова можно обобщить до следующего вида:

${displaystyle KK(A,Botimes E) imes KK(Botimes D,C) o KK(Aotimes D,Cotimes E).}$

В качестве частных случаев он содержит не только K-теоретические чашка продукта, но и K-теоретическая колпачок, поперечные и наклонные изделия и продукт приращений.

Примечания

1. Г. Каспаров. Операторный K-функтор и расширения C * -алгебр. Изв. Акад. Наук. SSSRSer. Мат. 44 (1980), 571-636
2. Brown, L.G .; Douglas, R.G .; Филлмор П. А., "Расширения C * -алгебр и K-гомологии", Анналы математики (2) 105 (1977), нет. 2, 265–324. МИСТЕР0458196
3. J. Cuntz. Новый взгляд на KK-теорию. K-Теория 1 (1987), 31-51

Рекомендации

• Б. Блэкадар, Операторные алгебры: теория C * -алгебр и алгебры фон Неймана, Энциклопедия математических наук 122, Springer (2005)
• А. Конн, Некоммутативная геометрия, Academic Press (1994)

внешняя ссылка

• КК-теория в nLab
• Электронная теория в nLab